中学受験算数の「場合の数」解き方完全ガイド

中学受験算数の「場合の数」でつまずく原因

この記事では、中学受験算数の「場合の数」について、基本的な解き方と図や表の使い分け、家庭での教え方を順を追って解説します。

場合の数は、計算が速い子でもつまずきやすい単元です。足し算や掛け算そのものは難しくなくても、「何を数えるのか」「どの順番で整理するのか」を自分で決めなければならないからです。

苦手な子に問題数だけを増やす前に、よくあるつまずきを確認しましょう。

思いついた順に数えてしまう

場合の数が苦手な子は、条件に当てはまる例を思いついた順に書きます。

たとえば、1・2・3の3枚のカードから2枚を並べて2桁の整数を作る問題で、「12、13、21、23……」と書き始める方法です。簡単な問題なら正解できますが、選択肢が増えると漏れや重なりが起こります。

この問題では、十の位を1、2、3の順に固定すると整理できます。

十の位が1なら12、13、十の位が2なら21、23、十の位が3なら31、32です。このように、一つの条件を固定して順番に調べることが場合の数の基本です。

順番を区別するか判断できていない

場合の数では、同じものを選んでも、順番によって別の1通りになる場合と、同じ1通りとして扱う場合があります。

Aさん、Bさん、Cさんから委員長と副委員長を選ぶなら、Aさんが委員長でBさんが副委員長の場合と、Bさんが委員長でAさんが副委員長の場合は別です。

一方、3人から掃除係を2人選ぶだけなら、AさんとBさんを選ぶことと、BさんとAさんを選ぶことは同じです。

問題を読んだら、「役割や並ぶ位置があるか」を確認してください。役割や位置があれば順番を区別し、単にグループを選ぶだけなら区別しないと判断できます。

樹形図や表を最後まで書かない

樹形図や表を書き始めても、途中から「もう分かった」と省略してしまう子がいます。

ところが、場合の数では最後の数個を省略したときに、漏れや重なりが起こりやすくなります。特に、「同じ数字は使えない」「隣り合ってはいけない」といった条件がある問題では注意が必要です。

基本を学ぶ段階では、答えが見えたように感じても最後まで書かせましょう。最初から最後まで同じ規則で並んでいることを確認できてから、計算による省略へ移ります。

計算式だけを覚えようとしている

場合の数には、足し算や掛け算を使って求める問題があります。しかし、「何通り×何通り」と式だけを覚えても、条件が変わると対応できません。

たとえば、上着が3種類、ズボンが2種類あれば、組み合わせは3×2＝6通りです。これは、どの上着を選んでもズボンを2種類から選べるためです。

ところが、「同じ色の上着とズボンは組み合わせない」という条件が加われば、単純な3×2では求められないことがあります。

計算を使う前に、「一つ目を決めた後、二つ目は毎回同じ数だけ選べるか」を確認する必要があります。

場合の数の基本的な解き方を4段階で整理

場合の数では、いきなり樹形図や式を書き始めるのではなく、考える順番を固定することが大切です。次の4段階を毎回確認しましょう。

何を1通りとして数えるか決める

最初に、「何が完成したら1通りなのか」を明確にします。

2桁の整数を作るなら、十の位と一の位が決まって1通りです。道順の問題なら、出発地点から目的地までの経路が決まって1通りです。色の塗り分けなら、指定された場所すべての色が決まって1通りです。

ここが曖昧だと、途中の選択だけを数えたり、同じ完成形を二度数えたりします。

家庭では、「この問題では、何が決まったら1通り？」と最初に問いかけてください。答え方が曖昧なら、まだ問題の条件を整理できていません。

順番を区別するか確認する

次に、順番や役割を入れ替えたとき、別の結果になるかを確認します。

赤・青・黄の3色から2色を選んで横に並べるなら、「赤、青」と「青、赤」は別です。しかし、3色から使う2色を選ぶだけなら、この2つは同じ組み合わせです。

迷ったときは、実際に入れ替えてみましょう。入れ替えた後に完成したものが違って見えるなら区別します。完成したグループが同じなら区別しません。

この判断を飛ばして樹形図を書くと、答えが2倍になったり半分になったりします。

数え方の基準を一つにそろえる

場合の数で漏れを防ぐには、一つの基準を決めて固定します。

カードを並べる問題なら、先頭のカードを小さい順に固定します。硬貨の組み合わせなら、金額の大きい硬貨の枚数を0枚、1枚、2枚と変えます。道順なら、最初に進む方向を基準に整理します。

途中で基準を変えてはいけません。

たとえば、最初は十の位が1の場合を調べていたのに、途中から一の位が2の場合を調べると、同じ整数を重ねて数える可能性があります。「何を固定しているか」をノートに短く書くと整理しやすくなります。

漏れと重なりを最後に確認する

答えが出た後は、「すべて数えたか」「同じものを二度数えていないか」を確認します。

樹形図なら、枝の数が途中で不自然に減っていないかを見ます。表なら、空欄にした場所が条件に合わない理由を確認します。書き出しなら、決めた順番どおりに並んでいるかを見直します。

また、少ない場合の数であれば、別の方法でも確かめられます。

樹形図で6通りと求めた後、3×2＝6と計算でも確認できれば、答えへの信頼性が高まります。

問題に合わせた解き方の使い分け

場合の数には、すべての問題に使える一つの図はありません。選択肢の数や条件に応じて、樹形図、表、計算、場合分けを使い分けます。

選択肢が少ない問題は樹形図で解く

樹形図は、一つ目の選択から次の選択へ枝を伸ばす方法です。

たとえば、A、B、Cの3地点から出発地点と到着地点を異なるように選ぶなら、出発地点AからB、Cへ2本、BからA、Cへ2本、CからA、Bへ2本の枝を伸ばします。答えは6通りです。

樹形図のよさは、選ぶ順番と使えない選択肢が目で分かることです。

ただし、選択肢が多い問題で樹形図を使うと、枝が増えすぎます。2～4段階程度で、各段階の選択肢が少ない問題に向いています。

2つの条件を比べる問題は表で整理する

縦と横の二つの条件を組み合わせる問題には、表が向いています。

たとえば、男子3人と女子4人から男女1人ずつ選ぶなら、縦に男子3人、横に女子4人を書きます。交わるマスは3×4＝12個なので、12通りです。

サイコロを2個投げて、目の和が特定の数になる場合を調べる問題にも表が有効です。縦に1個目、横に2個目の目を書けば、条件に合う組を見落としにくくなります。

同じもの同士を組み合わせない場合や、順番を区別しない場合は、対角線や重複部分を除く必要があります。

同じ選び方が続く問題は積の法則を使う

一つ目の選択が何通りあり、それぞれについて二つ目の選択が同じ数だけあるときは、掛け算で求められます。

上着が4種類、ズボンが3種類なら、どの上着を選んでもズボンは3種類から選べるため、4×3＝12通りです。

3枚の異なる数字カードから2枚を選んで並べる場合、十の位は3通り、その後の一の位は残り2通りなので、3×2＝6通りです。

ただし、途中で選択肢の数が変わる場合は、そのまま掛けられません。どの選択から始めても次の選択肢が同じ数あるかを確認しましょう。

条件が分かれる問題は場合分けする

「偶数を作る」「少なくとも1個は赤を使う」「同じ色が隣り合わない」などの条件がある問題では、場合分けが必要です。

たとえば、0・1・2・3のカードから2枚を選び、2桁の偶数を作る問題を考えます。

一の位が0の場合と、一の位が2の場合に分けます。一の位が0なら十の位は1・2・3の3通りです。一の位が2なら、十の位に0は使えないため、1・3の2通りです。合計は3＋2＝5通りです。

このように、重ならない条件に分けて最後に足すことが、場合分けの基本です。

家庭で「場合の数」の解き方を定着させる方法

場合の数は、答えだけを見ても理解度を判断しにくい単元です。家庭では、子どもがどのような基準で整理したかを確認しましょう。

答えより数え方を説明させる

正解したときも、「どうやって数えたの？」と聞いてください。

「順番に書いた」だけでは不十分です。「百の位を1、2、3の順に固定した」「一の位が偶数になる場合に分けた」など、基準を説明できれば理解しています。

反対に、答えは合っていても説明できない場合は、偶然や勘で正解した可能性があります。

親が模範解答を長く説明するより、子どもの数え方を一度聞き、抜けている条件だけを質問する方が自力で考える力を育てられます。

書き出しから計算へ段階的に移る

最初から掛け算だけで処理させる必要はありません。

基本段階では、実際にすべてを書き出し、答えと規則を確認します。次に、樹形図や表で整理します。規則が見えた段階で、足し算や掛け算に置き換えます。

たとえば、3種類の上着と2種類のズボンの組み合わせを最初に6通り書き出し、「上着1種類につきズボンが2通りある」と気づいてから3×2へ移ります。

式は考え方を短く表したものです。書き出しを経験せず式だけを覚えると、条件が変わった問題に対応できません。

間違いを漏れ・重なり・条件ミスに分ける

場合の数の誤答は、主に3種類に分けられます。

「漏れ」は、数えるべきものを数えていない間違いです。「重なり」は、同じものを二度数えた間違いです。「条件ミス」は、使えない数字を使うなど、問題の条件を守っていない間違いです。

ノートには、「漏れ」「重なり」「条件」の一語だけでも記録します。

同じミスが続くなら、対策も変えます。漏れが多い子には基準を固定する練習、重なりが多い子には順番を区別するかの確認、条件ミスが多い子には問題文へ印をつける練習が必要です。

1日10分で同じ型を繰り返す

場合の数は、一度に難問を何題も解くより、同じ型の基本問題を短時間で繰り返す方が定着しやすい単元です。

1日10分で、基本問題1～2題と前日の解き直し1題を行います。

月曜日は樹形図、火曜日は表と方法を頻繁に変えるより、3日程度は同じ方法を続ける方が、整理の型を身につけやすくなります。

正解率が8割程度になったら、条件を一つ追加した問題へ進みます。基本問題で漏れがある段階では、難しい入試問題を増やさず、正しく整理することを優先しましょう。

まとめ｜場合の数は整理の順番で解ける

中学受験算数の「場合の数」は、計算力よりも整理する力が問われる単元です。思いついた順に数えるのではなく、何を1通りとするか決め、順番を区別するか確認し、一つの基準に沿って数える必要があります。

選択肢が少なければ樹形図、縦と横の二つの条件なら表、同じ数の選択が続くなら掛け算、条件が分かれるなら場合分けを使います。

家庭では、答えをすぐに教えるのではなく、「何を固定したの？」「順番を入れ替えたら別の1通り？」「数えていない場合はない？」と問いかけてください。

場合の数が苦手な子は、考える力が足りないのではありません。数え方の順番がまだ定まっていないだけです。

書き出し、樹形図、表、計算の順に段階を踏み、漏れと重なりを確認する習慣を身につければ、複雑な入試問題でも落ち着いて整理できるようになります。