中学受験算数の図形と比｜面積比・相似の解き方

中学受験算数の図形と比は3つの関係を押さえる

この記事では、中学受験算数の「図形と比」で押さえたい基本ルールから、面積比・相似を使った問題の解き方、家庭での効果的な練習方法まで順番に解説します。

中学受験算数の図形問題では、「比」が非常によく使われます。

たとえば、

辺の長さが2：3
三角形の面積が3：5
相似比が2：5

といった情報から、直接書かれていない長さや面積を求めます。

算数が苦手な子にとって難しいのは、公式が複雑だからではありません。

「どの長さとどの長さを比べているのか」
「辺の比と面積の比は同じなのか」
「この2つの三角形には共通する条件があるのか」

を図から読み取る必要があるからです。

しかし、図形と比には何度も使う基本パターンがあります。

まずはその型を押さえることで、複雑に見える問題も整理しやすくなります。

図形と比を得意にするために、最初に覚えておきたい関係は大きく3つです。

ただ暗記するのではなく、「なぜそうなるか」まで理解しておくと応用問題にも対応できます。

同じ高さなら面積比は底辺の比

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

で求めます。

2つの三角形の高さが同じなら、高さと「÷2」の部分は共通です。

そのため、面積を決めるのは底辺だけになります。

たとえば、同じ高さを持つ2つの三角形AとBがあり、底辺の長さが、

3cm：5cm

なら、

面積比も3：5

です。

実際に高さを4cmとして確認すると、

A＝3×4÷2＝6
B＝5×4÷2＝10

なので、

6：10＝3：5

になります。

中学受験では、面積を全部計算しなくても比だけで答えられる問題が多くあります。

図形を見たら、

「高さが同じ三角形はないかな？」

と探す習慣をつけましょう。

同じ底辺なら面積比は高さの比

反対に、底辺が同じ三角形では、

面積比＝高さの比

になります。

たとえば同じ底辺を持つ三角形AとBの高さが、

2：7

なら、面積比も、

2：7

です。

こちらも理由は同じです。

三角形の面積公式の中で、底辺と「÷2」が共通だからです。

この考え方は、複雑な図形の中で面積比を求めるときによく使います。

「同じ高さ」と「同じ底辺」はセットで覚えておくとよいでしょう。

ただし、単に暗記するのではなく、

同じ高さ→底辺を見る
同じ底辺→高さを見る

と対応を整理しておくことが重要です。

相似な図形は辺の比と面積比を区別する

中学受験で特に間違えやすいのが、相似な図形です。

たとえば相似な2つの三角形の対応する辺の比が、

2：3

だったとします。

このとき面積比も2：3になるわけではありません。

面積比は、

2×2：3×3
＝4：9

です。

つまり、

相似比2：3
面積比4：9

となります。

辺の長さが2倍になると、縦方向も横方向も2倍になるため、面積は4倍になります。

たとえば一辺2cmの正方形の面積は4㎠ですが、一辺4cmなら16㎠です。

辺は2倍でも面積は4倍になります。

図形と比では、

長さの比なのか、面積の比なのか

を必ず区別してください。

図形の比でよく出る問題パターン

基本ルールを理解したら、入試でよく出る問題に当てはめていきます。

三角形を分けて面積比を求める

中学受験で非常によくあるのが、大きな三角形の中に線が引かれ、複数の小さな三角形に分かれている問題です。

たとえば三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、

BD：DC＝2：3

だったとします。

三角形ABDと三角形ACDは、AからBCに下ろす高さが共通です。

したがって、

三角形ABD：三角形ACD
＝BD：DC
＝2：3

となります。

ここで実際の面積を求める必要はありません。

このタイプの問題では、

「どの三角形同士が高さを共有しているか」

を見ることが重要です。

図が複雑でも、底辺が一直線上にある三角形を探すと見つけやすくなります。

相似から辺の長さを求める

図形と比では、相似を使って未知の長さを求める問題も頻出です。

たとえば相似な2つの三角形で、

小さい三角形の対応する辺が4cm
大きい三角形の対応する辺が6cm

なら相似比は、

4：6＝2：3

です。

別の対応する辺について、小さい三角形が8cmなら、

8：□＝2：3

となるので、

□＝12cm

と求められます。

相似問題で大切なのは、

「対応する辺を正しくそろえる」

ことです。

形が逆向きになっていると、対応関係を間違えやすくなります。

家庭学習では、対応する辺に同じ印を付けるだけでもミスが減ります。

面積比から辺の比を逆算する

少し難しくなると、面積比から相似比を求める問題も出ます。

相似な2つの三角形の面積比が、

9：16

なら、相似比は、

3：4

です。

なぜなら、

3×3：4×4＝9：16

だからです。

面積比が、

25：49

なら相似比は、

5：7

です。

算数が苦手な子は、「面積比をそのまま辺の比にする」ミスをしやすいので注意してください。

家庭では、

「これは長さの比？面積の比？」

と毎回確認させるとよいでしょう。

複数の比をそろえて考える

応用問題では、

AB：BC＝2：3
BC：CD＝4：5

のように、複数の比が出てくることがあります。

このままではABとCDを直接比べられません。

そこで共通するBCをそろえます。

2：3のBCを12にすると、

AB：BC＝8：12

4：5のBCを12にすると、

BC：CD＝12：15

なので、

AB：BC：CD＝8：12：15

とまとめられます。

図形問題でも、異なる場所で得た比を一つにつなげる場面があります。

比が複数出てきたら、

「共通する部分の数字をそろえられないか」

を考えてください。

中学受験算数で図形と比が難しくなる原因

基本問題ではできても、テストの応用問題になると解けない。

その場合は、次の3点を確認してみましょう。

図の中から同じ高さを見つけられない

「同じ高さなら面積比＝底辺比」を覚えていても、

どの三角形の高さが同じなのか

を判断できなければ使えません。

同じ高さを見つけるコツは、

底辺が同じ直線上にあるか

を見ることです。

三角形の頂点が共通で、底辺が同一直線上にあれば、高さは共通になります。

教えるときも、

「この2つは高さが同じ」

と答えを伝えるより、

「頂点は同じ？」
「底辺は同じ直線の上？」

と問いかけると、自分で判断しやすくなります。

辺の比をそのまま面積比にしてしまう

相似問題で特に多いミスです。

相似比が、

2：5

なら、面積比は、

4：25

です。

ところが2：5とそのまま答えてしまう子がいます。

このミスを防ぐには、公式だけでなく具体的な図で理解することが有効です。

一辺2cmの正方形と一辺5cmの正方形を書けば、

面積は4㎠と25㎠

になります。

「長さが変わると、縦も横も変わる」

という感覚が持てれば、2乗する理由を理解しやすくなります。

比の基準が途中で変わって混乱する

図形問題では、

AとBでは2：3
BとCでは4：5

のように基準が途中で変わることがあります。

このとき、

A：B：C＝2：4：5

と単純につなげることはできません。

Bが最初は3、次は4になっているからです。

共通部分をそろえてからつなげる必要があります。

比の問題で答えが合わないときは、

「同じものを同じ数字で表している？」

と確認してください。

これは図形だけでなく、速さや割合でも使える重要な考え方です。

家庭で図形と比を得意にする勉強法

図形と比は、問題数を増やすより「見る場所を固定する」ことで伸ばしやすい単元です。

比を書き込んで図を見える化する

問題文に、

AB：BC＝2：3

と書いてあったら、文章だけで処理せず図の該当部分に、

2
3

と直接書き込みます。

面積比が分かった場合も、

△ABD＝2
△ACD＝3

などと書きます。

頭の中だけで複数の比を覚えていると、途中で混乱します。

図の中へ書き込むことで、

「今分かっていること」

が見えるようになります。

中学受験の図形問題では、書き込みは立派な解法の一部です。

面積を実際に求めず比だけで考える

算数が苦手な子は、面積問題を見るとすぐ、

底辺×高さ÷2

を計算し始めます。

しかし図形と比では、面積そのものが不要な場合があります。

たとえば同じ高さで底辺が2：5なら、

面積比も2：5

です。

高さが何cmか分からなくても構いません。

このように、

「答えに必要なものだけ求める」

習慣をつけると計算量を減らせます。

家庭では、

「本当に面積を出さないと答えられない？」

と一度問いかけてみてください。

基本問題を3段階に分けて練習する

図形と比が苦手な子には、次の順番がおすすめです。

第1段階は、

同じ高さ・同じ底辺を使う面積比。

第2段階は、

相似比と面積比。

第3段階は、

複数の比や補助線を組み合わせる応用問題。

第1段階が不安定な状態で難関校レベルの問題ばかり解く必要はありません。

基本問題10問なら8〜9問を安定して取れる状態を目標にし、それから次へ進みます。

図形と比は、基本パターンを確実にするほど応用が見えやすくなる単元です。

解説後は「なぜその比になるか」を説明させる

解説を読んで正解を書き写すだけでは、定着したか分かりません。

解き直した後に、

「なぜ2：3になったの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「高さが同じだから底辺の比と面積比が同じ」

「相似比が2：3だから面積比は4：9」

と説明できれば、かなり理解できています。

答えを覚えているだけなら、数字や図が変わった途端に解けなくなります。

家庭では、親が解説する時間よりも、子どもが説明する時間を少し増やすことを意識しましょう。

まとめ｜図形と比は「何が共通しているか」を探す

中学受験算数の「図形と比」は、最初は複雑に感じやすい単元です。

しかし、基本となる考え方は整理できます。

まず覚えておきたいのは、

同じ高さ→面積比＝底辺比
同じ底辺→面積比＝高さ比
相似比a：b→面積比a²：b²

という3つです。

そして問題を解くときは、

どの三角形の高さが同じか
どの辺が対応しているか
今扱っているのは長さの比か面積比か
複数の比の基準はそろっているか

を確認します。

特に重要なのは、図形全体を漠然と見るのではなく、

「この2つの図形には何が共通しているのか」

を探すことです。

同じ高さ。

同じ底辺。

相似な形。

共通する辺。

こうした関係が見つかると、長さや面積をすべて計算しなくても、比だけで答えまで進めるようになります。

算数が苦手な子には、いきなり難しい補助線問題を解かせる必要はありません。

まずは図に比を書き込み、

「高さが同じから2：3」
「相似だから辺は3：4、面積は9：16」

と自分の言葉で説明できる問題を増やしていきましょう。

図形と比は、一度基本の見方が身につくと、中学受験の面積・相似・速さにもつながる強力な武器になります。