中学受験算数 図形の求積の過去問対策

中学受験算数の図形の求積は過去問で差がつく

この記事では、中学受験算数の図形の求積を過去問で得点につなげるために、よく出る型と家庭でできる復習法を順番に解説します。

過去問では公式暗記だけでは対応しにくい

中学受験算数の図形の求積は、過去問に入ると急に難しく感じやすい単元です。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、台形の面積は「上底と下底の和×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」と覚えていても、過去問ではそのまま公式に数字を入れるだけでは解けない問題が多くなります。

過去問の求積問題では、複数の図形が組み合わさっていたり、色のついた一部分だけを求めたり、円や扇形と三角形が重なっていたりします。さらに、必要な長さがすべて書かれているとは限らず、同じ高さ、相似、面積比などを使って考える場面も出てきます。

つまり、過去問で問われているのは、公式を知っているかだけではありません。図形を公式が使える形に整理できるか、直接求めるのか、全体から引くのか、比で考えるのかを判断する力です。

家庭では、過去問を解いた後に「どの公式を使ったか」だけでなく、「なぜその形として見たのか」を確認しましょう。図形の求積は、公式暗記から図の見方へ学習を深めることで過去問に対応しやすくなります。

学校ごとに問われる図形の見方が異なる

図形の求積の過去問対策では、志望校ごとの出題の特徴を見ることも大切です。同じ「面積を求める問題」でも、学校によって問われる力が少しずつ異なります。

たとえば、基本図形を正確に分ける力を重視する学校もあれば、面積比や相似を使って短く処理する力を問う学校もあります。円や扇形を含む図形を好む学校、補助線を引いて図形を整理させる学校、条件整理と計算力の両方を求める学校もあります。

もちろん、小学生の段階で学校ごとの傾向を細かく分析しすぎる必要はありません。しかし、過去問を数年分解くと、「この学校は全体から引く問題が多い」「面積比がよく出る」「円と正方形の組み合わせが出やすい」など、家庭でも気づける傾向があります。

過去問演習では、正解・不正解だけで終わらせず、問題の型を記録しましょう。「分ける型」「引く型」「面積比型」「円・扇形型」などに分類しておくと、志望校対策が具体的になります。

過去問演習は「解いた後」が重要

図形の求積の過去問演習で最も大切なのは、解いた後の復習です。過去問は解くだけで力がつくものではありません。解いた後に、なぜ解けたのか、なぜ間違えたのか、次に同じ型が出たときに何をすればよいのかを確認して初めて効果が出ます。

過去問の図形問題は、見た目が複雑です。そのため、解説を読んで「なるほど」と思っても、数日後に似た問題を解くとまた止まることがあります。これは、答えを理解しただけで、解き方の手順が自分のものになっていない状態です。

復習では、「求める部分を確認したか」「底辺・高さ・半径を書き込んだか」「全体から引く発想はあったか」「同じ高さや相似に気づけたか」を振り返ります。

家庭では、過去問を解いた後に「この問題は何の型だった？」と聞いてみましょう。答えが合っていても、型を説明できなければ次に再現しにくいです。過去問演習は、点数を測る時間であると同時に、弱点を見つける時間でもあります。

図形の求積の過去問で最初に確認したい基本

求める面積が全体か一部かを見る

図形の求積の過去問では、まず「求める面積が全体なのか、一部なのか」を確認することが大切です。ここを見落とすと、正しい公式を使っていても、違う部分の面積を出してしまいます。

全体の面積を求める問題なら、図形を基本図形に分けて足す方法が使いやすいことがあります。一方で、色のついた部分、重なった部分、外側の部分などを求める問題では、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の面積を求めるなら、正方形の面積から円の面積を引きます。扇形の中に三角形がある問題では、扇形から三角形を引くことで求められることがあります。

過去問では、問題文が長くなったり、図が複雑になったりするため、求める部分を取り違えるミスが起こりやすくなります。家庭では、式を書く前に「求めるのはどこ？」と確認し、図の中に印をつける習慣をつけましょう。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

過去問の求積問題では、底辺・高さ・半径を図に書き込むことが欠かせません。公式を知っていても、使う数を間違えると得点にはつながりません。

三角形では、底辺と高さが直角に交わることを確認します。台形では、上底・下底・高さを区別します。円では、中心から円周までが半径です。直径が与えられている場合は、その半分を半径として使います。扇形では、半径と中心角を確認します。

過去問では、必要な長さが図の中に散らばっていることがあります。問題文に書かれた条件、等しい辺、直角、平行、半径、直径などを図へ書き込まないまま考えると、見落としが増えます。

家庭では、「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」「直径をそのまま使っていない？」と短く確認しましょう。過去問ほど、基本情報を図に整理する力が正答率を左右します。

同じ高さ・同じ底辺から面積比を考える

中学受験算数の図形の求積では、過去問でも面積比がよく使われます。特に、三角形が複数ある問題では、「同じ高さ」と「同じ底辺」を見つけることが重要です。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で、底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

さらに難しい過去問では、相似を使って辺の比を求め、その比から面積比へつなげることもあります。相似比が2：3なら、面積比は4：9になります。こうした問題では、公式よりも図形どうしの関係を見つける力が大切です。

家庭では、過去問の復習時に「同じ高さの三角形はあった？」「相似は使えた？」「底辺の比から面積比にできた？」と確認しましょう。面積比は、過去問で得点差がつきやすい重要な視点です。

中学受験算数 図形の求積の過去問でよく出る型

複雑な図形を分けて求める問題

図形の求積の過去問でよく出る型の一つが、複雑な図形を基本図形に分けて求める問題です。見た目が難しくても、三角形、長方形、台形、円、扇形などに分ければ、基本公式で処理できることがあります。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けられます。五角形のような図形も、対角線を引いて三角形と四角形に分けると求めやすくなります。円を含む図形でも、半円や扇形として見ることで計算できる場合があります。

過去問で大切なのは、むやみに細かく分けすぎないことです。細かく分けると、必要な長さが分からなくなったり、計算が増えたりします。すでに分かっている長さを使えるように分けることがポイントです。

家庭では、「この図形は何と何に分けられる？」と聞いてみましょう。子どもが「長方形と三角形」「台形と三角形」など、基本図形の名前で説明できれば、過去問でも解き方の入口を見つけやすくなります。

全体から不要な部分を引く問題

過去問で頻出するもう一つの型が、全体から不要な部分を引く問題です。求めたい部分が複雑な形をしているときは、直接求めようとするより、大きな図形から引いた方が簡単なことがあります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けている図形なら、大きな長方形から欠けた部分を引けば求められます。

扇形と三角形が組み合わさった問題でも、扇形から三角形を引く、または大きな図形から不要な部分を引く発想がよく使われます。過去問では、直接求めるより「大きく見て引く」方が短く解ける問題が多くあります。

家庭では、「直接出しにくいなら、大きな形から引けないかな？」と声をかけてみましょう。求めたい部分と引く部分に印をつけると、式の意味が見えやすくなります。

面積比や相似を使って求める問題

中学受験算数の図形の求積の過去問では、面積比や相似を使う問題もよく出ます。特に、難関校や上位校では、すべての長さを求めるのではなく、比を使って面積を処理する力が問われます。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。平行線がある図形では、この考え方がよく使われます。また、相似な三角形がある場合は、対応する辺の比から面積比を考えることがあります。

たとえば、相似比が2：3なら、面積比は4：9になります。この性質を使えば、すべての面積を直接計算しなくても、全体の面積から一部の面積を求められることがあります。

家庭では、過去問の復習で「同じ高さを使ったのか」「相似を使ったのか」「面積比に直したのか」を確認しましょう。面積比や相似は、最初は難しく感じますが、型として整理すれば少しずつ使えるようになります。

家庭でできる図形の求積の過去問復習法

1問ごとに解き方を説明させる

図形の求積の過去問を家庭で復習するときは、1問ごとに解き方を説明させることが大切です。答えが合っているかだけを見ると、たまたま正解した問題や、解説をなぞっただけの問題を見逃してしまいます。

分けて求めた問題なら、「なぜその形に分けたのか」を説明します。全体から引いた問題なら、「何を全体として見て、何を引いたのか」を説明します。面積比を使った問題なら、「どこが同じ高さだったのか」「相似比からどう面積比にしたのか」を言葉にします。

親が長く解説する必要はありません。「どうして足したの？」「なぜ引いたの？」「どこが同じ高さ？」と短く聞くだけで十分です。子どもが自分の言葉で説明することで、過去問の解き方が整理されます。

過去問復習では、正解数よりも再現性が大切です。次に似た問題が出たときに、同じ発想を使えるかどうかを意識しましょう。

間違いを原因別に分ける

過去問で図形の求積を間違えたときは、原因を具体的に分けることが大切です。すべてを「図形が苦手」「過去問が難しい」でまとめると、次に何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、求める部分を取り違えた、底辺と高さを間違えた、半径と直径を取り違えた、全体から引く発想が出なかった、同じ高さを見落とした、相似に気づけなかった、面積比を使えなかった、計算に時間がかかりすぎた、などです。

原因が分かれば、復習すべき内容が見えます。半径と直径のミスなら円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら面積比の基本を練習します。相似に気づけなかったなら、相似と面積比の接続を復習します。

復習ノートには、「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」「相似に気づけなかった」など、一言で原因を書きましょう。過去問の間違いは、次に得点するための貴重な材料です。

同じ型の類題に戻って解き直す

過去問で間違えた問題は、その1問だけを直して終わらせないことが大切です。同じ型の類題に戻って解き直すことで、考え方が定着しやすくなります。

たとえば、全体から引く問題で間違えたなら、同じように「大きな図形から小さな図形を引く」問題を3問ほど解きます。面積比で間違えたなら、同じ高さを使う三角形の問題に戻ります。相似と面積比が組み合わさった問題で止まったなら、相似比と面積比の基本問題を確認します。

過去問は総合問題であるため、いきなり同じ過去問を何度も解いても、根本原因が直らないことがあります。まずは、その過去問がどの基本型の組み合わせだったのかを見つけることが大切です。

家庭では、「この過去問は何の型だった？」と聞いてみましょう。型が分かったら、同じ型の標準問題に戻ってから、もう一度過去問へ戻ります。この往復が、過去問対策では効果的です。

まとめ

中学受験算数の図形の求積は、過去問で差がつきやすい単元です。公式を覚えているだけではなく、図形をどう見るか、どの部分を求めるか、分けるのか、引くのか、面積比や相似を使うのかを判断する力が必要です。

過去問では、まず求める面積が全体か一部かを確認しましょう。次に、底辺・高さ・半径を図に書き込みます。三角形が複数ある問題では、同じ高さ・同じ底辺・相似から面積比を考えます。

よく出る型は、複雑な図形を分けて求める問題、全体から不要な部分を引く問題、面積比や相似を使って求める問題です。過去問を解いた後は、このどの型に当てはまるかを確認することが大切です。

家庭では、1問ごとに解き方を説明させ、間違いを原因別に分けましょう。さらに、同じ型の類題に戻ってから過去問へ戻ると、解き方が定着しやすくなります。図形の求積の過去問対策は、解いた年数よりも、復習の質で得点力が変わります。