中学受験算数の面積問題｜苦手でも分かる解き方

中学受験算数の面積問題でつまずく理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の面積問題でどこを見ればよいのか、基本問題から面積比や複合図形へどうつなげればよいのかを順を追って解説します。

中学受験算数では、面積問題は非常によく出る分野です。

三角形や四角形の公式だけで終わらず、

• 面積比
• 相似
• おうぎ形
• 図形の移動
• 折り返し
• 補助線

などと組み合わされるため、苦手意識を持つ子も少なくありません。

ただし、難しく見える問題でも基本は同じです。

大切なのは、公式をたくさん覚えることではなく、どの図形に分ければ知っている公式を使えるかを見抜くことです。

公式は覚えていても使う場所が分からない

面積が苦手な子によくあるのが、

「三角形の面積は底辺×高さ÷2と分かっているのに解けない」

という状態です。

これは公式を知らないのではなく、

「どこを底辺にすればよいか」

「どこが高さなのか」

を判断できていないことが原因です。

たとえば三角形ABCで、辺ABの長さと、点CからABへ下ろした高さが分かっていれば、

ABを底辺にして計算できます。

ところが子どもは、図の下側にある辺だけを底辺だと思い込むことがあります。

実際には、どの辺を底辺にしても構いません。

高さが分かる辺を底辺に選ぶ

という考え方が大切です。

図形をそのまま見てしまい分割できない

複雑な図形問題では、見たことのない形が出ることがあります。

そのとき、

「こんな図形の公式は知らない」

と止まってしまう子がいます。

しかし中学受験では、新しい面積公式を毎回使うわけではありません。

たとえばL字形なら、

大きな長方形－欠けている長方形

と考えられます。

複雑な多角形でも、三角形や長方形に分ければ求められることがあります。

面積問題では、

「この形の公式は？」

ではなく、

「知っている形に分けられない？」

と考える習慣をつけましょう。

高さや共通部分に注目できていない

中学受験で差がつくのが、面積比の問題です。

ここでは公式計算より、

「同じ高さではないか」

「同じ底辺ではないか」

に気づくことが重要です。

たとえば、同じ高さを持つ2つの三角形があり、底辺の長さが2：3なら、面積比も2：3になります。

ところが、この性質を知らないと、それぞれの高さを無理に求めようとしてしまいます。

面積問題では、実際の面積を計算しなくても、比だけで答えへ進める問題が多いのが中学受験の特徴です。

面積問題で最初に押さえたい基本

三角形・四角形の公式を意味まで理解する

まず基本公式を確認します。

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

平行四辺形は、

底辺×高さ

台形は、

（上底＋下底）×高さ÷2

です。

ただし、式だけを暗記するのではなく、意味を理解することが重要です。

たとえば三角形を2つ組み合わせると平行四辺形になるため、平行四辺形の半分が三角形の面積になります。

そのため、

底辺×高さ÷2

になるわけです。

公式の理由が分かっていると、図形を変形する問題でも応用しやすくなります。

同じ高さなら面積比は底辺比になる

中学受験算数では非常に重要な性質です。

同じ高さを持つ三角形AとBがあるとします。

底辺が、

A：B＝2：5

なら、面積比も、

2：5

です。

なぜなら、三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

で、高さと÷2は両方に共通しているからです。

たとえば高さが4cmなら、

A＝2×4÷2＝4
B＝5×4÷2＝10

なので、

4：10＝2：5

になります。

この関係を使えるようになると、面積を一つずつ計算しなくても答えを出せます。

同じ底辺なら面積比は高さの比になる

反対に、底辺が同じなら面積比は高さの比になります。

同じ底辺を持つ2つの三角形で、

高さが3：4

なら、面積比も3：4です。

この性質は、図の中で同じ辺を共有している三角形を見るときに役立ちます。

たとえば△ABCと△ABDが共通する底辺ABを持っているなら、

面積比＝CとDからABへの高さの比

です。

中学受験では、「同じ底辺」「同じ高さ」という言葉が問題文に書いていないこともあります。

図を見て自分で気づけるように練習しましょう。

おうぎ形は円全体の何分のいくつかで考える

円やおうぎ形の面積も頻出です。

円の面積は、

半径×半径×3.14

です。

おうぎ形では、これに

中心角÷360

をかけます。

たとえば半径6cm、中心角90度なら、

6×6×3.14×90÷360

です。

90度は360度の4分の1なので、

円全体の4分の1

と考えても構いません。

おうぎ形では公式を長く覚えるより、

「円全体のうち何分のいくつ？」

と考えるほうが理解しやすくなります。

中学受験でよく出る面積問題の解き方

複雑な図形は「足す・引く・分ける」で考える

複合図形の面積問題では、まず3つの方法を考えます。

1つ目は足す方法です。

複数の三角形や長方形に分け、それぞれの面積を足します。

2つ目は引く方法です。

大きな図形の面積から、不要な部分を引きます。

3つ目は分ける方法です。

知っている形へ補助線で分割します。

たとえば複雑な五角形でも、対角線を1本引けば三角形と四角形に分けられる場合があります。

どれを使うか迷ったら、

「小さく分けたほうが簡単？」
「大きな形から引いたほうが簡単？」

と比べてみます。

面積比の問題は共通する高さや底辺を探す

面積比の問題で最初に見るのは、

「高さが同じ三角形はないか」

です。

たとえば三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、

BD：DC＝2：3

とします。

△ABDと△ADCは、どちらもAからBCへ下ろした高さが同じです。

したがって、

面積比＝BD：DC＝2：3

になります。

わざわざ高さを求める必要はありません。

このように中学受験の面積問題では、実際の長さが分からなくても比だけで解けることがあります。

相似が出たら辺の比と面積比を区別する

相似と面積が組み合わさる問題も頻出です。

相似比が、

2：3

なら、対応する辺の長さは2：3です。

しかし面積比は、

2×2：3×3＝4：9

になります。

ここを、

「辺が2：3だから面積も2：3」

としてしまうのはよくあるミスです。

面積は縦方向と横方向の両方が変わるため、比を2回かけると考えると分かりやすいでしょう。

たとえば1辺が2cmの正方形と3cmの正方形なら、

面積は4平方cmと9平方cm

なので4：9です。

補助線は知っている図形を作るために引く

面積問題では、

「補助線が思いつかない」

という悩みも多くあります。

ただし、補助線は勘で引くものではありません。

目的は、

• 同じ高さの三角形を作る
• 長方形や三角形に分ける
• 相似な図形を見つける
• 大きな図形から引ける形にする

ことです。

たとえば面積比を使いたいなら、同じ底辺や高さを持つ三角形ができる線を探します。

家庭で教えるときも、

「ここに線を引きなさい」

ではなく、

「どんな三角形ができたら面積比を使えそう？」

と聞くと、補助線の目的を考えやすくなります。

面積問題が苦手な子に家庭でできる勉強法

数字を入れる前に図へ情報を書き込む

面積問題では、いきなり計算を始めないことが大切です。

まず図に、

• 同じ長さ
• 等しい角
• 平行な辺
• 底辺
• 高さ
• 比

を書き込みます。

たとえば、

AB：BC＝2：3

と分かったら、その場で図に「2」「3」と書いても構いません。

条件を図へ移すだけで、問題文を何度も読み返す必要が減ります。

特に算数が苦手な子ほど、頭の中の情報を紙へ出す習慣をつけましょう。

「どこを底辺にする？」と聞いて考えさせる

子どもが三角形の面積で止まったとき、

「底辺はここ、高さはここ」

とすぐ教えないことも大切です。

代わりに、

「高さが分かっているのはどの辺に対して？」

「どこを底辺にしたら計算できそう？」

と聞いてみます。

三角形では、底辺と高さはセットです。

どの辺でも底辺にできますが、それに垂直な高さが必要です。

この関係を自分で探せるようになると、複雑な面積問題にも対応しやすくなります。

同じ問題を数日後に解き直す

面積問題は、解説を読んだ直後には解けても、数日後にまた分からなくなることがあります。

おすすめは、

当日
3日後
1週間後

というように間隔を空けて解き直す方法です。

確認するのは答えだけではありません。

「どうしてこの2つの三角形は面積比が2：3になるの？」

と聞いて、

「高さが同じだから」

と理由まで説明できるかを見ます。

考え方が説明できれば、似た問題にも使いやすくなります。

難問より典型問題を繰り返す

面積が苦手だからといって、難関校の複雑な図形問題をたくさん解く必要はありません。

まず、

• 基本図形の面積
• 複合図形
• 同じ高さの面積比
• 同じ底辺の面積比
• 相似と面積比
• おうぎ形

を順番に固めます。

1つのタイプにつき数問ずつ繰り返し、

「この形なら何を見るか」

をすぐ判断できるようにします。

基本問題が安定すると、難しい問題でも「知っている考え方を組み合わせればよい」と見えるようになります。

まとめ｜面積問題は公式暗記より図形の見方が大切

中学受験算数の面積問題では、三角形や四角形、おうぎ形の公式を覚えることは必要です。

しかし、それだけでは入試問題には十分対応できません。

大切なのは、

• 複雑な図形を知っている形へ分ける
• 大きな図形から不要部分を引く
• 同じ高さなら面積比＝底辺比と考える
• 同じ底辺なら面積比＝高さの比と考える
• 相似比と面積比を区別する
• 補助線で使える形を作る

という見方です。

子どもが面積問題で止まったときも、

「公式は何？」

と聞く前に、

「この図の中で同じ高さの三角形はない？」

「知っている形に分けられない？」

と聞いてみてください。

中学受験の面積問題では、計算が難しいのではなく、計算する前に図形をどう見るかが難しいケースが少なくありません。

図に条件を書き込み、底辺・高さ・比の関係を一つずつ整理できるようになれば、複雑な問題でも突破口を見つけやすくなります。

まずは典型問題を繰り返し、公式を覚えるだけでなく「なぜこの公式や比が使えるのか」まで説明できる状態を目指しましょう。