2011年開成算数を分析｜大問別の解き方と復習法

2011年開成算数の難易度と出題の特徴

この記事では、2011年開成算数の出題内容と大問ごとの考え方を整理し、現在の家庭学習にどう生かせばよいのかを分かりやすく解説します。

2011年度の開成中学算数は、大問1の平面図形、大問2のニュートン算、大問3の規則性・場合分け、大問4の立体切断という4題構成でした。

特別な公式を知らなければ解けない試験ではありません。基本的な考え方を素早く使い、条件を正確に整理できるかが問われています。

古い年度ではありますが、開成対策で現在も必要とされる「正確さ」「図や表による整理」「問題選択」を学べる過去問です。

大問1・2は確実に得点したい構成

2011年の大問1は計算と平面図形、大問2はニュートン算でした。入試分析では、どちらも開成受験生にとって比較的取り組みやすく、差がつきにくかった問題と評価されています。

大問1の図形は、一見すると複雑に見えますが、円の中心へ補助線を引き、半径や中心角に注目すれば進められる内容です。

大問2も、行列に人が加わる一方で券売機が人を処理するという、典型的なニュートン算の考え方で整理できます。

このような問題で時間を使いすぎたり、計算ミスをしたりすると、後半の大問3・4を考える時間が不足します。

大問3の後半で思考力と処理力が問われた

大問3は、規則を読み取り、表や場合分けを使って数える問題でした。

前半は条件を表に整理すれば進めやすい一方、後半、特に最後の小問では、規則を早く発見するか、丁寧な場合分けを正確に行う必要がありました。2011年度の分析でも、大問3の後半が最も負担の大きい部分の一つだったとされています。

この問題では、思いつくまま数を書き出すだけでは、重複や数え漏れが起こります。

小さな場合を表にし、「前の状態から何通り増えるのか」「同じ結果になるものはないか」を整理することが必要です。

式・図・計算を答案に残す必要がある

2011年の問題用紙と解答用紙には、式・図・計算を別の場所や裏面ではなく、各問題の解答欄へすべて書くよう求める指示があったと当時の入試分析で紹介されています。

つまり、答えだけではなく、考えた過程を限られた欄に整理する力も必要でした。

ただし、途中式を書けば必ず部分点が与えられると断言することはできません。採点基準の詳細は公開されていないからです。

それでも、図や式を残さなければ、正しいところまで考えられていても答案からは伝わりません。普段から「考えたことを読み取れる答案」を作る習慣が重要です。

2011年開成算数を大問別に分析

2011年度の4題は、それぞれ異なる分野から出題されています。

ただし、共通しているのは、知っている考え方を問題の中から見つけ、必要な情報だけを取り出すことです。

大問1は円の性質を見抜く平面図形

大問1の図形問題では、円の中心に注目して補助線を引くことが入口になります。

円の中心から円周上の点へ引いた線はすべて半径なので、長さが等しくなります。すると、二等辺三角形が見つかり、底角が等しいことを利用できます。

また、中心角や円周角、30度・60度・90度といった基本的な角度関係も使います。当時の分析でも、円の問題では中心へ補助線を引くという基本に従えば解ける、得点したい問題と評価されています。

図形が苦手な子は、数字が書かれている場所だけを見がちです。

家庭では「円があったら最初に何を確認する？」と聞き、中心、半径、直径を図へ書き込ませましょう。

大問2は行列を扱うニュートン算

大問2は、動物園の開門時にできている行列と券売機を題材にしたニュートン算です。

行列には一定の割合で人が加わり続ける一方、券売機が一定の割合で人を減らします。

問題では、券売機5台なら20分、6台なら15分で行列がなくなるという条件などから、開門時の人数や、券売機10台を使った場合の時間を求めます。一般的な解釈では、開門時の行列は300人、10台なら7分30秒と求められます。

ポイントは、行列の人数を一度に求めようとしないことです。

5台と6台の違いは券売機1台分です。その1台分によって、行列がなくなるまでの時間が20分から15分へ変わります。この差を利用して、1分間に処理する人数と加わる人数の関係を整理します。

線分図や面積図を使い、「最初からいた人数」と「途中で増えた人数」を分けると理解しやすくなります。

なお、この問題の数値設定については、現実には券売機1台が端数の人数を処理する計算になる点を指摘する解説もあります。ただし、中学受験算数では連続的な割合として扱い、通常のニュートン算として解くのが一般的です。

大問3は表と場合分けを使う規則性

大問3では、与えられた規則に従って数字や状態を整理します。

前半は、問題文の条件を表へ移し、順番に確認すれば解きやすい内容です。しかし、後半は場合の数が増え、整理方法を決めないまま進めると数え漏れが起こります。

大切なのは、最初の数例をただ並べるのではなく、項目を決めて表にすることです。

たとえば、横に「1回目・2回目・3回目」、縦に「状態A・状態B」などを置き、前の状態から次に何が起こるかを記録します。

前の小問で分かったことを次の小問へ使う意識も必要です。各小問を独立して解き直すと、時間も計算量も増えます。

2011年度の合否分析では、大問3の一部は処理量が多く、完答にこだわるより、分かったところまで答案へ残す判断が必要だったとされています。

大問4は立方体の切断と体積

大問4は、立方体を切断し、切断面や切断後の立体の体積を考える問題です。

立体切断は開成で繰り返し対策しておきたい分野ですが、2011年の大問4は、基本的な切断の手順を身につけていれば得点可能な内容と評価されています。

切断面を描くときは、完成形を頭の中だけで想像してはいけません。

まず、同じ面にある2点を直線で結びます。次に、その線が立方体の辺と交わる位置を確認し、隣の面へ線をつなぎます。

向かい合う平行な面では、切断面との交線も平行になることを利用できます。

体積を求める際も、切り取られた立体を直接計算するだけでなく、全体から不要な部分を引く方法や、同じ形の立体に分ける方法を検討します。

2011年開成算数で差がついた3つの力

2011年度は、難問を一つだけ解ける力よりも、基本問題を素早く正確に処理し、後半へ時間を残す力が重要でした。

家庭で過去問を使う場合も、点数だけでなく、次の3点を確認しましょう。

基本問題を短時間で正確に解く力

当時の分析では、大問1と大問2、さらに大問4の前半などは、開成志望者が得点したい問題とされています。

こうした問題で5分以上考え続けると、難しい大問3の後半へ使える時間が減ります。

正解した問題にも時間を記録してください。

自力で短時間に正解した問題をA、正解したが時間がかかった問題をB、途中で修正した問題をCと分けます。

開成対策では、BやCをAへ変える復習が重要です。

複雑な条件を図や表へ変える力

大問2では行列の増減を線分図や面積図へ、大問3では規則を表へ、大問4では立体の条件を見取り図へ変えます。

問題文を頭の中だけで処理すると、条件を忘れたり、同じ計算を繰り返したりします。

図や表は、きれいに描くことが目的ではありません。

「最初からいた人数」「1分ごとに増える人数」「券売機が減らす人数」のように、異なる量を分けて見えるようにすることが目的です。

難しい小問に時間を使いすぎない判断力

大問3の最後まで完答しようとすると、かなりの時間が必要でした。

そこで重要になるのが、前半で得点を確保し、後半の方針が立たなければ一度離れる判断です。

過去問演習では、問題ごとに使った時間を記録します。

10分以上使ったのに得点できなかった問題があれば、「何分の時点で離れるべきだったか」を振り返りましょう。

難しい問題を諦めるのではありません。ほかの得点できる問題を先に解き、残った時間でもう一度戻るための判断です。

2011年開成算数を家庭学習に生かす方法

2011年の過去問は、答えを覚えるためではなく、問題ごとに異なる整理方法を学ぶ教材として使えます。

一年度分を解いて採点するだけで終わらせず、大問ごとに復習方法を変えましょう。

大問1は補助線の目的を説明する

円の問題では、中心から補助線を引いた後に、「なぜこの線を引いたの？」と聞きます。

「半径が等しい三角形を作り、二等辺三角形の角度を使うため」と説明できれば、考え方を理解できています。

線を引く場所だけを覚えさせると、図の向きが変わった問題には対応できません。

大問2は増える量と減る量を分ける

ニュートン算では、一分間に増える人数と、券売機が一分間に処理する人数を別々に書きます。

最初は線分図や長方形の面積図を使いましょう。

横を時間、縦を一分間の人数と考えると、「最初の行列」と「途中で加わった人数」を一つの図で整理できます。

解き直しでは、式より先に「何が増え、何が減っているか」を説明させてください。

大問3は小さな場合から表を作る

規則性では、いきなり大きな回数を求めないことが大切です。

最初の3～5回を実際に書き、結果だけでなく増え方や前の状態との関係も表へ記録します。

間違えた場合は、答えを写すのではなく、「どの分類が抜けたのか」「同じものを二度数えていないか」を確認しましょう。

大問4は切断面を一面ずつ描く

立体切断が苦手な子には、紙の立方体や透明なケースを使っても構いません。

ただし、具体物で確認した後は、必ず紙の見取り図だけでもう一度解きます。

同じ面にある2点を結ぶ、平行な面を探す、交点を次の面へつなぐという手順を言葉にさせましょう。

学年別に取り組む範囲を変える

小学4年生は、大問1の図形に触れ、円の中心や半径へ印を付けるところまでで十分です。大問3も、最初の数例を書き出す練習として使えます。

小学5年生は、大問1に加えて、大問2のニュートン算を線分図や面積図で整理します。立体切断は、切断面を描く基本問題から始めましょう。

小学6年生は、一年度分を60分で解き、問題選択と答案の使い方まで振り返ります。

本番形式の演習後には、時間制限を外して大問3・4を解き直し、考え方を説明できる状態を目指してください。

まとめ｜2011年開成算数は正確さと整理力を磨ける

2011年開成算数は、平面図形、ニュートン算、規則性・場合分け、立体切断という4題構成でした。

大問1と大問2は、開成受験生であれば確実に得点したい内容です。大問3では表や場合分けによる整理、大問4では立体切断の基本手順が問われました。

この年度で身につけたいのは、特殊な解法ではありません。

円では中心へ補助線を引く、ニュートン算では増える量と減る量を分ける、規則性では小さな場合を表にする、立体切断では同じ面の2点を結ぶという基本です。

家庭で復習するときは、「答えが合ったか」だけでなく、「最初に何をしたか」「なぜその方法を選んだか」を説明させましょう。

また、取りやすい問題を短時間で正確に解き、難しい小問へ時間を残す練習も必要です。

2011年の過去問は古くても、基本事項を複雑な設定の中で使う力、図や表へ条件を整理する力、限られた時間で問題を選ぶ力を鍛えられます。

現在の開成対策にも通じる実戦的な一年度として、答え合わせではなく思考過程の見直しに活用してください。