開成中学算数の通り数対策

開成中学算数で通り数はどう出るのか

この記事では、そんな悩みに対して、開成中学算数における通り数の出題傾向と、家庭でできる具体的な対策を分かりやすく解説します。

通り数は「場合の数」の中で問われやすい

開成中学算数で「通り数」を考えるとき、まず押さえたいのは、単純に「何通りですか」と聞かれるだけではないという点です。

通り数は、場合の数の一部として出ることが多い分野です。たとえば、道順、並べ方、選び方、組み合わせ、条件を満たす整数の作り方などが代表例です。しかし開成中学では、公式をそのまま当てはめる問題よりも、条件を整理しながら「何を1通りとして数えるのか」を自分で判断する問題が多くなります。

たとえば、「AからBまで最短で行く道順は何通りか」という基本問題なら、右へ何回、上へ何回進むかを考えれば解けます。しかし、途中で通れない道がある、必ず通る点がある、同じ場所を通ってはいけない、という条件が加わると、一気に整理力が必要になります。

つまり、開成中学の通り数は、計算力だけでなく、条件を読み取り、数え方を組み立てる力が問われる分野だと考えましょう。

条件整理や推理と組み合わさることが多い

通り数は、場合の数だけで完結するとは限りません。開成中学では、条件整理、推理、規則性、図形、整数問題と組み合わさることがあります。

たとえば、図形の中にいくつ正方形があるか、条件に合う並べ方は何通りか、規則的な操作をしたとき何通りの結果があるか、といった問題です。見た目は図形や推理の問題でも、実際には「もれなく、重ならずに数える力」が必要になります。

公開されている2025年度の入試分析でも、開成中学校の算数は頻出分野として「図形・数の性質・速さ・場合の数・推理・論理」が挙げられ、なかでも思考力重視の傾向が強いとされています。また、頻出テーマとして「場合の数・条件整理」が上位に挙げられています。

このことからも、通り数対策では「公式を覚える」だけでは足りません。条件を整理し、どの順番で数えればよいかを考える練習が必要です。

開成中学の出題傾向は思考力重視

開成中学の算数は、例年、大問3～5題程度で構成され、式や考え方を書く形式とされています。答えだけでなく、どのように考えたかが見られるため、通り数でも「なぜその数え方でよいのか」を説明できることが大切です。

2024年度の入試分析では、大問が3題で、「場合の数」と「立体」からの出題が中心だったとされています。特に、誘導の見せ方が丁寧で、前半の小問を解くことで後半の解き筋が見えやすくなる構成だったと分析されています。

通り数の問題でも、この「誘導を読む力」は重要です。前半の小問は、単なる準備問題ではなく、後半で使う考え方を確認させていることがあります。開成中学では、問題文や小問の流れから出題者の意図を読み取る力が、得点差につながります。

通り数でつまずく子に多い原因

何を1通りと数えるのかが曖昧

通り数が苦手な子に多いのは、「何を1通りと数えるのか」が曖昧なまま解き始めてしまうことです。

たとえば、3人を一列に並べる問題では、「並び方」が1通りです。一方、3人から2人を選ぶ問題では、「選び方」が1通りです。この違いをはっきり意識できていないと、順番を区別するべきか、区別しないべきかで迷います。

Aさん、Bさんを選ぶ場合と、Bさん、Aさんを選ぶ場合は、並べ方なら別の通りですが、選び方なら同じ1通りです。

家庭で確認するときは、
「これは順番が変わると別の通り？」
「何が決まったら1通りと言える？」
と聞いてみてください。

この問いかけだけで、子どもの数え方がかなり整理されます。

もれ・重なりを確認する習慣が弱い

通り数の最大の敵は、数えもれと重複です。

子どもは、いくつか例を出しているうちに「だいたい全部出せた」と感じてしまうことがあります。しかし、開成中学レベルの問題では、感覚的な書き出しだけでは危険です。どの順番で調べたか、どこまで調べたかが見える形になっていないと、もれや重なりが起こります。

たとえば、1、2、3、4から2つの数字を選んで2けたの数を作る場合、十の位を1に固定して、12、13、14。次に十の位を2に固定して、21、23、24。このように基準を決めると、数えもれが減ります。

反対に、思いついた順に12、21、34、13……と書いていくと、途中で何を数えたのか分からなくなります。

通り数では、答えを出すことよりも、もれなく重ならない数え方を作ることが大切です。

式だけで処理しようとして条件を見落とす

通り数では、公式を覚えることも必要です。しかし、式だけで処理しようとすると、条件を見落としやすくなります。

たとえば、「5人を一列に並べる」は5×4×3×2×1で求められます。しかし、「AさんとBさんが隣り合わない」「Cさんは端に来ない」といった条件がつくと、ただ公式を使うだけでは解けません。

開成中学の通り数では、条件が複数重なることがあります。そのため、最初に式を立てる前に、条件を日本語で整理することが大切です。

「先に何を決めると楽か」
「分けて考えるべき場合はあるか」
「除くべきものはあるか」

この3つを考える習慣がある子は、複雑な通り数にも対応しやすくなります。

開成中学の通り数対策で家庭ができること

まずは小さい数で全部書き出す

通り数が苦手な子には、いきなり公式を教え込むより、小さい数で全部書き出す練習が効果的です。

たとえば、3人を並べるなら、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りを実際に書かせます。そのうえで、「最初の人は3通り、次の人は2通り、最後は1通りだから、3×2×1になる」と確認します。

この順番が大切です。先に公式だけを覚えると、子どもは「なぜかけ算になるのか」が分からないまま進んでしまいます。

小さい数で全部書き出すと、もれなく数えるためには順番が必要だと実感できます。これは、開成中学のように条件が複雑な問題に進む前の大事な土台です。

学習研究でも、ただ解説を読むだけでなく、自分で思い出したり説明したりする練習は、学習内容の定着に役立つとされています。通り数でも、子ども自身に「なぜこの数え方で全部と言えるのか」を説明させることが効果的です。

表・樹形図・場合分けを使い分ける

通り数の学習では、表、樹形図、場合分けを使い分ける力が重要です。

樹形図は、順番に選んでいく問題に向いています。たとえば、並べ方や道順、カードを順に取り出す問題です。表は、2つの条件を組み合わせる問題に向いています。たとえば、男女の組み合わせ、点数の組み合わせ、整数の条件整理などです。場合分けは、条件によって数え方が変わる問題に向いています。

開成中学では、最初から「この方法を使いなさい」と書かれているわけではありません。子ども自身が、どの整理方法が合っているかを判断する必要があります。

家庭では、問題を解いたあとに、
「樹形図で解いた理由は？」
「表にしたほうが見やすくならない？」
「場合分けは何を基準にした？」
と聞いてみましょう。

これにより、単なる解答暗記ではなく、道具を選ぶ力が育ちます。

間違い直しは数え方の根拠まで戻る

通り数の復習で、答えだけを直すのはあまり効果的ではありません。大切なのは、どこで数えもれたか、どこで重複したかを見つけることです。

たとえば、正解が18通りなのに15通りになった場合、3通りを落としています。その3通りは、どの条件のときに抜けたのか。場合分けのどこが不十分だったのか。そこまで戻らないと、次の問題でも同じミスをします。

指導現場でも、通り数が伸びる子は、間違えたあとに「自分の数え方のどこが弱かったか」を確認しています。反対に、伸び悩む子は、正しい式を写して終わってしまいます。

解き直しでは、
「最初に何を固定したか」
「どの順番で数えたか」
「同じものを2回数えていないか」
「すべての場合を調べたと言えるか」
を確認しましょう。

6年生からの出題傾向に合う仕上げ方

過去問では「誘導の意味」を読む

6年生になったら、通り数を単元別に練習するだけでなく、過去問の中で使えるかを確認しましょう。

2024年度の開成中学算数では、場合の数が大問として出題され、誘導に沿って一歩ずつ作業を進める構成だったと分析されています。前半の小問が、後半を解くための見通しを与えている点が特徴です。

過去問を解くときは、単に答え合わせをするのではなく、
「小問1は何を確認させているのか」
「小問2の結果は後半でどう使うのか」
「どの段階で数え方を変える必要があるのか」
を確認してください。

開成中学の通り数では、誘導を無視して自己流で進めると時間がかかることがあります。出題者が用意した流れを読み取り、その流れに乗る練習も大切です。

時間内に処理するための型を持つ

通り数は、丁寧に考えれば解ける問題でも、時間がかかりすぎることがあります。開成中学の算数は試験時間60分、配点85点で、1問あたりの処理時間が限られています。

そのため、家庭学習では「止まったときの型」を持たせることが大切です。

おすすめは、次の順番です。

まず、何を1通りと数えるかを決める。
次に、順番を区別するかを確認する。
その後、固定するものを決める。
必要なら場合分けする。
最後に、もれ・重なりを確認する。

この型を持っていると、初見の問題でも手が止まりにくくなります。

特に開成中学では、問題文が長く、条件も複雑になりがちです。いきなり式を立てるのではなく、考える順番を決めておくことが、本番での安定につながります。

保護者は答えより数え方を確認する

家庭で通り数を見直すとき、保護者の方は答えの数字だけを見るのではなく、数え方を確認してあげてください。

「何を固定したの？」
「どんな順番で数えたの？」
「同じものを2回数えていない？」
「全部調べたと言える理由は？」

このように聞くと、子どもの理解度がよく分かります。

答えが合っていても、数え方が偶然なら次の問題で崩れます。反対に、答えが間違っていても、場合分けの方針が合っていれば、あと少しで伸びます。

通り数は、センスの問題ではありません。正しい手順で整理し、もれなく重ならずに数える習慣を身につければ、苦手な子でも少しずつ安定してきます。

まとめ

開成中学算数における通り数は、単純な「何通りですか」という計算問題だけではありません。場合の数、条件整理、推理、図形、規則性などと結びつき、思考力を問う形で出題されやすい分野です。

開成中学の出題傾向を見ると、場合の数・条件整理は重要テーマの一つであり、式や考え方を書く力も求められます。したがって、通り数対策では、公式暗記だけでなく、「何を1通りと数えるのか」「どの順番で数えるのか」「もれや重なりがないと言えるのか」を説明できるようにすることが大切です。

家庭学習では、まず小さい数で全部書き出し、そこから樹形図・表・場合分けへ進みましょう。間違えたときは答えだけでなく、数え方の根拠まで戻ることが重要です。

通り数が苦手なのは、算数の才能がないからではありません。数える対象、整理の順番、確認の仕方がまだ定まっていないだけです。親子で「どう数えたの？」を丁寧に確認していけば、開成中学算数に必要な条件整理力と論理的な数え方は着実に育っていきます。