2016開成中算数 面積比の解き方をやさしく解説

2016開成中 算数 面積比はどんな問題だったのか

この記事では、そんな悩みに対して、2016開成中の面積比の問題で何を見抜けばよいのか、なぜ子どもが止まりやすいのか、家庭でどんな順番で教えればよいのかをやさしく整理して解説します。

2016年度の開成中算数は、大問4で円が重なった平面図形が出題されました。設問(1)では、三角形ABEと三角形EFGの面積の関係、さらに三角形AEFの面積を求める流れになっており、見た目は複雑でも、本質は面積比の基本を使う問題でした。問題用紙を見ると、3つの同じ円と、その重なりの中にできる点E・F・Gを使って考える構成です。

円が重なる図形問題として出題された

この問題の特徴は、最初から「面積比」と書かれていないことです。受験生は、図の中から自分で「同じ高さ」「合同」「半分」といった関係を見つける必要があります。実際の解説でも、三角形EFGと合同な三角形EBGに注目し、そこから三角形ABEとの比較に進んでいます。

面積比の基本が見えているかが勝負だった

2016年の開成中は、図形が難しそうに見えても、面積比の基本が見えるかどうかで差がつく問題でした。別解説でも、この大問4は複数の典型要素を組み合わせた誘導型であり、条件と図を一つずつ対応させれば解けるとされています。つまり、発想の奇抜さよりも、基本の面積の見方を落ち着いて使えるかが大切だったわけです。

2016開成中 算数 面積比の解き方

まずは同じ面積として見られる三角形を探す

面積比の問題で最初にやるべきことは、いきなり計算することではありません。
まず「同じ面積で見られる図形はどれか」を探します。

2016開成中では、三角形EFGと合同な三角形EBGに注目すると、一気に見通しがよくなります。すると、三角形ABEと三角形EBGは高さが共通で、底辺の関係だけを見ればよくなります。解説では、このとき底辺が2倍なので、三角形ABEの面積は三角形EFGの2倍と求めています。

底辺と高さの関係で面積比を読む

保護者の方が子どもに教えるときに大切なのは、「面積は底辺×高さ÷2」という公式を、ただ暗記ではなく使い分けることです。
2つの三角形を比べるとき、

• 高さが同じなら底辺の比が面積比になる
• 底辺が同じなら高さの比が面積比になる

という基本が使えます。

2016年の問題では、三角形AEFについても、底辺をAFと見たときの高さの関係に注目します。すると、三角形AEFは、より大きい三角形ABFのちょうど半分の面積だと分かります。ABが直径6cmなので、三角形ABFの面積は 6×3÷2＝9㎠、したがって三角形AEFは4.5㎠です。

最後は1つ分の面積を全体へ広げる

この問題のよいところは、(1)で求めた三角形AEFの面積4.5㎠が、(2)の全体の面積へつながることです。別解説では、色のついた全体はこの三角形AEFと同じ面積の部分が16個集まった形と見られるため、4.5×16＝72㎠と求めています。

ここから分かるのは、開成中の面積比は「一部分を正確に求め、それを全体へ広げる」タイプが多いということです。
だから、1つの小さな図形を丁寧に見る練習がとても大切です。

2016開成中の面積比で子どもがつまずく理由

図が複雑で条件整理の前に止まってしまう

円が何個も重なっている図を見ると、それだけで苦手意識が出る子は少なくありません。ですが、実際には見るべき線は限られています。
2016年の問題でも、本当に必要なのは、三角形として切り出したときの底辺と高さの関係です。全体の形に圧倒されると、基本問題であることが見えなくなります。

面積比を数字ではなく形で判断してしまう

よくある失敗は、「こっちのほうが大きそう」と見た目だけで判断してしまうことです。
面積比は、見た目ではなく根拠で比べます。特に円が入った問題では、曲線の印象に引っぱられやすくなります。だからこそ、直線でできる三角形に置き換えて考える力が重要です。

解説を読んでも再現できない学び方になりやすい

保護者の方が「解説を読めば分かるはず」と思っても、子どもは読んだだけでは再現できないことがあります。
2016年の問題は、解説を見れば納得しやすい一方、自分でどこに注目したかを言葉にできないと次の類題でまた止まります。つまり、答え合わせだけでは定着しにくい問題です。

家庭でできる2016開成中 算数 面積比対策

親は「どこが同じか」を先に聞く

家庭で最も効果的なのは、すぐに解き方を説明しないことです。
まずは、

「この2つの三角形、何が同じ？」
「底辺と高さ、どちらを比べる？」

と聞いてみてください。

2016開成中の問題なら、「高さが同じ」「半分になっている」といった言葉が子どもの口から出れば、かなり前進です。正解より先に、見方を言えることを目標にすると理解が深まります。

線を足して見える図に変える練習をする

図形が苦手な子には、補助線を引いてよいことを教えるのも大切です。
2016年の問題でも、三角形として切り出して考えると、面積比の基本に戻れます。複雑な図をそのまま見せるのではなく、「まず三角形を見つけよう」と整理してあげると、急に手が動く子は多いです。

類題はやさしい順に積み上げる

いきなり開成中レベルだけを繰り返しても、定着しにくいことがあります。
おすすめは次の順番です。

1つ目は、同じ高さの三角形の面積比。
2つ目は、底辺が同じ三角形の面積比。
3つ目は、円の中でも三角形に注目する問題。
4つ目に、2016開成中のような複合図形。

この順で練習すると、「開成の特殊問題」ではなく、「基本の組み合わせ」として理解しやすくなります。

まとめ

2016開成中の算数の面積比問題は、円が重なっていて難しく見えますが、本質はとても基本的です。
同じ面積として見られる三角形を見つけること、底辺と高さのどちらを比べるかをはっきりさせること、1つ分の面積を全体へ広げること。この3つが理解できれば、問題の見え方は大きく変わります。

保護者の方が家庭で支えるなら、「どう解くの？」の前に「どこが同じ？」と聞くのが近道です。
2016開成中の面積比は、難問対策であると同時に、面積の基本を確かめる絶好の教材でもあります。親子で図の見方を共有できれば、面積比への苦手意識はかなり減らせます。