中学受験算数 展開図の解き方とコツ

中学受験算数の展開図でつまずく理由

この記事では、中学受験算数の展開図でつまずく理由を整理し、向かい合う面や重なる辺を見つける具体的な解き方を解説します。

頭の中だけで組み立てようとしている

展開図は、立体の表面を切り開き、平面に広げた図です。中学受験算数では、立方体や直方体を組み立てたときの面・辺・頂点の位置がよく問われます。

ところが、展開図が苦手な子ほど、紙の図を見た瞬間に頭の中だけで折り上げようとします。空間をイメージする力が十分に育っていない段階では、途中で面の向きが分からなくなるのも当然です。

たとえば、正方形が6枚並んだ立方体の展開図を見て、すべての面を同時に動かそうとすると混乱します。大切なのは、一度に完成形を想像しないことです。最初に一つの面を底面と決め、その周りの面を一枚ずつ起こしていきます。

展開図は、ひらめきだけで解く問題ではありません。折る順番と印の付け方を身につければ、空間認識に自信がない子でも解きやすくなります。

面・辺・頂点の対応が整理できていない

展開図の問題では、面だけでなく、辺や頂点の対応も考えます。ここを曖昧にすると、「面の位置は分かったのに、重なる辺を間違えた」ということが起こります。

立方体には、6つの面、12本の辺、8つの頂点があります。展開図では離れて描かれている二つの辺が、組み立てるとぴったり重なる場合があります。また、平面上では離れた三つの点が、立方体では一つの頂点に集まることもあります。

子どもがよくする失敗は、面の位置だけを目で追い、辺や頂点に印を付けないことです。頭の中で対応を覚えておこうとすると、面が増えるほど混乱します。

家庭では、重なると考えた辺に同じ色や記号を付けさせましょう。頂点なら、同じ場所に集まる点へ同じ番号を書きます。情報を図の上に残すことで、考える負担を減らせます。

展開図の形を丸暗記している

立方体の展開図には複数の形がありますが、それらをすべて形のまま暗記しようとする子もいます。一時的には正解できても、回転させた図や一部の面が移動した図になると判断できません。

展開図の見分け方で大切なのは、見た目ではなく、組み立てたときに面が重ならないかを確認することです。

たとえば、四つの正方形が一直線に並ぶ展開図では、その四面が立方体の側面を一周するように折れます。残りの二面が、上面と下面になる位置に付いていれば組み立てられます。一方、折ったときに二つの面が同じ場所へ来る並び方では立方体になりません。

暗記に頼らず、「この面を底にすると、隣の面はどちらへ起きるか」と一面ずつ確かめる方が、初めて見る展開図にも対応できます。

展開図の解き方で押さえたい基本

基準となる面を一つ決める

展開図の解き方の第一歩は、基準となる面を一つ決めることです。問題で特定の面に記号や模様が付いているなら、その面を底面または正面として考えると分かりやすくなります。

基準面を決めたら、直接つながっている面を一枚ずつ起こします。基準面の上に付く面、右に付く面、左に付く面というように、位置を言葉にしながら整理します。

たとえば、中央の正方形を底面にすると、その上下左右にある四面は立方体の側面になります。そして、そのうち一面の外側に付いている正方形が、折り返されて上面になります。

このように一面ずつ処理すれば、六面を同時に頭の中で動かす必要はありません。

家庭では、「どの面を動かさずに考える？」と最初に聞いてください。基準面が毎回変わると混乱するため、問題を解き終えるまで同じ面を基準にすることが大切です。

向かい合う面は一面ずつ折って探す

中学受験の展開図で頻出なのが、向かい合う面を求める問題です。立方体では、ある面に対して、辺を共有しない反対側の面が一つあります。

向かい合う面を探すときも、完成形を一気に想像しません。基準面の周りにある四面を側面として起こし、最後にふたをする面を探します。その最後の面が基準面と向かい合います。

四面が一直線に並んでいる展開図なら、その四面は立方体の側面として一周します。この場合、一つ飛ばしに位置する面同士が向かい合います。ただし、図の向きによって見え方が変わるため、形だけで決めつけず、折る順番を確認しましょう。

サイコロ型の問題でも同じです。向かい合う面が分かれば、ある面を上にしたときの正面や右側を考えやすくなります。

重なる辺と頂点には同じ記号をつける

辺や頂点の対応を問う問題では、同じ記号を付ける方法が有効です。

まず、展開図を折ったときに接する二つの辺を探します。一方の辺に「ア」と書いたら、重なる辺にも「ア」と書きます。頂点も同様に、組み立てたときに一つの角へ集まる点に同じ番号を付けます。

ここで注意したいのは、辺の向きです。二つの辺が重なっても、端の頂点の対応が逆になることがあります。辺全体だけを見るのではなく、どちらの端がどの頂点へ来るかまで確かめなければなりません。

紙の帯を折るように、面を一枚ずつ起こしながら辺の両端を追うと分かりやすくなります。

家庭学習では色鉛筆を使っても構いません。最初は色で対応させ、慣れてきたら本番を想定して記号や番号だけで整理する練習へ移りましょう。

中学受験でよく出る展開図問題の解き方

立方体になる展開図を見分ける

複数の図から、立方体になる展開図を選ぶ問題では、面の重なりと不足を確認します。

最初に、正方形が6枚あるかを数えます。次に一面を基準にして折り、同じ位置へ二面が重ならないかを確認します。面が6枚あっても、組み立てたときに重なる配置では立方体になりません。

よくある見分け方の一つが、四面が一直線に並ぶ部分を側面として見る方法です。残り二面が側面列の適切な位置に付いていれば、上面と下面になります。

また、正方形が縦横に2枚ずつ集まり、平面上で2×2のかたまりになっている部分にも注意が必要です。折り方によっては面同士が重なり、立方体にならない場合があります。

ただし、特定の形だけを「不可」と丸暗記するのではなく、実際に一面ずつ起こして確認する習慣を優先してください。

組み立てた後の面・辺・頂点を特定する

面に文字や模様が描かれた展開図では、組み立てた後の位置関係を問われます。

まず、動かさない基準面を決めます。次に、その面と辺を共有する面を起こし、上・下・左・右のどこに来るかを書き込みます。最後に残った面を折り、基準面の反対側に来るかを確認します。

頂点を特定する問題では、基準面の一つの頂点に注目します。その頂点へ接する二つの側面を探すと、組み立てた後に集まる三面が分かります。

たとえば、底面の右上の頂点には、底面・右側面・奥側面の三面が集まります。この三面を展開図上で追えば、同じ頂点になる点を見つけられます。

一度にすべての頂点を追わず、問われている頂点だけに絞ることが、速く正確に解くコツです。

展開図上の最短距離は一直線で考える

展開図を使った最短距離も、中学受験でよく出る問題です。立方体や直方体の表面上を、ある点から別の点まで最短で進む道のりを求めます。

立体の表面では折れ曲がって見える道も、通る面を展開すると平面上の一直線になります。そのため、どの面を通るかを決め、その面を一続きに開いてから二点を直線で結びます。

たとえば、直方体の三つの面を通る場合でも、展開の仕方は一通りとは限りません。複数の展開図を描き、それぞれの直線の長さを比べる必要があります。

長方形の対角線を使う場合は、たてと横に当たる長さを正しく整理します。立体図の見た目だけで斜めの長さを判断してはいけません。

家庭では、箱の表面にひもを当てた後、その箱を切り開いた図を見せると、「最短距離が直線になる」理由を理解しやすくなります。

家庭で展開図を得意にする練習法

紙で作って予想と確認を繰り返す

展開図が苦手な子には、紙で作る練習が効果的です。ただし、何も考えずに組み立てるだけではなく、「予想してから確かめる」流れにします。

最初に、向かい合う面、重なる辺、一つの頂点に集まる点を予想して印を付けます。その後で切り取り、実際に折って答えを確認します。

予想が外れた場合は、「どの面を反対方向へ折ってしまったか」「どの辺の向きを逆に考えたか」を見直します。間違いの理由まで確認することで、次の問題へつながります。

紙工作に時間をかけすぎる必要はありません。基本的な展開図を2〜3種類作り、面・辺・頂点の対応を繰り返し確かめるだけでも十分です。

実物から図だけの問題へ段階的に進む

展開図の学習は、実物、書き込み、頭の中の順に進めます。

最初は紙を実際に折ります。次に、紙は折らず、面に矢印を書いて「この面は上へ起きる」と整理します。最後に、最低限の記号だけで問題を解きます。

いきなり頭の中だけで考えさせると、できない経験が増えて苦手意識につながります。一方、いつまでも紙を折り続けるだけでは、試験で使える力になりません。

実物で確認した後、同じ問題を図だけでもう一度解くことが大切です。自力で向かい合う面や重なる辺を説明できれば、次の段階へ進めます。

間違えた理由を一言で残す

展開図の復習ノートには、模範解答を丸写しするより、間違えた原因を短く残しましょう。

たとえば、「基準面を途中で変えた」「辺の両端を逆にした」「二面を同じ場所へ折った」「最短距離で通る面を一通りしか調べなかった」と書きます。

その横に、「基準面へ丸を付ける」「重なる辺の端にも番号を書く」など、次に行うことを記録します。

翌日、同じ問題を紙で折らずに解き直し、数日後には似た展開図へ挑戦します。形が変わっても同じ手順を使えれば、考え方が定着しています。

まとめ

中学受験算数の展開図は、頭の中で立体を一気に組み立てる問題ではありません。基準となる面を一つ決め、周りの面を一枚ずつ起こし、面・辺・頂点の対応を図へ記録することで解きやすくなります。

向かい合う面を探すときは、基準面の周りに側面を起こし、最後にふたをする面を確認します。重なる辺や頂点には同じ記号を付け、辺の両端の向きまで追いましょう。

立方体になる展開図の判定では、折ったときに面が重ならないかを確認します。表面上の最短距離は、通る面を展開し、平面上の一直線として考えることが基本です。

家庭では、紙で展開図を作り、答えを予想してから組み立てて確かめます。その後、同じ問題を図だけで解き直し、実物に頼らなくても考えられる状態を目指してください。

展開図は、生まれつきの空間認識力だけで決まる単元ではありません。一面ずつ折る、同じ記号を付ける、必要な部分だけ追うという手順を身につければ、算数が苦手な子でも安定して得点できるようになります。