中学受験算数｜面積図の解き方

中学受験算数で面積図が役立つ理由

この記事では、そんな悩みに対して、面積図が必要になる理由と、家庭で教えやすい基本の解き方を順を追って解説します。

面積図は「たて×横＝全体量」を見える形にする

中学受験算数で出てくる面積図とは、長方形の面積を使って数量関係を整理する図です。名前に「面積」とついていますが、図形問題だけで使うものではありません。つるかめ算、平均、割合、売買損益、食塩水、速さの一部など、数量の関係を整理したい場面で役立ちます。

面積図の基本は、「たて×横＝面積」です。算数の文章題では、この面積が実際の面積ではなく、合計金額、合計点、全体量、食塩の量などを表すことがあります。

たとえば、1個80円のお菓子を10個買えば、80×10＝800円です。この関係は、たてを80円、横を10個、面積を800円とした長方形で表せます。式で見れば単純ですが、条件が複雑になると、面積図にした方が「どこに差があるのか」が見えやすくなります。

面積図は、計算を難しくするための図ではありません。文章題の数量関係を、子どもが目で見て理解しやすくするための道具です。

式だけでは分かりにくい差や平均を整理できる

面積図が特に役立つのは、「もし全部同じだったら」と考える問題です。

たとえば、つるかめ算では「全部をつると考える」「全部をかめと考える」という考え方をします。しかし、式だけで考えると、なぜ差を使うのか、なぜ割るのかが分かりにくい子もいます。

面積図を使うと、仮に全部を同じものとして計算したときの全体量と、実際の全体量との差が、長方形の差として見えます。この差を見ることで、「1つ変えると何だけ差が出るのか」が理解しやすくなります。

平均の問題でも同じです。平均点や平均身長は、全体を同じ高さにそろえたときの考え方です。面積図にすると、合計点を長方形の面積として見ることができ、平均が「ならした高さ」であることが分かりやすくなります。

つるかめ算・平均・割合で特に使いやすい

面積図は、中学受験算数の中でも、つるかめ算・平均・割合の問題でよく使われます。

つるかめ算では、1つあたりの数と個数、全体の数を整理します。たとえば、1本80円の鉛筆と1本120円のペンを合わせて10本買い、合計が1000円だった場合、1本あたりの金額、買った本数、合計金額を面積図にします。

平均では、点数と人数、合計点を整理します。たとえば、平均点が72点で人数が5人なら、合計点は72×5＝360点です。これを長方形として見ると、平均が全体をならした高さであることが分かります。

割合や食塩水の問題では、濃さ、量、食塩の量の関係を面積図で整理できます。「濃さ×食塩水の量＝食塩の量」と考えると、長方形で関係を見える形にできます。

このように、面積図は複数の単元にまたがって使える便利な考え方です。

面積図が苦手な子がつまずく原因

何をたて・横・面積にするか分からない

面積図が苦手な子は、長方形を描くこと自体よりも、「何をたてにして、何を横にして、面積が何を表すのか」が分からないことが多いです。

たとえば、つるかめ算では、たてに1個あたりの金額や本数、横に個数、面積に合計金額や合計本数を置きます。平均の問題では、たてに平均点、横に人数、面積に合計点を置きます。食塩水の問題では、たてに濃さ、横に食塩水の量、面積に食塩の量を置きます。

この対応が分かっていないと、面積図を描いても、ただ長方形を書いただけになってしまいます。

家庭で教えるときは、最初に「この問題の全体量は何かな？」と確認するとよいでしょう。合計金額なのか、合計点なのか、食塩の量なのかが分かると、面積図の意味が見えやすくなります。

長方形の差が何を表すのか見えていない

面積図で重要なのは、長方形そのものだけではありません。長方形の差が何を表しているかを見ることです。

つるかめ算では、「全部を安い方で考えたときの合計」と「実際の合計」の差を使います。この差は、安いものを高いものに置き換えたことで増える分です。面積図では、この差が長方形の一部として見えます。

たとえば、全部を80円の商品10個として考えると800円です。実際は1000円なら、差は200円です。1個を120円の商品に変えると、80円との差は40円増えます。だから、200÷40＝5個が120円の商品だと分かります。

この「差の面積」が見えていないと、なぜ差を割るのかが理解できません。面積図の解き方では、差がどこに表れているのかを丁寧に見ることが大切です。

解説の図は分かるが自分では描けない

「解説を見ると分かるのに、自分では面積図が描けない」という子も多くいます。これは、完成した面積図を見る力と、自分で面積図を作る力が別だからです。

教材や塾の解説では、すでに長方形が描かれ、数字も整理されています。子どもはそれを見ると理解できます。しかし、テストでは問題文から自分で必要な数量を取り出し、長方形に置かなければなりません。

面積図が苦手な子には、完成図を写すだけでは不十分です。問題文から「単位あたりの量」「個数や人数」「全体量」を見つけ、自分でたて・横・面積に置く練習が必要です。

復習では、解説を見たあと、問題文だけを見てもう一度面積図を描けるか確認しましょう。これにより、分かったつもりで終わることを防げます。

中学受験算数で使う面積図の基本の解き方

まず数量を「単位あたり」「数」「全体」に分ける

面積図を書く前に、問題文の数量を整理します。見るべきものは、「単位あたり」「数」「全体」の3つです。

単位あたりとは、1個あたりの金額、1人あたりの点数、1Lあたりの濃さのようなものです。数とは、個数、人数、量などです。全体とは、合計金額、合計点、食塩の量などです。

たとえば、1本80円の鉛筆と1本120円のペンを合わせて10本買い、合計1000円だったとします。この場合、単位あたりは80円と120円、数は10本、全体は1000円です。

面積図では、単位あたりの量をたて、数を横、全体量を面積として考えると整理しやすくなります。まずこの3つを見つけることが、面積図の第一歩です。

長方形を描いて分かる数字を書き込む

次に、長方形を描き、分かっている数字を書き込みます。

つるかめ算なら、まず「全部を片方だと考えた長方形」を描きます。たとえば全部を80円の商品10個として考えるなら、たて80、横10、面積800の長方形になります。実際の合計が1000円なら、800円との差は200円です。

この差を、長方形の上に足りない部分として書き込みます。1個を80円から120円に変えると、1個あたり40円増えます。差の200円を、1個あたりの差40円で割ると、120円の商品が5個と分かります。

面積図は、数字をただ並べるのではなく、「仮に全部同じだったら」と考え、実際との差を見える形にする図です。分かる数字を図に書き込むことで、式の意味が分かりやすくなります。

余りや不足の面積から答えを求める

面積図の解き方で大切なのは、余りや不足の面積を使うことです。

つるかめ算では、全部を安い方で考えると、実際の合計より少なくなることがあります。その不足分を、1個あたりの差で割ると、高い方の個数が分かります。逆に、全部を高い方で考えると、実際より多くなることがあります。その余りを使って、安い方の個数を求めることもできます。

平均の問題でも、基準より多い部分や少ない部分を面積として見ることがあります。たとえば、平均点より高い点数の分と低い点数の分がつり合うと考えると、平均の意味が理解しやすくなります。

面積図では、「差はどこの面積か」「1つあたりの差はいくつか」「その差が何個分あるか」を順に考えます。この流れを身につけると、式の丸暗記ではなく、意味を理解して解けるようになります。

家庭でできる面積図の練習法

つるかめ算の基本問題から始める

面積図を家庭で練習するなら、まずつるかめ算の基本問題から始めるのがおすすめです。つるかめ算は、面積図の考え方が見えやすい単元だからです。

たとえば、「80円の鉛筆と120円のペンを合わせて10本買い、合計1000円でした。ペンは何本ですか」という問題を考えます。

まず全部を80円の鉛筆だと考えます。80×10＝800円です。実際は1000円なので、差は200円です。ペンは鉛筆より1本あたり40円高いので、200÷40＝5本。これがペンの本数です。

この流れを面積図で確認すると、「なぜ200を40で割るのか」が見えやすくなります。最初は難しい問題ではなく、数字が小さく、差が分かりやすい問題を選びましょう。

平均の問題で面積図を使ってみる

面積図に慣れてきたら、平均の問題にも使ってみましょう。

平均は、「全体を同じ高さにならす」考え方です。たとえば、5人の平均点が72点なら、合計点は72×5＝360点です。このとき、たてを72点、横を5人、面積を360点と見ることができます。

もし、4人の合計点が300点で、5人の平均が72点になるなら、5人全体の合計は360点です。したがって、残り1人は360−300＝60点です。

このように、平均の問題でも、たてを平均、横を人数、面積を合計点として考えると整理しやすくなります。

家庭では、「平均は高さをそろえた長方形だよ」と説明すると、子どもにも伝わりやすくなります。平均をただの公式として覚えるより、面積図で意味を確認する方が応用につながります。

親は「どこが全体？」と質問で導く

家庭で面積図を教えるとき、親が最初から完成図を描いてしまうと、子どもは自分で図を作る練習ができません。大切なのは、質問で導くことです。

「この問題の全体量は何？」
「1つあたりの量はどれ？」
「何個分、何人分の話？」
「全部同じだと考えたらいくつ？」
「実際との差はどこに出る？」

このように聞くと、子どもは問題文から必要な数量を自分で探すようになります。

面積図で最も大切なのは、長方形を描くことではなく、たて・横・面積の意味を理解することです。親が答えを急がず、「この長方形は何を表している？」と確認すると、面積図を考える道具として使いやすくなります。

まとめ｜面積図の解き方は手順で身につく

中学受験算数の面積図は、つるかめ算、平均、割合、食塩水などで役立つ重要な考え方です。面積図の基本は、「たて×横＝全体量」です。たてに単位あたりの量、横に個数や人数、面積に合計量を置くことで、文章題の関係を見える形にできます。

面積図が苦手な子は、算数の力がないわけではありません。多くの場合、何をたて・横・面積にするのかが分からない、差の面積が何を表すのか見えていない、解説の図を見て分かったつもりになっていることが原因です。

まずは、問題文から「単位あたり」「数」「全体」を探しましょう。次に、長方形を描き、分かっている数字を書き込みます。そして、余りや不足の面積を見つけ、1つあたりの差で割って答えへ進みます。

家庭では、つるかめ算の基本問題から始めるのがおすすめです。慣れてきたら、平均や割合の問題にも面積図を使ってみましょう。親は完成図をすぐに描くのではなく、「どこが全体？」「1つあたりはどれ？」「差はどこの面積？」と質問しながら導くと効果的です。

面積図の解き方は、特別なひらめきではなく、手順で身につけられる力です。今日からは、式だけでなく「何を長方形で表しているか」にも目を向けて、文章題に強い算数の土台を育てていきましょう。