中学受験算数 立体図形偏差値50対策

中学受験算数の立体図形で偏差値50前後がつまずく理由

この記事では、中学受験算数の立体図形で偏差値50前後の子がつまずく理由と、家庭で立て直して得点につなげる方法を順を追って解説します。

公式は分かっても使う形を判断できない

偏差値50前後の子は、立体図形の基本公式をまったく知らないわけではありません。直方体の体積は「たて×横×高さ」、表面積は各面の面積を足す、と説明できる子も多いでしょう。

それでもテストで点にならないのは、与えられた立体をどの形として見ればよいか判断できないからです。

たとえば、階段型の立体が出たとき、そのまま使える公式はありません。上と下の二つの直方体に分けて足すのか、大きな直方体から欠けた部分を引くのかを自分で決める必要があります。

偏差値50前後では、この「公式を使う前の整理」が得点差になりやすいところです。子どもがすぐ式を書こうとしたら、家庭では「この立体は何個の直方体に分けられる？」と聞いてみてください。

立体を基本の形へ戻せれば、覚えている公式を使えるようになります。

見えない面や辺を頭の中だけで考えている

立体図形では、図に描かれていない裏面や底面、奥の辺まで考えなければなりません。ここを頭の中だけで処理しようとすると、情報が抜けやすくなります。

特に表面積では、見えている面だけを数えて、裏側や底面を忘れるミスがよくあります。展開図では、紙の上で離れている面が、組み立てた後にどこへ来るのか分からなくなります。

この状態は、空間を考える才能が足りないという意味ではありません。実物を見たり、図に書き込んだりする経験が不足しているだけの場合が多いです。

空き箱を前・横・上から見る、紙の展開図を実際に組み立てる、積み木を並べるといった練習で、見えない部分は少しずつ捉えられるようになります。

最初から頭の中だけで解かせる必要はありません。実物で確かめたあと、同じ内容を図で説明させる流れが効果的です。

偏差値50前後で見直したい学習サイン

立体図形で伸び悩む子には、いくつか共通するサインがあります。

一つ目は、図を小さく書くことです。ノートの端に小さな見取り図を書き、長さや補助線を詰め込むため、情報が見えなくなります。

二つ目は、問題文を読んですぐに公式を探すことです。何を求める問題か、どこを底面にするかを確認せず、数字を掛け合わせてしまいます。

三つ目は、解説の式だけを写して復習を終えることです。直後は分かったように見えても、図や数字が変わると、また入口で止まります。

家庭では、正解したかどうかだけでなく、「図を大きく書いたか」「どこを底面にしたか」「立体をどう分けたか」を見てください。途中の考え方を確認すると、本当の弱点が分かります。

立体図形で偏差値50から伸ばす基本の見方

見取り図は面・辺・高さに分ける

立体図形の立て直しでは、見取り図を一つのかたまりとして見ないことが大切です。まず、面・辺・高さに分けます。

直方体なら、前の面、横の面、上の面を指で確認します。次に、平行な辺や同じ長さの辺を探します。最後に、どの長さが高さにあたるかを見ます。

見取り図の斜めに描かれた辺は、奥行きを表すためのものです。見た目の長さを測って使うのではなく、問題文に示された数字と辺の関係を使います。

家庭では、計算に入る前に「今見ている面はどこ？」「この辺と同じ長さなのはどれ？」と聞いてみましょう。立体を細かく分けて見られるようになると、体積や表面積の問題でも迷いにくくなります。

体積は底面積と高さで考える

偏差値50前後から伸ばすには、体積を「たて×横×高さ」だけで覚えるのではなく、「底面積×高さ」で考えることが重要です。

たとえば、底面がたて4cm、横6cm、高さ5cmの直方体なら、底面積は4×6＝24㎠です。体積は24×5＝120㎤になります。

この見方が身につくと、水そう問題にも対応しやすくなります。底面積が40㎠の水そうに200㎤の水を入れた場合、水の高さは200÷40＝5cmです。

底面は必ず下側とは限りません。どの面を底面として選んでも、その面に垂直な長さを高さにすれば体積は同じです。

家庭では「底面はどこ？」「その底面に対する高さはどれ？」をセットで確認しましょう。底面と高さを取り違えるミスが減っていきます。

表面積は面を組にして数える

表面積で多い失点は、面の数え漏れです。直方体では、向かい合う二つの面は同じ大きさになります。

そこで「前と後ろ」「右と左」「上と下」の3組に分けて考えます。一つずつばらばらに数えるより、整理しやすくなります。

たとえば、たて4cm、横6cm、高さ5cmの直方体なら、4×6の面が2枚、6×5の面が2枚、4×5の面が2枚あります。表面積は、それぞれを2倍して足します。

複合立体では、直方体同士が接している面は外から見えないため、表面積には入りません。分けて考えたときに、内部の面まで足さないよう注意が必要です。

家庭では、数えた面に印をつけたり、同じ大きさの面へ同じ記号を書いたりすると、重複や漏れを防げます。

家庭でできる立体図形の立て直し方

箱や積み木を使って見えない部分を確かめる

立体図形が苦手な子には、問題集だけでなく、実物を使う練習が有効です。空き箱、積み木、サイコロ、方眼紙など、家庭にあるもので十分です。

空き箱は、前・横・上から見た形を確かめるのに使えます。箱を回しながら、「今見えていない面はどこ？」と確認すると、裏側や底面を意識できるようになります。

積み木は、体積の意味を理解するのに役立ちます。たて3個、横4個、高さ2個に積んだ場合、3×4×2＝24個の小さな立方体があると目で確認できます。

展開図が苦手なら、紙で作って実際に折りましょう。最初に向かい合う面を予想し、その後で組み立てて確かめると、少しずつ図だけでも判断できるようになります。

図を大きく書いて足す・引くを整理する

複雑な立体では、図を大きく書き直し、「足す部分」と「引く部分」を分けます。

階段型の立体なら、分ける場所に線を引き、それぞれの直方体へ必要な長さを書き込みます。欠けた立体なら、元の大きな直方体を考え、欠けた部分に斜線を引きます。

たとえば、大きな直方体の体積が180㎤、欠けた部分が30㎤なら、残りは180－30＝150㎤です。図の中でどこを引くのかが見えていれば、式の意味も理解できます。

図は上手に描く必要はありません。求める部分、使う長さ、分ける位置が分かれば十分です。立体図形では、図を書く時間を惜しまない方が、結果的に早く正確に解けます。

間違いを3種類に分けて復習する

立体図形の間違いは、「分からなかった」で終わらせず、3種類に分けて復習しましょう。

一つ目は、図の読み取りミスです。見えない面を忘れた、底面を取り違えた、展開図の対応を誤った場合が当てはまります。

二つ目は、解き方の選択ミスです。足すべきところを引いた、立体をうまく分けられなかった、水位が変わる地点で区切らなかった場合です。

三つ目は、計算ミスです。掛け算や単位を間違えた場合で、立体図形そのものの理解とは分けて考えます。

原因が分かれば、復習方法も決まります。図の読み取りなら実物へ戻り、解き方の選択なら類題を1問解き、計算ミスなら途中式や単位を見直します。

偏差値50前後から得点につなげる学習法

基本問題を短時間で反復する

偏差値50前後では、難問を増やすより、基本問題を短時間で正確に解く練習が優先です。

直方体・立方体の体積、表面積、簡単な展開図、水そうの基本を繰り返します。1日20〜30分程度で、基本問題1問、標準問題1問、前回の解き直し1問でも十分です。

反復するときは、同じ問題を何度も眺めるのではなく、少し時間を空けて解き直します。翌日や3日後に、解説を見ずに図と式を再現できるか確かめましょう。

正解した場合も、「どこを底面にしたか」「どう分けたか」を説明できるか確認します。説明できれば、考え方が定着し始めています。

標準問題は型ごとに整理する

立体図形の標準問題は、体積、表面積、複合立体、水そう、展開図、切断のように型ごとに整理します。

問題集を最初から順番に解くだけでは、子どもは毎回別の問題に見えてしまいます。同じ型を2〜3問まとめて比べると、共通する考え方に気づきやすくなります。

ノートには、問題番号だけでなく「欠けた立体は全体から引く」「水そうは底面積×高さ」のような短い見出しを書いておきましょう。

ただし、同じ型を大量に連続して解くと、手順を覚えただけになることもあります。基本が分かったら、数日後に別の型と混ぜて、問題の種類を自分で判断できるか確認します。

テストでは難問より取るべき問題を優先する

偏差値50前後から成績を上げるには、立体図形の難問を解くことより、基本・標準問題を落とさないことが重要です。

複雑な切断や体積比に長く時間を使い、計算や基本的な体積問題を落とすと、全体の点数は伸びません。

テストでは、体積や表面積の基本小問、水そうの最初の設問など、取れる問題を先に確保します。1〜2分考えても図への書き込みが進まない難問は、いったん後回しにして構いません。

家庭で模試や過去問を振り返るときは、「解けなかったか」だけでなく、「取るべき問題だったか」を確認してください。解く力と同時に、問題を選ぶ力を育てることが偏差値アップにつながります。

まとめ

中学受験算数の立体図形で偏差値50前後の子が伸び悩む原因は、公式を知らないことだけではありません。公式を使える形に立体を整理できない、見えない面や辺を頭の中だけで処理している、図が小さく情報が混ざっていることが主な原因です。

まずは、見取り図を面・辺・高さに分け、体積を底面積×高さで考えましょう。表面積では、向かい合う面を組にして数えると、数え漏れを防げます。

家庭では、箱や積み木を使って立体を確かめ、問題の図を大きく書き直してください。間違いは、図の読み取り・解き方の選択・計算の3種類に分けると、必要な復習が明確になります。

偏差値50前後から伸ばすには、難問よりも基本・標準問題の安定が先です。少ない問題を丁寧に解き、どこを見て、どう分けたかを説明する練習を続けましょう。見る順番と解く手順が整えば、立体図形は着実に得点へ変えられます。