受験算数のつるかめ算応用｜複合問題の解き方

受験算数のつるかめ算応用で解けなくなる理由

この記事では、受験算数のつるかめ算応用でつまずく理由を整理し、複雑な問題を基本形に戻す方法と家庭での効果的な練習法を分かりやすく解説します。

つるかめ算の基本問題では、「つるとかめの合計」と「足の本数」がはっきり示されています。

ところが、入試の応用問題では、動物はほとんど登場しません。得点、平均、料金、速さなど、別の単元に見える形で出題されます。

そのため、基本問題を解ける子でも、つるかめ算を使う場面だと気づけずに手が止まります。

問題文に「つるかめ算」と書かれていない

応用問題が難しく感じられる最大の理由は、どの解法を使うか自分で判断しなければならないことです。

例えば、次のような問題があります。

「20問のテストで、正解すると5点、間違えると2点引かれます。合計が72点でした。正解は何問ですか」

問題文には、つるもかめも出てきません。しかし、問題の中には「正解した問題」と「間違えた問題」という二種類があります。

さらに、問題数の合計と得点の合計が示されています。構造は、つるとかめの頭数と足の本数を求める問題と同じです。

二つの数量を見つけられていない

つるかめ算の応用では、まず二種類のものを見つける必要があります。

得点問題なら正解と不正解、料金問題なら大人と子ども、移動問題なら歩いた時間と走った時間です。

指導現場では、計算以前に「何と何を分けて考えるのか」が曖昧な子が少なくありません。

問題文の数字をすぐ式に入れようとすると、使わない数字まで組み合わせてしまいます。最初に二種類を言葉で答えさせるだけでも、問題の見通しは大きく変わります。

基本解法を公式として暗記している

つるかめ算を「全体の差÷一つ分の差」とだけ覚えている子は、応用問題になると何の差を求めるのか分からなくなります。

大切なのは、全部を一方にそろえた仮の状態と、実際の状態を比べることです。

公式を思い出すのではなく、「全部をこちらだと考えたらどうなるか」と考えられるかが、応用問題を解く分かれ目になります。

つるかめ算の応用問題を解く共通手順

応用問題は題材が変わっても、解く流れはほぼ共通しています。

家庭で教えるときも、毎回同じ順番で確認すると、子どもが自力で整理しやすくなります。

二種類のものと二つの合計を探す

問題を読んだら、最初に次の四つを確認します。

• 二種類のものは何か
• それぞれ一つ分の数量はいくつか
• 個数や時間などの合計はいくつか
• 金額や得点などの合計はいくつか

例えば、大人料金が800円、子ども料金が500円で、合計20人、入場料の合計が13,000円なら、二種類は大人と子どもです。

一つ分の数量は800円と500円、人数の合計は20人、金額の合計は13,000円です。

この四点を表に書くだけで、長い文章を短い情報に整理できます。

全部を一方にそろえて仮定する

次に、全部を一方だと仮定します。

先ほどの例で、20人全員が子どもだとすると、

500×20＝10,000円

です。

実際の入場料は13,000円なので、

13,000－10,000＝3,000円

の差があります。

少ない方にそろえると、実際との差が正の数になりやすく、計算の意味を理解しやすいため、算数が苦手な子にはおすすめです。

全体の差を一つ分の差で割る

大人一人と子ども一人の料金差は、

800－500＝300円

です。

子ども一人を大人一人に置き換えるたびに、合計金額は300円ずつ増えます。

全体では3,000円増やす必要があるので、

3,000÷300＝10人

大人は10人です。残りの10人が子どもになります。

ここでは、3,000円が全体の差、300円が一人分の差です。

求めた数が何を表すか確認する

つるかめ算では、計算が合っていても、最後に反対側の数量を答えてしまうミスがあります。

全部を子どもと仮定し、大人へ置き換えた回数を求めたなら、割り算の答えは大人の人数です。

計算後に、「この10人は何の人数か」と子どもに確認させましょう。

最後に、

800×10＋500×10＝13,000円

と確かめると、答えに自信を持てます。

受験算数で出るつるかめ算の応用パターン

つるかめ算の応用問題には、いくつかの代表的な形があります。

問題集では単元名を隠して出題されることも多いため、題材ではなく数量の関係に注目することが大切です。

正解と不正解が混ざる得点問題

「20問のテストで、正解は5点、不正解は2点減点、合計72点」という問題を考えます。

全部正解だと仮定すると、

5×20＝100点

です。

実際との差は、

100－72＝28点

正解一問が不正解一問に変わると、もらえるはずの5点を失い、さらに2点引かれます。

したがって、一問分の差は、

5＋2＝7点

です。

28÷7＝4問

不正解は4問なので、正解は16問です。

この問題で多い誤りは、5－2＝3点とすることです。減点がある場合は、数直線を使い、5点からマイナス2点まで下がる差が7点だと確認すると理解しやすくなります。

平均点から人数を求める問題

平均も、つるかめ算と組み合わせやすい題材です。

「80点の生徒と50点の生徒が合わせて12人いて、平均点は65点でした。それぞれ何人ですか」

まず、合計点を求めます。

65×12＝780点

全員が50点だったとすると、

50×12＝600点

実際との差は、

780－600＝180点

一人を50点から80点に置き換えると30点増えるため、

180÷30＝6人

80点の生徒は6人、50点の生徒も6人です。

平均が出たら、先に「平均×人数」で合計に戻すことがポイントです。

速さや移動時間と組み合わされた問題

「毎分60mで歩いた時間と毎分150mで走った時間が合わせて20分で、進んだ距離は1,920mでした。走った時間は何分ですか」

全部を歩いたとすると、

60×20＝1,200m

実際との差は、

1,920－1,200＝720m

歩く代わりに1分走ると、

150－60＝90m

多く進みます。

したがって、

720÷90＝8分

走った時間は8分です。

速さの問題では、「距離＝速さ×時間」を使って、二つ目の合計を作る必要があります。単位がそろっているかも必ず確認しましょう。

三種類以上を二種類に整理する問題

難度が上がると、三種類の数量が登場することがあります。

ただし、そのうち一種類の個数が分かっていたり、二種類をまとめて考えられたりする場合があります。

例えば、大人・中学生・小学生の三種類がいて、小学生の人数だけが分かっているなら、最初に小学生分の人数と料金を全体から引きます。

残った大人と中学生の二種類について考えれば、通常のつるかめ算に戻せます。

応用問題で大切なのは、複雑な形のまま解こうとしないことです。「分かっている部分を先に除き、二種類にできないか」と考えましょう。

家庭学習で応用力を伸ばす練習法

つるかめ算の応用力は、難問を大量に解くだけでは身につきません。

基本形との共通点を見つける練習を積み重ねることが重要です。

問題文を表に直してから式を作る

文章を読んだ直後に式を書かせるのではなく、次のような表を作らせます。

種類	一つ分	個数
大人	800円	不明
子ども	500円	不明

表の下に「合計20人、合計13,000円」と書きます。

表を使う目的は、きれいにまとめることではありません。二種類と二つの合計を見えるようにすることです。

最初は保護者が枠を書き、子どもに数字だけ入れさせても構いません。

同じ構造の問題を題材だけ変えて解く

一日に動物、硬貨、得点、速さと全く異なる問題を解くと、子どもは別々の解法だと感じやすくなります。

そこで、数字の構造が同じ問題を題材だけ変えて解かせます。

例えば、「50円と80円の商品を合計20個」「50点と80点の生徒を合計20人」のように設定します。

解いた後に、「二つの問題の同じところはどこか」と尋ねると、題材ではなく構造を見る習慣がつきます。

解けなかった原因を三段階で確認する

間違えたときは、次の三段階に分けて原因を確認します。

第一段階は、二種類のものを見つけられたか。
第二段階は、全部を一方にそろえられたか。
第三段階は、全体の差と一つ分の差を正しく求められたか。

どの段階で止まったかによって、戻る学習が変わります。

第一段階でつまずくなら文章整理、第二段階なら基本的なつるかめ算、第三段階なら得点差や単位の確認が必要です。

基本問題に戻る判断基準を決める

応用問題を三問続けて自力で整理できなければ、基本問題に戻ることをおすすめします。

応用で苦戦していると、さらに難しい問題を解かせたくなる保護者もいます。しかし、基本の仮定が曖昧なままでは、解説を暗記する学習になりやすいものです。

基本問題を見て、30秒程度で「何を全部だと仮定するか」を説明できるようになってから、再び応用へ進みましょう。

基本に戻ることは後退ではなく、応用力を作り直すための近道です。

まとめ｜つるかめ算の応用は構造を見抜けば解ける

受験算数のつるかめ算応用が難しく見えるのは、動物以外の題材で出され、他の単元と組み合わされているからです。

しかし、問題の中に二種類のものがあり、個数や時間の合計と、金額や得点などの合計が分かっていれば、基本的なつるかめ算に整理できる可能性があります。

解くときは、二種類と二つの合計を探し、全部を一方にそろえ、実際との差を一つ分の差で割ります。

得点問題では減点を含めた差、平均問題では合計点への変換、速さの問題では距離への変換が重要です。

家庭学習では、すぐに式を作らせず、表に整理し、「何と何の二種類か」「全部をどちらだと考えるか」を言葉で説明させましょう。

つるかめ算の応用力とは、特殊な解法を数多く覚える力ではありません。複雑な問題を、知っている基本形まで戻す力です。