中学入試「整数問題」攻略｜頻出パターンと家庭で伸ばす解き方

中学入試の整数問題はなぜ難しい？つまずきの正体

この記事では、そんな悩みに対して整数問題のつまずき原因・頻出パターン・家庭での教え方（型）・すぐ解ける練習問題を順を追って解説します。

「計算」ではなく「条件整理」で差がつく

整数問題は、四則計算そのものよりも、

• 条件を読み取る
• ルールを見つける
• 抜け漏れなく調べる

といった“考え方の力”で差が出ます。
だから、塾の宿題はできてもテストになると点が取れない…が起きやすい分野です。

整数問題の頻出テーマは大きく4つ

中学入試の整数問題は、出題の形は違っても多くが次の4つに分類できます。

1. 倍数・約数（公倍数、最大公約数、最小公倍数）
2. 余り（周期、同じあまり、割った余り）
3. 規則性（並び方、周期、数列的な並び）
4. 数の性質（奇数偶数、素数、積の性質）

この分類ができるだけで、「何を使う問題か」が見えやすくなります。

まず確認：うちの子はどこで止まっている？

同じ“整数が苦手”でも、止まる場所が違います。

• そもそも「倍数・約数」が曖昧
• 余りが出ると混乱する
• 規則性で書き出しができない
• 奇数偶数などの性質を使えない

この記事の後半では、家庭での教え方を「型」として整理します。

---

頻出！中学入試「整数 問題」4大パターン

①倍数・約数（公倍数・最大公約数・最小公倍数）

倍数・約数系は、最初に覚えるべき合言葉があります。

• 「共通して割れる」→最大公約数（GCD）
• 「共通してそろう」→最小公倍数（LCM）

典型パターンは、

• 何個ずつ分ける（割り切れる）
• 周期がそろう（同時に起きる）

です。
家庭では、数字をいきなり計算させるより、まず
「これは“割れる話”？それとも“そろう話”？」
と分類させるのが効果的です。

②余り（割り算の余り・周期・同じあまり）

余りの問題は、実は“周期”の問題です。
例：7で割った余りは0〜6の7通りで繰り返します。
だから解き方の型はいつも同じ。

• 小さい数で余りを並べる
• 周期を見つける
• 必要なところだけ取り出す

この型を覚えると、急に安定します。

③規則性（並び方・周期・数字の並び）

規則性は「ひらめき」ではなく、まず書き出しです。
良い書き出しにはルールがあります。

• まず1〜10くらいまで小さく調べる
• 表にして、同じ形を探す
• 周期があるか確認する

賢い子ほど暗算で飛ばして抜け漏れが起きます。
家庭では「書き方の型」を教えるほうが点につながります。

④数の性質（奇数偶数・素数・因数分解的な見方）

数の性質は、覚えることが少ないわりに強い武器になります。
最低限よく使うのはこの3つです。

• 奇数＋奇数＝偶数、奇数＋偶数＝奇数
• 奇数×奇数＝奇数、偶数×何か＝偶数
• 素数は1と自分以外で割れない

これだけでも、場合分けや絞り込みが一気に楽になります。

---

整数問題が解ける子の「型」｜家庭で教える順番

型1：小さい数で実験して法則をつかむ

整数問題は、いきなり本番の数字で考えると迷子になります。
最初にやるべきは「小さい数で実験」。

• 余りなら、1〜15くらいまで並べる
• 規則性なら、最初の10個を作る
• 倍数なら、実際に倍数を列挙してみる

これだけで、解説を読まなくても道が見えることが増えます。

型2：表・図・数直線で“見える化”する

整数問題が得意な子は、頭の中だけでやっていません。
特に効くのは、

• 表（縦横に整理）
• 図（並び・周期）
• 数直線（範囲・間隔）

「書く＝手間」ではなく、「書く＝正解への近道」です。

型3：条件を「日本語→式」に落とす

親が教えるなら、式をいきなり言うより、これを徹底します。

1. 条件を短い日本語にする
2. それを式・表にする
   例：「7で割ると余りが3」→「7で割ったら3余る＝7の倍数＋3」

この変換ができると、整数問題が“言葉のパズル”から“整理の問題”になります。

---

そのまま使える｜中学入試レベルの整数問題（オリジナル4題）

※過去問の転載はせず、家庭で練習できるオリジナル問題を用意します。
（解答と考え方もセットです）

倍数・約数の良問（1題）

問題：赤いリボンが48cm、青いリボンが60cmあります。2本を同じ長さに切り分け、余りが出ないようにします。切ったリボンはできるだけ長くしたい。1本の長さは何cm？また、赤と青はそれぞれ何本になる？
考え方（型）：最大公約数（共通して割れる）

• 48と60の最大公約数＝12
• 1本の長さ：12cm
• 赤：48÷12＝4本、青：60÷12＝5本
  答え：12cm、赤4本、青5本

親の声かけ：
「これは“そろう”話？“割れる”話？」

余りの良問（1題）

問題：ある数Nを5で割ると余りが2、7で割ると余りが3になります。Nが100以下のとき、Nは何個ありますか。
考え方（型）：条件を“倍数＋余り”に直す→小さいところから調べる

• N＝5k＋2
  例：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,62,67,72,77,82,87,92,97…
• これを7で割って余り3になるものを探す
  17（7×2＋3）、52（7×7＋3）、87（7×12＋3）
  答え：3個（17, 52, 87）

親の声かけ：
「“5の倍数＋2”って言える？」

規則性の良問（1題）

問題：1から順に整数を並べます。1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…
このとき、左から数えて30番目の数字は何ですか。（※数字＝1桁の“1”など）
考え方（型）：桁ごとに数える

• 1桁（1〜9）は9個の数字
• 2桁（10〜99）は1つの数に2個の数字
• 30番目は1桁9個を越えているので、残りは30−9＝21個
• 2桁の数字は2個ずつ→21個目は、2桁の11個目の“1つ目”
  2桁の1個目は10（1と0）
  11個目は20（2と0）
  “1つ目”なので「2」
  答え：2

親の声かけ：
「まず“1桁は何個”って言える？」

数の性質の良問（1題）

問題：1〜30の整数のうち、「3の倍数でも5の倍数でもない数」は何個ありますか。
考え方（型）：全体−（3の倍数）−（5の倍数）＋（15の倍数）

• 全体：30個
• 3の倍数：30÷3＝10個
• 5の倍数：30÷5＝6個
• 両方（15の倍数）：30÷15＝2個
• どちらかの倍数：10＋6−2＝14個
• どちらでもない：30−14＝16個
  答え：16個

親の声かけ：
「“両方数えちゃう”ところはどこ？」

---

まとめ

• 中学入試の整数問題は、計算ではなく条件整理と型で差がつきます。
• 頻出テーマは、①倍数・約数 ②余り ③規則性 ④数の性質の4つ。まず分類できるようにする。
• 家庭で伸ばすコツは、小さい数で実験→表や図で見える化→日本語を式に変換の順番。
• 良問は「たくさん解く」より、「型が残る解き方で復習する」ほうが点に直結します。