中学受験算数 立体図形のコツを解説

中学受験算数の立体図形はコツを知ると見え方が変わる

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の立体図形を解くコツと、家庭でできる具体的な教え方を順に解説します。

立体図形は公式より「どこを見るか」が大切

中学受験算数の立体図形というと、体積や表面積の公式を思い浮かべる保護者は多いと思います。もちろん公式は必要です。直方体の体積は「たて×横×高さ」、柱体の体積は「底面積×高さ」という基本は、必ず使えるようにしておきたい内容です。

ただし、立体図形で点を落とす子は、公式を知らないから解けないとは限りません。むしろ、どの長さを使うのか、どの面が見えているのか、どこが底面なのかを見抜けずに止まっていることが多くあります。

立体図形のコツは、計算を始める前に見る場所を決めることです。まず、たて・横・高さを確認する。次に、見えている面と隠れている面を分ける。最後に、体積を求めるのか、表面積を求めるのかを判断する。この順番を守るだけで、問題の見え方はかなり変わります。

見えない面や辺を補う力が得点差になる

立体図形の難しさは、図にすべてが描かれていないところにあります。平面図形では、線や角度が紙の上に見えています。しかし立体図形では、奥にある辺、下に隠れている面、内部の切り口などを頭の中で補う必要があります。

たとえば、直方体の見取り図では、手前の面は分かりやすく描かれていますが、奥の辺や下の面は見えにくくなります。積み木の表面積を求める問題では、外から見えない面を数えてはいけません。切断問題では、立体の中を通る平面を想像する必要があります。

ここで差がつくのは、特別なひらめきではありません。見えない部分を点線で書き足す、面に名前をつける、切る場所に印をつけるといった小さな作業です。中学受験算数では、このような丁寧な図の扱いが得点につながります。

苦手な子ほど実物と図を行き来すると伸びる

立体図形が苦手な子に、いきなり紙の上だけで理解させようとすると、かえって混乱することがあります。立体を頭の中で動かしたり、切ったり、開いたりするには、実物を見たり触ったりした経験が必要です。

たとえば、お菓子の箱を見ながら「上の面はどこ？」「底の面はどこ？」「展開図にしたらどこへ開く？」と確認すると、立体が平面図とつながって見えてきます。積み木や消しゴムを使って、積む、くり抜く、切る動きを確認するのも効果的です。

これは幼い学習ではありません。中学受験算数の立体図形は、具体物でつかんだ感覚を、見取り図や展開図に移していく単元です。苦手な子ほど、実物と図を何度も行き来することで理解が安定します。

立体図形を解くための基本のコツ

見取り図は「たて・横・高さ」を先に確認する

見取り図を読むときのコツは、最初にたて・横・高さを確認することです。見取り図は立体を斜めから見たように描いた図ですが、紙の上では奥行きがつかみにくくなります。そのため、どの方向がたてで、どの方向が横で、どの方向が高さなのかを先に整理する必要があります。

直方体なら、まず3方向の長さに印をつけます。次に、上の面、前の面、横の面を確認します。問題によっては、奥の辺や下の面が省略されていることもあるため、必要なら点線で書き足してかまいません。

家庭で声をかけるなら、「高さはどこ？」「奥行きはどの向き？」「底面はどの面？」と聞いてみてください。子どもがこの3つを指で示せるようになると、体積や表面積の問題に入りやすくなります。

展開図は向かい合う面を探す

展開図のコツは、向かい合う面を探すことです。展開図は平面に描かれているため、子どもはそのまま平面図として見てしまいがちです。しかし、実際には折りたたんで立体にする必要があります。

立方体の展開図では、隣り合う面と向かい合う面を区別することが大切です。向かい合う面は、立体になったときに直接くっつきません。ある面を基準にして、折り上げたときに反対側へ来る面を探します。

最初は頭の中だけで考えるより、紙に展開図を描いて切り取り、実際に折ってみるのがおすすめです。面に「上」「下」「前」「後ろ」「右」「左」と名前を書くと、立体になったときの位置関係が分かりやすくなります。

体積と表面積は求める場所を分ける

立体図形で混乱しやすいのが、体積と表面積の違いです。体積は立体の中身の大きさ、表面積は外から見える面の広さです。この違いをはっきりさせることが、立体図形を解く大きなコツです。

たとえば、立方体をいくつか積んだ問題では、体積なら立方体の個数を数えれば求められる場合があります。しかし表面積では、外から見える面だけを数えなければなりません。立方体同士がくっついている面は、外から見えないため表面積には入りません。

問題を読んだら、まず「中身を求めるのか、外側を求めるのか」を確認しましょう。中身なら体積、外側なら表面積です。この判断ができると、使う式や図への印のつけ方が決まります。

入試でよく出る立体図形のコツ

積み木問題は外から見える面を数える

中学受験算数でよく出る立体図形の一つが、積み木問題です。小さな立方体をいくつか積み上げた立体について、体積や表面積を求める問題です。

体積を求める場合は、基本的に立方体の個数を数えます。見えている部分だけでなく、奥や下に隠れている立方体がないかを確認します。一方、表面積を求める場合は、外から見える面を数えます。くっついている面や床についている面は、問題の条件によって数えるかどうかが変わるため注意が必要です。

コツは、上から見た図、前から見た図、横から見た図に分けて考えることです。一つの見取り図だけで判断しようとすると、隠れている立方体を見落としやすくなります。家庭では、実際に積み木や小さな箱を積んで、見える面を数える練習をすると理解が深まります。

水量変化は底面積と高さの関係で考える

水量変化の問題も、立体図形でよく出ます。容器に水を入れる、物体を沈める、水面の高さが変わるといった問題です。このタイプのコツは、底面積と高さの関係で考えることです。

水の体積は、基本的に「底面積×水の高さ」で表せます。同じ体積の水でも、底面積が大きい容器では水面の高さは低くなり、底面積が小さい容器では水面の高さは高くなります。

たとえば、底面積が60平方cmの容器に300立方cmの水を入れると、水の高さは5cmです。物体を沈めた場合は、その物体が水中に入った分だけ水面が上がります。ここでも大切なのは、「増えた体積が高さの変化として表れる」と考えることです。

切断問題は切り口の形を先に決める

立体図形の中でも、切断問題は苦手な子が多い分野です。切断問題のコツは、いきなり体積を求めようとせず、まず切り口の形を決めることです。

切る平面がどの頂点や辺を通るのかを確認し、同じ面の中にある点同士を結びます。立体の面を一つずつ見ながら線をつないでいくと、切り口の形が見えてきます。切り口が三角形なのか、四角形なのか、五角形なのかが分かってから、体積や面積の計算に進みます。

家庭で練習する場合は、いきなり難しい問題に進まず、豆腐、消しゴム、紙の箱などを使って「斜めに切るとどんな形が見えるか」を確認するとよいでしょう。実物で見た経験があると、紙の上の切断図も理解しやすくなります。

家庭でできる立体図形の苦手対策

箱や積み木を使って立体を触る

立体図形の苦手対策で最も取り入れやすいのは、身近な箱や積み木を使うことです。ティッシュ箱、お菓子の箱、牛乳パック、積み木などは、立体図形を理解するためのよい教材になります。

箱を見ながら、上の面、下の面、前の面、後ろの面、右の面、左の面を確認します。次に、箱を開いたらどの面がどこへ行くのかを考えます。積み木なら、見えている面と隠れている面を数える練習ができます。

紙の上の図だけで理解しようとすると難しく感じる子でも、実物を触ると「ああ、そういうことか」と気づくことがあります。家庭では、特別な教材を用意しなくても、身近なものを使って立体の感覚を育てられます。

解説を読む前に図へ印を入れる

立体図形の問題では、解説を読む前に図へ印を入れる習慣をつけましょう。問題文に書かれている長さ、高さ、切る場所、水の深さ、見えている面などを、図に書き込むだけで考えやすくなります。

たとえば、体積を求める問題なら、底面と高さに印をつけます。表面積を求める問題なら、外から見える面に丸をつけます。切断問題なら、切る平面が通る点に印をつけます。

この一手間を省くと、解説を読んだときには分かっても、自分で解くときに再現できません。立体図形のコツは、頭の中だけで考えず、図に情報を出していくことです。

間違い直しは「どこが見えなかったか」を確認する

立体図形の間違い直しでは、答えや式を写すだけでは力がつきません。大切なのは、「どこが見えていなかったのか」を確認することです。

表面積で間違えたなら、外から見えない面を数えていなかったか、逆に隠れている面まで足していなかったかを見ます。展開図で間違えたなら、向かい合う面を取り違えていなかったかを確認します。切断問題で間違えたなら、切り口が通る面を見落としていなかったかを振り返ります。

間違い直しノートには、「高さを取り違えた」「隠れた面を数えた」「切り口を最後まで結べなかった」など、原因を短く書くとよいでしょう。原因が言葉になると、次に同じタイプの問題を解くときの注意点が明確になります。

まとめ

中学受験算数の立体図形は、公式を覚えるだけでは得点につながりにくい単元です。大切なのは、どこを見るかを決め、見えない面や辺を補いながら、立体を正しく読み取ることです。

基本のコツは、見取り図ではたて・横・高さを確認すること、展開図では向かい合う面を探すこと、体積と表面積では求める場所を分けることです。入試でよく出る積み木問題、水量変化、切断問題も、この基本の見方が土台になります。

家庭では、箱や積み木を使って実物に触れる、解説を読む前に図へ印を入れる、間違えたときに「どこが見えなかったか」を確認することが効果的です。立体図形が苦手な子ほど、頭の中だけで考えさせず、手を動かして見える形にすることが大切です。

立体図形は、センスだけで決まる単元ではありません。見る順番と確認のコツを身につければ、苦手な子でも少しずつ解ける問題が増えていきます。保護者は、答えを急がせるより、「どの面が見えている？」「高さはどこ？」「外側を求めるのか、中身を求めるのか」と声をかけて支えてあげてください。