2020開成中算数 立体図形をやさしく解説

2020開成中算数の立体図形は何が難しいのか

この記事では、そんな悩みに対して、2020開成中算数の立体図形で何が問われているのか、なぜつまずくのか、家庭で何を意識すればよいのかを順を追って解説します。

立体図形は、中学受験算数の中でも保護者の方が特に教えにくさを感じやすい単元です。平面図形なら線や角をそのまま見て考えられますが、立体図形では「見えない部分」を想像しなければならないからです。しかも開成中のような難関校では、立体をただ眺めるだけでは足りません。どの面がつながっているのか、どの長さが同じなのか、切ったらどんな形になるのかを、順序立てて整理する力が必要です。

そのため、塾で解説を聞いた直後は分かったように見えても、家で解き直すと急に手が止まる子が少なくありません。ですが、立体図形が苦手なのはセンスがないからではなく、見方の型がまだ固まっていないからです。ここを家庭で支えられると、図形全体への苦手意識もやわらいでいきます。

立体図形は見た目ではなく情報整理が問われる

2020開成中算数の立体図形でまず理解したいのは、立体図形が「図を見てひらめく問題」ではないということです。実際に問われているのは、図の中にある情報を整理する力です。

たとえば、立方体や直方体、角柱の問題では、

• どの辺とどの辺が平行か
• どの面とどの面が向かい合うか
• どの長さが等しいか

といった情報を拾いながら考える必要があります。

ところが、苦手なお子さんは図全体を一度に見ようとしてしまい、どこに注目すればよいのか分からなくなります。その結果、「立体図形は難しい」という印象だけが残ってしまうのです。開成中の問題では、この情報整理を落ち着いてできるかどうかが大きな分かれ目になります。

開成中の立体図形は平面に置きかえる力が重要

開成中の立体図形では、立体のまま考え続けるより、平面図に置きかえて整理する力が重要です。たとえば切断の問題なら、切ったあとの形をただ想像するのではなく、「どの面を通って、どの辺とどの辺を結ぶのか」を平面に直して考えます。

これは多くの受験生にとって大きな壁です。立体図形が苦手な子ほど、立体を頭の中でぐるぐる回そうとします。しかし、得点できる子はむしろ逆で、立体をいったん平面の情報に分解して見ています。

たとえば、見えていない裏側まで意識しながら、必要な面だけを取り出して長方形や三角形として考えるのです。開成中の立体図形は、この変換ができると一気に見通しがよくなります。

2020開成中算数 立体図形でつまずく理由

立体を頭の中だけで動かそうとしてしまう

立体図形で最も多いつまずきの一つが、頭の中だけで全部処理しようとすることです。たしかに立体をイメージする力は必要ですが、それだけに頼ると情報が抜けやすくなります。

たとえば、切断された断面を考えるとき、苦手なお子さんは「たぶん三角形かな」「なんとなく四角形かも」と感覚で答えを出しがちです。一方でできる子は、どの辺を通るのかを一つずつ確認し、交わる点を図に書き込んでいます。

この差はとても大きいです。立体図形は頭の良さというより、見えない情報を外に出せるかどうかで安定度が変わります。だからこそ家庭では、「想像してごらん」よりも「図に書いてみよう」と促すほうが効果的です。

展開図や切断の意味があいまいなまま進む

立体図形が苦手な子の中には、展開図や切断の基本があいまいなまま難問に取り組んでいるケースがあります。たとえば、「どの面がとなり合うか」「切断面は辺ではなく面の中を通ることもある」といった基本が曖昧だと、複雑な問題で一気に崩れます。

塾ではテンポよく授業が進むため、基本がふんわりしたまま先に進んでしまうことがあります。すると、応用問題になると急に分からなくなり、「うちの子は立体図形が苦手」と感じてしまうのです。

ですが実際には、難問そのものではなく、土台の確認不足が原因のことも少なくありません。家庭で基本の見方を一度整理し直すだけで、問題の見え方が変わることがあります。

長さや面積の関係を図に書き込めていない

立体図形では、ただ形を追うだけではなく、長さや面積の関係も同時に整理しなければなりません。ここで大事なのが、分かった情報を図に書き込むことです。

ところが苦手なお子さんは、頭の中だけで覚えておこうとして、途中で何が分かっていたのか分からなくなります。たとえば、同じ長さの辺や、直角になる部分、面積を求めるための底辺と高さなどが図の中で整理されていないと、後半で計算ミスや勘違いが起こりやすくなります。

開成中レベルでは、見た目の複雑さに飲まれないことが大切です。そのためには、分かったことを図に残す習慣が欠かせません。

2020開成中算数の立体図形 解説で押さえたい考え方

まず見えている面と見えていない面を分ける

2020開成中算数の立体図形を解説するとき、最初に意識したいのは、見えている面と見えていない面を分けて考えることです。立体図では、見えていない部分が省略されたり点線で示されたりしますが、そこを意識できないと全体像をつかみにくくなります。

たとえば立方体なら、表に見える3つの面だけでなく、裏側や底面も同じように存在しています。この当たり前の確認を丁寧に行うだけでも、切断や展開図の理解はかなり安定します。

家庭で声をかけるなら、「今見えていない面はどこ？」と聞くだけで十分です。この問いかけは、立体を立体のまま把握する第一歩になります。

次に立体図形を平面図に直して考える

次に重要なのは、必要な部分を平面図に直すことです。たとえば断面を考えるなら、その断面が通る面だけを取り出して考える。辺の長さを比べるなら、同じ面の上にある線分だけを一度整理する。こうして立体を部分ごとの平面に分けると、複雑さがぐっと減ります。

この考え方は、立体図形が得意な子ほど自然にやっています。逆に苦手な子は、立体全体を一度に理解しようとして疲れてしまいます。

実際の指導でも、「全部を見なくていい。今必要な面だけ見よう」と伝えると、急に手が動き始める子がいます。開成中の立体図形でも、この“部分に分ける視点”は非常に有効です。

最後に求める量を一つずつつなげる

立体図形では、答えにたどり着くまでにいくつかの段階があります。たとえば、まず断面の形を確定し、そのあと必要な長さを出し、最後に面積や体積を求める、という流れです。

苦手なお子さんは、この流れを飛ばして一気に答えを出そうとしがちです。しかし難関校の問題ほど、途中の一つ一つをつなぐことが大切になります。

たとえば、断面が長方形と分かっただけでは終わりません。その長方形の縦と横が何なのかを確認し、面積へつなげる必要があります。この「何が分かったか」を一歩ずつ積み上げることが、立体図形の安定につながります。

家庭でできる立体図形の学び直し方

図を上手に描くより面の関係を書き込ませる

家庭で立体図形を教えるとき、きれいな図を描かせようとすると、それだけで負担になることがあります。大切なのは上手に描くことではなく、面と辺の関係を見えるようにすることです。

たとえば、同じ長さの辺に同じ印をつける、切断面が通る点に丸をつける、見えていない面を言葉で補う、といった工夫だけでも理解しやすくなります。立体図形は、整った絵より整理された情報のほうが大事です。

保護者が「もっときれいに書いて」ではなく、「どことどこがつながっている？」と聞いてあげるだけで、学習の方向が変わります。

正解より先にどの面を見たか話させる

立体図形では、答えよりも考える順番が重要です。そこで家庭学習では、「答えは何？」の前に「どの面から見たの？」と聞いてみてください。

たとえば、
「最初に上の面を見た」
「次に右側の面とつながるところを考えた」
と話せるなら、かなり整理して考えられています。

逆に、答えが合っていても説明できないなら、まだ再現性は高くありません。開成中レベルでは、偶然の正解より、同じ方法で解き直せることのほうが大切です。

開成中レベルは一問を三段階で復習する

立体図形は、一度分かったつもりでも数日後には手順を忘れやすい単元です。そこでおすすめなのが、一問を三段階で復習する方法です。

1回目は普通に解く。
2回目は翌日に、どの面を見てどう整理したかだけを再現する。
3回目は数日後に、最初から最後まで自力で解き切る。

この復習法なら、答えだけでなく考え方の型が残ります。教育心理学でも、時間をあけて思い出す学習は定着に効果的だとされています。立体図形のような思考型の単元ほど、この方法が力を発揮します。

まとめ

2020開成中算数の立体図形は、ひらめきだけで解く単元ではありません。見えている面と見えていない面を分け、必要な部分を平面図に直し、長さや面積の関係を一つずつつないでいくことが大切です。

お子さんが立体図形でつまずくのは、図形の才能が足りないからではありません。どこから見ればよいか、何を図に残せばよいかという考え方の順番が、まだ安定していないだけです。

だからこそ家庭では、正解を急がせるより、「どの面を見たのか」「どこを図に書き込んだのか」を一緒に確認してあげてください。その積み重ねが、立体図形を苦手単元から得点源へ変えていきます。2020開成中算数の立体図形をきっかけに、図を見て固まるのではなく、図を整理して考える力を育てていきましょう。