中学受験算数 切断の解き方と基本手順

中学受験算数の切断問題が難しい理由

この記事では、中学受験算数の切断問題を解く基本ルールから、切り口の形・面積・体積を求める手順まで、家庭で説明できる言葉で解説します。

見えない立体の内部を想像しようとしている

立体の切断とは、立方体や直方体などを一枚の平らな面で切る問題です。中学受験では、切り口の形を描く、切断面の面積を求める、切った後の立体の体積を求めるといった形で出題されます。

切断が苦手な子は、立体の内部を頭の中で一気に想像しようとします。しかし、見えない切断面を最初から完成形として思い浮かべるのは簡単ではありません。

切断問題では、切り口をひらめく必要はありません。立体の表面に現れる切断線を一本ずつ引き、最後につなげればよいのです。

たとえば、立方体の一つの面に切断する3点のうち2点があるなら、まずその2点を直線で結びます。その線が面の端まで届けば、隣の面に新しい点が生まれます。そこから次の線を引いていきます。

見えない内部を考えるのではなく、見えている面上の線を順番に追うことが、切断の解き方の基本です。

切断面と立体の面を混同している

切断問題では、「立体にもともとある面」と「切ったことで新しく現れる面」を区別する必要があります。

立方体には、前後・左右・上下の6面があります。一方、切断面は、立体を切ったときに内部へ新しくできる平らな面です。その輪郭が、立体の各面に現れる線をつないだ切り口になります。

子どもがよくする間違いは、異なる面にある2点を、そのまま立体図の上で結ぶことです。見取り図では近くに見えても、2点が同じ平面上にあるとは限りません。

切断線を引けるのは、基本的に「同じ面上にある2点」です。まず、各点が立体のどの面にあるかを確認しなければなりません。

家庭では、点を見つけたら「この2点は同じ正方形の面にある？」と聞いてみましょう。面を区別してから線を引く習慣をつけると、根拠のない補助線が減ります。

切り口を最初から完成させようとしている

切り口は三角形、四角形、五角形、六角形などになります。しかし、問題を見た瞬間に「これは六角形だ」と決める必要はありません。

最初から形を予想すると、その予想に合わせて無理に線を引いてしまうことがあります。切断問題では、線を一本ずつ正しくつなぎ、最後にできた形を確認する方が安全です。

また、切り口の辺の数は、切断面が通った立体の面の数と対応します。切断面が3面を通れば三角形、4面を通れば四角形になるのが基本です。

ただし、切り口が見取り図の上でゆがんで見えても、実際の形までゆがんでいるとは限りません。見取り図は立体を斜めから表した図なので、角度や長さを見た目だけで判断しないことが大切です。

立体切断の解き方で覚えたい基本ルール

同じ面上にある2点を直線で結ぶ

切断問題で最初に使うルールは、「同じ面上にある2点を直線で結ぶ」です。

切断する平面と、立体の一つの面が交わると、その交わりは一本の直線になります。そのため、同じ正方形や長方形の面に切断点が2つあれば、その2点を結べます。

たとえば、立方体の前面に点Aと点Bがあれば、AとBを直線で結びます。これが切り口を構成する一辺です。

一方、点Aが前面、点Cが背面にある場合、見取り図上で近くに見えても、すぐには結べません。まず別の点や平行線を使い、同じ面上に新しい点を見つける必要があります。

問題を始めたら、与えられた点に丸をつけ、「同じ面にある点の組」を探しましょう。最初の一本が引ければ、その先の切断線も追いやすくなります。

向かい合う平行な面では切断線も平行になる

2つ目の重要なルールは、平行な面にできる切断線は平行になることです。

立方体や直方体では、前面と背面、左面と右面、上面と底面がそれぞれ平行です。一枚の平面が平行な二つの面を横切ると、そこにできる交線も平行になります。

たとえば、前面に切断線ABが引けていて、背面上に切断点Cがあるとします。この場合、背面でCを通り、ABと平行な線を引くことで、背面の別の辺との交点を見つけられることがあります。

この平行線のルールは、同じ面上に2点が見つからず、次の線を引けないときに役立ちます。

ただし、見取り図の見た目だけで平行線を引かないようにしましょう。「前面と背面は平行だから、その面上の切断線も平行」と、使った理由を確認することが重要です。

線を隣の面へつなぎ切り口を一周させる

切断線は、面の途中で突然終わりません。ある面の辺に到達したら、その点は隣の面でも切断線の端になります。

たとえば、前面で引いた切断線が右側の辺と交わったなら、その交点は右側面上の点でもあります。右側面にもう一つ切断点があれば、その2点を結びます。

このように、「同じ面の2点を結ぶ」「辺との交点を隣の面へ移す」を繰り返します。最後に最初の点へ戻れば、切り口が一周して完成します。

切断線が途中で閉じない場合は、どこかの面を通り忘れているか、異なる面の点を誤って結んでいる可能性があります。

家庭では、切断線を引くたびに「今はどの面に線を引いた？」「この交点は次にどの面で使える？」と確認すると、立体の面を意識しやすくなります。

中学受験でよく出る切断問題の解き方

切り口の形と辺の本数を調べる

切断線を一周させたら、切り口が何角形になったかを確認します。

切断面が立体の3面を通れば三角形、4面なら四角形、5面なら五角形、6面なら六角形です。立方体を一枚の平面で切った場合、切り口は最大で六角形になります。

切り口の辺は、立体の各面に一本ずつ現れます。同じ面上に切断線が二本できることはありません。これは、二つの平面が交わる線が一本だからです。

問題では、切り口が正方形や長方形、ひし形、台形など、より詳しい形を問われることもあります。その場合は、平行な辺や等しい長さを確認します。

見取り図上の角度や長さは正確ではないため、「見た目が長方形だから」と判断してはいけません。平行線の関係、辺上の点の位置、対称性などから形を決めましょう。

切断面の長さや面積を求める

切り口を正しく描けたら、その辺の長さや面積を求める問題へ進みます。

切断面の辺は、立体の面上にあります。そのため、正方形や長方形の対角線、三角形の辺として長さを考えられます。

たとえば、一辺6cmの正方形の面で、隣り合う辺の中点同士を結んだ場合、できる三角形のたてと横はそれぞれ3cmです。切断面の面積を求めるには、まず各辺が立体のどの面上にあるかを確認します。

四角形の切り口では、対角線を引いて三角形に分けたり、底辺と高さを見つけたりします。複雑な形でも、三角形や長方形など、面積を求められる基本図形へ分けることが大切です。

なお、見取り図に描かれた斜めの線を定規で測ってはいけません。問題文の長さ、辺の比、中点などの条件から計算します。

切断後の立体の体積を求める

入試では、切断後にできる立体の体積を求める問題もよく出ます。

基本は、切り取られる部分を三角すいや角柱などの知っている立体として捉えることです。また、元の立体全体から不要な部分を引く方法もあります。

たとえば、立方体の一つの頂点を、その頂点から出る3本の辺の中点を通る平面で切ると、角に小さな三角すいができます。元の立方体の一辺が6cmなら、小さな三角すいの底面や高さには3cmが関係します。

ただし、切り口が描けていないまま体積計算へ進むと、どの部分を求めているか分からなくなります。まず、切断線を完成させ、切り取られる側へ斜線を入れましょう。

体積では、「切り取った部分を直接求める」「全体から引く」のどちらが簡単かを判断します。必要な長さがそろい、計算回数が少ない方法を選ぶことがポイントです。

家庭で切断の解き方を定着させる方法

粘土やスポンジで切り口を確認する

切断を初めて学ぶ子には、粘土、発泡スチロール、豆腐、スポンジなどを立方体に近い形へ整え、実際に切る体験が役立ちます。

切る前に、「どの面を通る？」「切り口は何角形になる？」と予想させます。その後に切って、予想と実物を比べましょう。

ただし、実物を切るだけで終わらせてはいけません。切り口を紙へ写し、問題の見取り図でも同じ線を引き直します。

「実物で確認する→見取り図へ戻す→類題を解く」という順番にすると、体験が入試問題へつながります。

なお、刃物を使う場合は必ず保護者が扱い、安全を優先してください。透明な立方体模型や組み立て式教材を使う方法もあります。

基本・標準・応用の順で演習する

切断問題は、難問を何問も解くより、基本ルールを段階的に使えるようにすることが重要です。

基本では、同じ面上の2点を結ぶだけで切り口が完成する問題を扱います。標準では、平行な面の切断線を利用して新しい点を見つけます。応用では、切り口の面積や切断後の体積を求めます。

一回の家庭学習は20〜30分程度で、基本問題1問、標準問題1問、前回の解き直し1問でも十分です。

切断線を描けない状態で体積問題へ進むと、解法の暗記になりやすくなります。まず、切り口を正確に一周させられることを、次の段階へ進む目安にしてください。

切断線を引いた理由まで説明させる

切断問題の理解度は、完成した切り口だけでは判断できません。偶然正しい線を引いていることもあるためです。

家庭では、「なぜこの2点を結べたの？」「なぜこの線と平行にしたの？」「この交点は次にどの面で使うの？」と聞いてみましょう。

「同じ面上に2点があるから」「前面と背面が平行だから」と説明できれば、基本ルールを理解しています。「解説がそうなっていたから」「何となくつながりそうだから」という場合は、配置が変わると解けない可能性があります。

間違えた問題は、答えの切り口を写すのではなく、最初に引ける一本と、その理由を復習ノートへ残しましょう。

切断問題では、最初の線を正しい根拠で引けるようになると、その後の線も順番に追いやすくなります。

まとめ

中学受験算数の切断問題は、見えない切り口を一気に想像して解くものではありません。立体の各面に現れる切断線を一本ずつ結び、最後に一周させることで切り口が完成します。

最初に覚えたいのは、「同じ面上にある2点を結ぶ」「平行な面にできる切断線は平行になる」「辺との交点を隣の面へつなぐ」という3つのルールです。

切り口が完成したら、通った面の数から何角形かを確認します。その後、各辺がどの面上にあるかを整理して、長さや面積を求めます。体積問題では、切り取った部分を直接求める方法と、全体から引く方法を比べましょう。

家庭では、粘土やスポンジなどで実際の切り口を確かめた後、必ず見取り図へ戻します。基本・標準・応用の順で進め、線を引いた理由まで説明させることが大切です。

切断は、生まれつきの空間認識力だけで決まる単元ではありません。同じ面、平行な面、隣の面という見る順番を身につければ、算数が苦手な子でも安定して解けるようになります。