中学受験算数｜速さのグラフ応用問題の解き方

速さのグラフの応用問題で差がつく理由

この記事では、中学受験算数の速さのグラフについて、応用問題で問われる力、代表的な出題パターン、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

速さのグラフの応用問題を見ると、線が何本もあり、数字や条件も多いため、難しそうに感じます。

しかし、応用問題だけで使う特別な公式があるわけではありません。

出発、休憩、折り返し、出会い、追いつきなどの基本的な動きが、二つ以上組み合わされているだけです。

大切なのは、問題全体を一度に解こうとせず、条件を小さく分けることです。

基本問題との違いは条件の多さにある

基本問題では、1人が一定の速さで進み、途中で休憩する程度の動きが中心です。

応用問題では、次のような条件が重なります。

・2人の出発時刻が違う
・途中で速さが変わる
・一方が折り返す
・複数回出会う
・速さの比が与えられる
・グラフの一部が空欄になっている

一つひとつの条件は難しくありません。

ただし、すべてを頭の中だけで処理すると、誰がどちらへ進んでいるのか分からなくなります。

人物名、出発時刻、休憩、折り返しなどをグラフへ書き込むことが、応用問題では特に重要です。

グラフと文章を同時に使う必要がある

応用問題では、必要な情報がグラフだけに示されているとは限りません。

問題文に、

「弟は兄の1.5倍の速さで進む」
「Aさんは出会った直後に折り返す」
「帰りの速さは行きより毎分20m速い」

といった条件が加わります。

たとえば、兄が分速60mで、弟が兄の1.5倍の速さなら、

60×1.5＝分速90m

です。

この条件を読んだら、弟の線の近くに「分速90m」と書き込みます。

文章とグラフを別々に見るのではなく、文章の条件をグラフへ移すと、使える情報が一つにまとまります。

応用問題も基本の組み合わせで解ける

速さのグラフの応用問題でも、使う関係は次の三つです。

速さ＝道のり÷時間
道のり＝速さ×時間
時間＝道のり÷速さ

さらに、出会いでは速さの和、追いつきでは速さの差を考えます。

比を使う問題でも、「同じ時間なら道のりの比は速さの比と同じ」「同じ道のりなら時間の比は速さの比と逆」という基本を使います。

難しい問題ほど、最初から特殊な解法を探さず、どの基本が組み合わされているかを確認しましょう。

速さのグラフで押さえたい応用パターン

応用問題にはいくつかの代表的な型があります。

出題の見た目が違っても、どの型が含まれているか分かれば、解き始めやすくなります。

複数人が出会い・追いつく問題

2人の線が交わる点では、同じ時刻に同じ場所にいます。

反対方向から進んでいれば出会い、同じ方向なら追いつきです。

たとえば、3,600m離れた2地点から、Aさんが分速80m、Bさんが分速70mで向かい合って進むとします。

1分間に縮まる距離は、

80＋70＝150m

です。

出会うまでの時間は、

3,600÷150＝24分

となります。

一方、分速60mの兄が10分先に出発し、分速90mの弟が追いかける場合、兄の先行距離は、

60×10＝600m

です。

1分間に縮まる距離は、

90－60＝30m

なので、

600÷30＝20分

で追いつきます。

応用問題では、出会った後に一方が折り返すこともあります。交点の前後で進行方向がどう変わったかを確認しましょう。

往復して複数回交わる問題

2人が区間を何度も往復すると、グラフに複数の交点ができます。

この場合、交点へ時刻順に番号をつけます。

①1回目の出会い
②Aさんが折り返した後の出会い
③Bさんが戻る途中での追いつき

番号をつけずに考えると、「どの出会いについて聞かれているのか」が曖昧になります。

また、折り返し地点では、線が右上がりから右下がり、または右下がりから右上がりへ変わります。

縦軸が家からの道のりなら、線の上向き・下向きは速さの大小ではなく、家から遠ざかるか戻るかを表します。

速さの比と時間の比を使う問題

速さのグラフの応用では、比を使って空欄の時刻や速さを求める問題も出ます。

同じ道のりを進む場合、速さの比と時間の比は逆です。

AさんとBさんの速さの比が3：2なら、同じ道のりにかかる時間の比は、

2：3

となります。

Aさんが20分で進んだ道のりを、Bさんが進む時間は、

20÷2×3＝30分

です。

一方、同じ時間だけ進む場合、道のりの比は速さの比と同じです。

比を使う前に、「同じ道のりなのか」「同じ時間なのか」を確認しましょう。

ここを曖昧にすると、比を逆にしてしまいます。

休憩を含む平均の速さの問題

平均の速さは、行きと帰りの速さを単純に足して2で割るとは限りません。

基本は、

全体の道のり÷全体の時間

です。

たとえば、1,200mを20分で進み、10分休憩した後、1,200mを15分で進んだとします。

全体の道のりは、

1,200＋1,200＝2,400m

全体の時間は、

20＋10＋15＝45分

です。

したがって、休憩を含む平均の速さは、

2,400÷45＝分速53と3分の1m

となります。

問題文に「移動していた間の平均」なのか「出発から到着までの平均」なのかが書かれているため、休憩時間を含めるか確認しましょう。

速さのグラフ応用問題を解く5つの手順

応用問題では、解法を思いつく前に情報を整理します。

次の5つの手順を毎回使うと、条件が多い問題でも見通しを立てやすくなります。

手順1｜軸・人物・進行方向を確認する

最初に、横軸、縦軸、単位を確認します。

横軸が時刻なのか、出発してからの時間なのかを見ます。

縦軸も、家からの道のりなのか、A地点からの距離なのかを確認しましょう。

次に、各線の近くへ人物名を書きます。

「兄・8時出発」
「弟・8時10分出発」

のようにすると、線を取り違えにくくなります。

矢印を使って進行方向も書いておくと、出会いと追いつきを判断しやすくなります。

手順2｜折れ曲がる点と交点に意味を書く

線が折れ曲がる点では、速さや方向が変わっています。

「休憩」
「折り返し」
「ここから速くなる」

などと書き込みます。

2本の線が交わる点には、

「出会い」
「追いつく」
「2回目の出会い」

と意味を書きます。

応用問題では、点の意味を言葉にするだけで、条件の半分近くを整理できることがあります。

手順3｜必要な区間だけを取り出す

問題全体の情報をすべて使う必要はありません。

たとえば、「Aさんが折り返してからBさんに出会うまでの時間」を求めるなら、折り返し前の細かな速さは直接使わない場合があります。

求める内容に線を引き、

「どこからどこまでを考えるのか」

を先に決めましょう。

必要な区間に色や番号をつけると、関係のない数字を使うミスを減らせます。

手順4｜同じ道のり・時間・場所を探す

応用問題では、何が同じなのかを見つけると式を立てやすくなります。

・同じ時刻に同じ場所にいる
・同じ道のりを別の速さで進む
・同じ時間だけ移動する
・同じ区間を往復する

たとえば、2人が交点にいるときは、時刻と場所が同じです。

同じ道のりなら、速さが大きい人ほど時間は短くなります。

問題文の数字をそのまま使う前に、「何がそろっているのか」を確認しましょう。

手順5｜答えがグラフと合うか確かめる

計算後は、答えをグラフへ戻して確認します。

休憩後の線のほうが急なら、求めた速さも休憩前より大きくなるはずです。

弟が兄より後に出発して追いつくなら、弟の速さは兄より速くなければなりません。

また、交点の時刻がグラフの範囲外になっていないかも確認します。

応用問題では途中計算が長くなるため、最後にグラフの見た目と矛盾していないかを確かめることが重要です。

家庭で応用力を伸ばす練習方法

応用力は、難問を大量に解くだけでは身につきません。

基本問題との違いを比べ、条件の変化に対応する練習が必要です。

基本問題を8割解けてから応用へ進む

次の内容が安定しているか確認しましょう。

・軸と単位を読める
・水平な線を休憩と判断できる
・右下がりを戻る動きと説明できる
・交点の意味が分かる
・区間ごとの速さを求められる

基本問題で間違いが続く状態なら、応用問題へ進んでも解説の暗記になりやすくなります。

基本問題をおおむね8割自力で解けるようになってから、条件が二つ組み合わされた問題へ進みましょう。

一つの条件だけ変えた類題を解く

応用力を育てるには、元の問題から条件を一つだけ変えた類題が効果的です。

たとえば、

・休憩時間だけ変える
・弟の出発時刻だけ遅くする
・帰りの速さだけ1.5倍にする
・折り返す地点だけ変える

という方法です。

条件を一つ変えたとき、グラフや答えがどう変わるかを考えさせます。

複数の条件が一度に変わる問題より、考え方の違いを理解しやすくなります。

途中式より先に考え方を説明させる

子どもが式を書いたら、すぐに計算させるのではなく、

「なぜ足したの？」
「どの区間を使ったの？」
「ここは出会い？追いつき？」
「何が同じだから比を使えるの？」

と確認します。

正しい答えが出ても、理由を説明できなければ、似た問題で使えない可能性があります。

逆に、考え方が正しく計算だけを間違えた場合は、応用問題の理解自体は進んでいます。

難問は小問ごとに得点を考える

速さのグラフの応用問題は、大問の最後まで解けないこともあります。

その場合でも、前半の小問には、休憩時間、区間の速さ、最初の出会いなど、基本的な読み取りで取れる問題があります。

家庭で過去問を解くときは、

「何点取れたか」
「どの小問までは自力で解けたか」
「どこから条件整理が崩れたか」

を確認しましょう。

難問を完答できなかったことより、取るべき小問を落とした原因を直すほうが、入試の得点につながります。

まとめ｜速さのグラフ応用は条件を分ければ解ける

中学受験算数の速さのグラフ応用問題では、複数人の移動、往復、出会い、追いつき、比、平均の速さなどが組み合わされます。

一見複雑でも、使っている考え方は基本問題と同じです。

問題を解くときは、次の順番を習慣にしましょう。

軸・人物・進行方向を確認する
折れ曲がる点と交点に意味を書く
必要な区間だけを取り出す
同じ時間・道のり・場所を探す
答えがグラフと合うか確かめる

応用問題で手が止まる子は、問題全体を一度に考えようとしていることが少なくありません。

条件を区間ごとに分け、グラフへ直接書き込むと、使う数字や式が見えやすくなります。

家庭では、基本問題が8割程度安定してから応用へ進み、一つの条件だけを変えた類題を解かせてください。

答えだけでなく、「なぜその区間を使ったのか」「交点は何を表すのか」を説明させることも大切です。

速さのグラフの応用は、ひらめきだけで解く問題ではありません。条件を小さく分け、基本へ戻しながら考えれば、難しい入試問題でも得点できる部分を着実に増やせます。