中学受験算数「規則性」応用問題の攻略法

中学受験算数の規則性で応用問題が難しい理由

この記事では、中学受験算数の規則性で応用問題につまずく原因と、複雑な規則を整理して解くための手順を分かりやすく解説します。

規則性の基本問題では、同じ数ずつ増える数列や、一定の並びを繰り返す周期を扱います。ところが応用問題では、増え方そのものが変化したり、数列と図形が組み合わされたりします。

そのため、覚えた公式を当てはめるだけでは解けません。

規則性の応用で必要なのは、特別なひらめきではなく、複数の変化を分けて整理する力です。小さい例を書き出し、何が一定で何が変化しているかを見つければ、複雑な問題も基本の組み合わせとして捉えられます。

一つの規則だけでは解けない

基本的な等差数列では、隣り合う数の差が一定です。

例えば、3、7、11、15……なら、4ずつ増えています。20番目は、3＋4×19で求められます。

一方、応用問題では、2、5、9、14、20……のように、差が3、4、5、6と変化することがあります。

この場合、「同じ数ずつ増える」という一つの規則では説明できません。数の並びだけでなく、差の並びにも規則があることを見抜く必要があります。

応用問題で止まる子は、最初の数列だけを長く眺める傾向があります。隣り合う数の差を書き、その差もさらに比べる習慣をつけましょう。

求める番号が大きく書き出しでは対応できない

10番目程度なら、続きを一つずつ書いて答えられる場合があります。しかし、100番目や1000番目では、書き出しだけで解くことはできません。

小さい例から規則を見つけ、まとめて計算する必要があります。

例えば、正方形を横に並べると、必要な棒が4本、7本、10本、13本と増える場合、100個では4＋3×99＝301本です。

応用問題では、反対に「棒が301本あるとき、正方形は何個か」と問われることもあります。

この場合は、

301－4＝297
297÷3＝99
99＋1＝100

と逆にたどります。

規則を前から使うだけでなく、答えから番号へ戻す逆算も必要です。

数列・図形・場合の数が組み合わされる

難度の高い入試問題では、単元名が規則性に見えないことがあります。

図形を順に並べたときの周りの長さ、段ごとのタイル数、色の塗り分け、点を結んでできる線分の本数などです。

例えば、1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個のタイルを並べる問題は、図形でありながら、1＋2＋3＋……という規則性を利用します。

また、並べる図形の向きが周期的に変わる場合は、図形と周期算を同時に考えなければなりません。

見た目に惑わされず、「番号が増えると何が変化するか」を探すことが、複合問題を解く出発点です。

規則性の応用問題を解く4つの手順

最初の3～5個を正確に調べる

応用問題でも、最初に行うことは基本問題と同じです。

1番目から3～5番目までについて、数や個数を正確に書き出します。

図形なら、棒、点、辺、タイルなど、問題で求められているものだけを同じ基準で数えます。

例えば、図形に使う棒の本数が、

1番目：5本
2番目：9本
3番目：14本
4番目：20本

となったとします。

隣り合う差は4、5、6です。毎回同じ数が増えているのではなく、増える本数が1本ずつ増えていると分かります。

最初の数え間違いは、その後の規則や式をすべて崩します。応用ほど、小さい例を丁寧に確認することが大切です。

全体と増加部分を分けて考える

複雑な図形では、毎回の全体を数えるだけでなく、新しく増えた部分を別に整理します。

正方形を横につなぐだけなら3本ずつ増えますが、階段状に並べると、増える本数が4本、6本、8本と変化することがあります。

この場合、全体の数と増加数を二段に分けます。

番号：1、2、3、4
全体：5、9、15、23
増加：―、4、6、8

増加数が2ずつ増えていることから、次に増える数は10だと分かります。

子どもには「全部でいくつ？」だけでなく、「前の図からどこが増えた？」と聞いてください。全体と変化を分けると、二重の規則も見つけやすくなります。

番号と個数を表にして式へつなげる

規則が見つかったら、番号と個数の対応を表にします。

単純に一定数ずつ増えるなら、「最初の数＋増加数×（番号－1）」で表せます。

増加数自体が変わる場合は、何番目までに何を足したかを整理します。

例えば、1段目から順に1個、2個、3個、4個のタイルが増えるなら、5段目までの合計は、

1＋2＋3＋4＋5＝15個

です。

10段目までなら、1から10までを足します。小学生には公式だけを与えず、最初と最後を組にする方法で考えさせてもよいでしょう。

1＋10、2＋9、3＋8、4＋7、5＋6は、すべて11です。11が5組あるので55個です。

表に整理すると、どの数を合計すればよいかが見えやすくなります。

小さい例で規則と式を検算する

応用問題では、作った式が本当に正しいかを必ず確かめます。

例えば、正方形を横に並べる棒の本数を「4＋3×（番号－1）」としたなら、2番目を入れます。

4＋3×1＝7となり、実際の2番目と一致します。

逆算問題でも、求めた番号を元の規則へ戻して確認します。棒が301本なら100番目と求めた後、

4＋3×99＝301

になるかを確かめます。

難しい問題ほど、計算途中で条件を一つ落としている可能性があります。最初の2～3例と一致するか、問題の条件をすべて使っているかを見直しましょう。

中学受験で頻出する規則性の応用パターン

差にも規則がある数列

2、5、9、14、20……では、差が3、4、5、6と1ずつ増えています。

10番目を求める場合、最初の2に、3から11までを順に加えることになります。

応用では、差が同じではないから規則がないと判断せず、差の並びをさらに調べることが重要です。

差の差が一定になる問題や、奇数だけを順に足す問題もあります。

例えば、1、4、9、16、25……では、差が3、5、7、9と奇数になっています。この並びは、1×1、2×2、3×3、4×4という平方数でもあります。

一つの見方に固執せず、差、積、まとまりなど複数の可能性を調べましょう。

複数の周期が重なる問題

二つの動きや出来事が異なる周期で繰り返され、再び同時になる時点を求める問題があります。

例えば、赤いランプは3秒ごと、青いランプは4秒ごとに点灯するとします。最初に同時点灯した後、再び同時になるのは12秒後です。

3と4の最小公倍数が12だからです。

さらに、色の並びと曜日、回転する図形と点の位置などが組み合わされる場合もあります。

複数周期の問題では、それぞれの一巡する長さを別々に書きます。その後、同時に区切りとなる数を探します。

頭の中だけで処理せず、周期ごとの表を横に並べると整理しやすくなります。

図形の個数から番号を逆算する問題

基本問題では、何番目の図形に何個必要かを求めます。応用では、全体の個数から何番目かを逆算します。

正方形を横につなぐ棒の本数が4＋3×（番号－1）で表されるとします。

棒が100本のときは、

100－4＝96
96÷3＝32
32＋1＝33

となり、33番目と考えたくなります。

しかし、4＋3×32＝100なので、この場合は正しく33番目です。

一方、棒が101本なら、3本ずつ増える規則に合いません。整数の番号にはならないため、「そのような図形は作れない」と判断する必要があります。

逆算後は必ず元の式へ戻し、条件に合うかを確かめましょう。

群数列・場合の数との複合問題

群数列では、何群に入るかだけでなく、その群の中の数や、そこまでに現れた特定の数字の個数を求めることがあります。

例えば、1群に1個、2群に2個、3群に3個と数が並び、各群に1から群番号までの数字を書く問題です。

20番目が何群にあるかを調べるには、各群の終わりを求めます。

1＋2＋3＋4＋5＝15
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21

したがって、20番目は6群にあります。6群は16番目から始まるため、20－15＝5より、6群の5番目です。

色の並べ方や図形の選び方が加わる場合は、群を決めた後に場合の数を考えます。二つの段階を混ぜないことがポイントです。

規則性の応用力を家庭で伸ばす方法

基本問題を8割以上安定させてから進む

応用問題へ進む前に、等差数列、周期算、図形の増え方、基本的な群数列を確認します。

基本問題を5問解いて4問以上、自力で正解できることが一つの目安です。

さらに、差を調べた、周期を囲んだ、増えた部分を数えたなど、使った方法を説明できる必要があります。

基本で番号と回数を混同している状態では、応用問題の複数条件まで処理できません。

難しい問題を早く経験することより、基本の考え方を何も見ずに使える状態にする方が、応用への近道です。

一問を図・表・式の3段階で説明させる

応用問題では、答えだけでなく、考え方を三つの段階で残します。

まず、小さい例の図や数を書きます。次に、番号と個数、増加数を表にします。最後に、見つけた関係を式へまとめます。

例えば、正方形の棒なら、

図：1個、2個、3個を描く
表：4本、7本、10本
式：4＋3×（番号－1）

という流れです。

家庭で丸つけをするときは、「この式は表のどこから出たの？」と聞いてください。図・表・式がつながっていれば、条件が変わった類題にも対応しやすくなります。

間違いを規則・対応・方針・計算に分ける

応用問題の間違いは、四つに分けて記録します。

変化を見つけられなかった場合は「規則」、番号や余りの位置を間違えた場合は「対応」です。

差を見るのか周期を見るのか分からなかった場合は「方針」、正しい式の後で計算を間違えた場合は「計算」とします。

答えが違うからといって、すべてを最初から解き直す必要はありません。

方針に課題があれば型を見分ける練習、対応に課題があれば表を使う練習というように、原因に合わせて戻る場所を変えましょう。

翌日・1週間後・1か月後に解き直す

応用問題は、解説を読んだ直後に再現できても定着したとは限りません。

翌日は同じ問題を白紙から解き、図・表・式を自力で作れるか確認します。

1週間後は、数字や図形を変えた類題へ取り組みます。1か月後は、単元名や使う方法を示さずに再挑戦します。

翌日は手順の再現、1週間後は考え方の転用、1か月後は解法選択の確認が目的です。

一問を繰り返すだけでなく、同じ規則を別の題材で使えるかを見ることが、応用力につながります。

まとめ

中学受験算数の規則性で応用問題を解くには、複数の変化を分けて整理する力が必要です。

まず最初の3～5個を正確に書き出し、数列なら差、図形なら増えた部分、周期なら一巡する長さを確認します。

増加数が一定でないときは、増加数そのものにも規則がないかを調べましょう。番号と個数は表に整理し、図・表・式をつなげて考えます。

応用で頻出するのは、差にも規則がある数列、複数周期、個数から番号を求める逆算、群数列や場合の数との複合問題です。

家庭学習では、基本問題を5問中4問以上解けるようになってから応用へ進みます。一問を図・表・式の3段階で説明させ、間違いを規則・対応・方針・計算に分類してください。

翌日、1週間後、1か月後に白紙から解き直し、題材が変わっても同じ考え方を選べるか確認しましょう。

規則性の応用は、難しい公式を数多く覚えることで解けるものではありません。小さい例を正確に調べ、変化を分け、作った規則を確かめる習慣が、複雑な入試問題を攻略する力になります。