ヒポクラテスの三日月を中学受験レベルでやさしく解説

はじめに｜「ヒポクラテスの三日月 中学受験」と検索した保護者へ

ヒポクラテスの三日月とは？

「ヒポクラテスの三日月」と聞くと、
「え、算数なの？」「医学のヒポクラテスと関係あるの？」と戸惑う方も多いと思います。

ここでいうヒポクラテスは、古代ギリシャの数学者ヒオスのヒポクラテスのことで、
半円と半円にはさまれた“細長い三日月形”の図形を指します。

• ある直角三角形を用意する
• その三角形の各辺を直径とする半円を描く
• いくつかの半円を重ね合わせたときにできる“はみ出した部分”が「ヒポクラテスの三日月」

というイメージです。

最大のポイントは、

「ヒポクラテスの三日月の面積＝もとの直角三角形の面積」になる
という、とても不思議で美しい性質をもっていることです。

中学受験との関係｜名前そのものは出なくても考え方が役立つ

「ヒポクラテスの三日月 中学受験」と検索しているということは、

• 難関校の過去問や塾のテキストで見かけた
• 図形が苦手で、解説を読んでもピンとこなかった
• 子どもにどう説明したらよいか分からず、親御さんが先に勉強したい

という状況かもしれません。

実は、中学受験本番で「ヒポクラテスの三日月」という名前がそのまま出題されることは多くありません。
しかし、

• 円や扇形の面積
• 直角三角形と半円の関係
• 「複雑な図形を、足し算・引き算で分けて考える」力

を鍛える題材として、難関校の図形問題や応用講座でよく扱われるテーマです。

「名前そのものを覚えること」が目的ではなく、
考え方（算数力）を身につけるきっかけとして捉えると、ぐっと分かりやすくなります。

---

図形の基本から整理｜円と直角三角形の復習

円の面積・扇形・半円の基本

ヒポクラテスの三日月は、「円＋直角三角形」が主役です。
まずは、中学受験で必須となる基本をサッと整理しておきましょう。

• 円の面積：　半径×半径×π（r²π）
• 半円の面積：　円の半分＝r²π ÷ 2
• 扇形の面積：　（中心角÷360°）× r²π

この３つがしっかり入っていれば、ヒポクラテスの三日月の理解もスムーズです。

直角三角形と半円の関係

もうひとつ大事なのが、
直径を斜辺にもつ半円の中に、直角三角形がぴったり入るという事実です。

• 直径ABをもつ半円を描く
• ABのどこかに点Cをとり、AC・BCを結ぶと三角形ABCができる
• このとき、角Cは必ず直角になる（円周角の性質）

この性質は、中学受験の典型問題でもよく使われます。

「ヒポクラテスの三日月」も、
直角三角形の3辺を直径とする半円を組み合わせてできる図形なので、
ここをふわっとでもいいので親御さんが押さえておくと、解説がグッと読みやすくなります。

中学受験でよく出る「円＋三角形」問題

「ヒポクラテスの三日月 中学受験」と検索する方は、

• 半円の中に直角三角形が入っている図
• 円と三角形が重なった図形の面積
• 三日月のような形（いわゆるルーネ：lune）が出てくる問題

をテキストや過去問で見かけていることが多いです。

こうした問題では、

• 「図形の足し算・引き算」で面積を求める
• 直径・半径・直角三角形の関係を利用する
• 扇形の比（中心角の比）で面積比を求める

といった発想が求められます。
この「図形の分解・合成」の考え方こそが、ヒポクラテスの三日月の“本体”なのです。

---

ヒポクラテスの三日月の作り方と面積のなぞ

作図ステップ｜ヒポクラテスの三日月を描いてみよう

実際に、「ヒポクラテスの三日月」の基本形を作る流れを、簡単に言葉で追ってみましょう。

1. 直角三角形ABCを用意する
   • 角Cが直角、ABが斜辺です。
2. 斜辺ABを直径とする半円を描く
   • 半径はABの半分。
3. 両辺AC・BCを直径とする半円を、それぞれ外側に描く
   • 一方は、三角形の外側に膨らむように。
   • もう一方も、外側に膨らむように描きます。
4. 斜辺側の半円から、両端の半円が重なる部分を取り除く
   • そうすると、細長い“三日月型”の部分が残ります。
   • これが「ヒポクラテスの三日月」です。

三日月の形そのものはそこまで重要ではなく、
「半円どうしの足し算・引き算でできている」という構造がポイントになります。

なぜ「三日月の面積＝三角形の面積」になるのか（直感的な説明）

中学受験の段階では、

どうして三日月の面積が、もとの直角三角形の面積とぴったり同じになるの？

という疑問に、できるだけ式を使わずにイメージで説明できると理想的です。

ざっくり言うと、

• 三日月部分は「大きな半円」から「2つの小さな半円の一部」を引いてできている
• 一方、直角三角形も、辺の長さと円の半径との関係で、ちょうどその差と同じ面積になる

ということです。

イメージとしては、

1. 大きな半円を“ピザ”だと考える
2. そのピザの端っこを、小さな半円2つ分だけ切り取る
3. 残った形（三日月部分）が、もとの三角形の面積と同じになるように、三角形の辺の長さ（直径）が決まっている

といった感じです。
実際には、三平方の定理（a²＋b²＝c²）を使って示すことが多く、中学受験の範囲を少し超えます。

小学生には、

• 「半円を組み合わせると、三角形と同じ面積になる“ふしぎな三日月”がある」
• 「円の面積を足したり引いたりして、三角形と同じ面積を作れる」

というストーリーを楽しむだけでも十分です。

少しだけ本格的に｜面積計算の流れを中学受験レベルで

中学受験の上位層や、数学好きのお子さん向けに、
「流れだけ」を簡単に紹介しておきます（細かい計算は省略してOKです）。

• 三角形の各辺の長さを a, b, c とする（c が斜辺）
• 半円の面積は、それぞれ
  • (a²π) / 8, (b²π) / 8, (c²π) / 8 のように書ける
• 大きな半円から小さい半円を引いた三日月の面積は
  • (c² − a² − b²)×(π/8) になる
• 直角三角形のときは a²＋b²＝c² なので、
  • c² − a² − b² ＝ 0 になりそうですが、
  • 実際は「どの部分を引くか」によって三日月が残る構造になる

……と、本格的にやろうとすると、中学受験の範囲を超えてしまいます。

ここで大事なのは、

「式の世界でも、半円の面積の足し算・引き算で三角形の面積を表せる」
という構造を感じてもらうことです。

---

中学受験で活きる「ヒポクラテスの三日月的」な図形センス

複雑な図形を“足し算・引き算”で分ける力

実際の中学受験では、「ヒポクラテスの三日月」という名前が出なくても、

• 円と三角形が組み合わさった図
• 半円と長方形・直角三角形の組み合わせ
• 一部がくり抜かれた図形の面積

など、複雑な図形を分解して考える問題が多く出題されます。

ここで問われているのは、

• 「どの図形を足すと、この形になるか」
• 「どの部分を引けば、欲しい部分だけが残るか」

という、“ヒポクラテスの三日月的”な発想です。

こうした問題を通して、

• 図形を「ひとつの塊」としてではなく、「いくつかの基本図形の組み合わせ」として見る
• 面積の足し算・引き算で整理する

という図形センスが育ちます。

比と相似・扇形の比を使った面積問題

「ヒポクラテスの三日月 中学受験」の関連問題として、

• 扇形の中心角の比で面積比を出す
• 相似な三角形の面積比を利用して、円の一部の面積を求める

といった応用問題もよく見られます。

たとえば、

• 半円の中に相似な直角三角形がいくつも並んでいる
• それぞれの三角形から作られる“三日月型”の合計面積を求める

といった過去問レベルの問題では、

• 相似比 → 面積比
• 中心角の比 → 扇形の面積比

をセットで使う必要があります。
「比で面積を処理する」感覚をもつことで、計算量をぐっと減らすことができます。

難関校の過去問イメージ｜直接は出なくても同じ発想が問われる

ヒポクラテスの三日月をそのまま扱った問題は、
難関校の入試や、塾のオリジナル問題として時々見られますが、頻度は高くありません。

一方で、

• 「三日月っぽい形の面積」
• 「円の一部＋三角形の一部」
• 「くり抜かれた部分をうまく足したり引いたりする問題」

という形で、同じ発想を使う図形問題は毎年のように出題されています。

したがって、

「ヒポクラテスの三日月を覚える」ことよりも、
「ヒポクラテスの三日月的な発想を身につける」

ことが、中学受験の算数力アップにつながります。

---

家庭でできる図形トレーニングと声かけ

コンパスと方眼ノートで「三日月」を一緒に描く

図形が苦手なお子さんほど、
「文章だけ」や「黒板の図だけ」で理解するのは難しいものです。

ヒポクラテスの三日月に限らず、円・扇形の問題は、

• コンパスで円を描く
• 直角三角形を描く
• 半円を重ねて、三日月型を自分の手で作ってみる

という体験をするだけで、理解の深さがまったく変わります。

方眼ノートに、

• 半径を変えた円
• 直角三角形と半円
• 三日月型の図形

を親子で描いていくと、図形への苦手意識がやわらぎ、算数力の土台が育っていきます。

平面図形から立体図形へ｜空間認識を育てる遊び

ヒポクラテスの三日月は平面図形ですが、
図形が苦手なお子さんは、たいてい立体図形（体積・切断・展開図・投影図）もまとめて苦手です。

家庭では、

• 折り紙で展開図を作って立方体や三角柱を組み立てる
• 箱を切って「切断面」を観察する
• 積み木やブロックで体積を数える

といった遊びを通して、空間認識を育てていくのがおすすめです。

もし立体図形が本格的な壁になっている場合は、
頻出の立体図形をまとめて扱える「中学受験 立体図形完全制覇セット」のような教材で、

• 見る
• 触る
• 動かしてみる

という体験を増やすのも一つの方法です。
平面図形の感覚と立体図形の感覚はつながっているので、どちらかが伸びるともう一方も伸びやすくなります。

「知らない名前が出ても大丈夫」と伝える

最後に、保護者の方にぜひ覚えておいていただきたいのは、

「ヒポクラテスの三日月みたいな“知らない名前”が出ても、解けなくてOK」

というメッセージです。

中学受験の問題には、

• 名前は難しそうだけれど、中身は基礎の組み合わせ
• ストーリーは凝っているけれど、やることは「面積の足し算・引き算」だけ

という問題がたくさんあります。

お子さんには、

• 「知らない言葉が出てきても、まずは図をよく見るところから始めよう」
• 「焦らなくて大丈夫。少しずつ慣れていけば必ず解けるようになるよ」

と、安心できる声かけをしてあげてください。

---

まとめ｜ヒポクラテスの三日月は“図形の考え方の象徴”

「ヒポクラテスの三日月 中学受験」というキーワードには、

• 難しそうな名前の図形が出てきて不安
• 円や三角形の面積に苦手意識がある
• 子どもにどう説明すれば良いか分からない

という保護者の悩みが詰まっています。

この記事でお伝えしたかったのは、

• ヒポクラテスの三日月は、「円＋直角三角形」の組み合わせから生まれた三日月型の図形
• 中学受験では、名前そのものよりも、図形を足し算・引き算で分ける発想が重要
• 円・扇形・半円の面積、相似や比の考え方が、そのまま入試の図形問題や過去問で役立つ
• コンパスや具体物を使って「描く・触る」経験を増やすことで、図形への苦手意識は必ずやわらぐ

ということです。

ヒポクラテスの三日月は、

“図形の世界は、見方を変えると不思議な関係がたくさん隠れている”

ことを教えてくれる、ちょっとした「図形の宝物」のような存在です。

完璧に理解しようとしなくて構いません。
「円と三角形を組み合わせて、こんなおもしろい三日月が作れるんだね」
と親子で楽しみながら、少しずつ図形の世界に慣れていきましょう。
その積み重ねが、やがて過去問に立ち向かう大きな算数力につながっていきます。