中学受験算数の通過算｜基本から応用まで解き方を解説

中学受験算数の通過算とは？まず押さえたい基本

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の通過算でなぜつまずくのか、基本問題から応用問題までどのように考えればよいのかを順を追って解説します。

通過算は、中学受験算数の「速さ」の中でも頻出の単元です。

電車が、

・電柱を通過する
・ホームを通過する
・トンネルを通過する
・別の列車とすれ違う
・別の列車を追い越す

といった問題が出題されます。

苦手な子は、「ホームなら足す」「電柱なら列車の長さ」と公式のように暗記しがちです。

しかし、本当に大切なのは、

完全に通過するために、列車の先頭が何m進めばよいのか

を考えることです。

この意味が分かれば、見慣れない通過算が出ても自分で考えられるようになります。

通過算は「列車の長さ」がポイントになる

普通の速さの問題では、人や自動車を1つの点として考えることが多くあります。

しかし、列車には長さがあります。

ここが通過算の特徴です。

たとえば、長さ120mの列車が電柱を通過するとします。

列車の先頭が電柱の位置に来ただけでは、まだ通過したとは言えません。

最後尾が電柱を通り過ぎて初めて「列車全体が通過した」ことになります。

そのため、先頭は列車1本分、つまり120m進む必要があります。

通過算を教えるときには、この「列車には長さがある」という点から始めると理解しやすくなります。

完全に通過するまでの移動距離を考える

通過算では、いきなり式を作らず、

スタートから終了まで、列車の先頭がどれだけ移動したか

を考えます。

長さ120mの列車が電柱を完全に通過するなら120m。

同じ列車が200mのホームを完全に通過するなら、

120＋200＝320m

です。

なぜなら、先頭はホーム200mを進んだあと、さらに列車自身の長さ120mだけ進まないと、最後尾がホームを抜けないからです。

つまり通過算も、

距離＝速さ×時間

という通常の速さの問題と同じです。

難しいのは公式ではなく、距離をどう決めるかなのです。

時速と秒速の単位換算にも注意する

列車の問題では、

時速72km
通過時間10秒

のように、速さは「時速」、時間は「秒」で示されることがあります。

このままでは計算できません。

時速72kmを秒速へ直すと、

72km＝72000m
1時間＝3600秒

なので、

72000÷3600＝20

つまり秒速20mです。

中学受験では、

時速km→秒速mは3.6で割る

という計算もよく使います。

ただし最初から「3.6で割る」とだけ覚えさせるより、

「1時間は3600秒、1kmは1000mだから」

と一度意味を確認しておく方が忘れにくくなります。

通過算の基本問題を3パターンで理解する

電柱を通過するときは列車の長さだけ進む

基本問題を考えます。

「長さ180mの列車が秒速20mで走っています。電柱を通過するのに何秒かかりますか」

電柱には長さがないものとして考えます。

列車全体が通過するには、先頭が列車1本分の180m進めばよいので、

180÷20＝9秒

です。

ここで、

「電柱を通るだけなのに、なぜ180m？」

と疑問を持つ子もいます。

その場合は、列車の先頭と最後尾を簡単に描いて、

「先頭が電柱に来たとき、最後尾はまだ180m後ろにいるよ」

と説明してください。

ホームを通過するときは2つの長さを足す

次はホームです。

「長さ150mの列車が秒速25mで、長さ250mのホームを通過します。何秒かかりますか」

列車の先頭がホームの入口に来たところからスタートします。

列車全体が通過するには、

ホームの長さ250m
＋列車の長さ150m

を進まなければなりません。

したがって、

250＋150＝400m

400÷25＝16秒

です。

ホーム問題では、

列車の長さ＋ホームの長さ

を使います。

ただし、「そういう公式だから」ではありません。

最後尾までホームを抜けるために必要な距離を考えた結果、足し算になるのです。

トンネルもホームと同じ考え方で解ける

トンネルも基本的にはホームと同じです。

たとえば、

「長さ200mの列車が秒速30mで、長さ400mのトンネルを通過します」

なら、列車の先頭が進む距離は、

200＋400＝600m

です。

したがって、

600÷30＝20秒

となります。

子どもの中には、

「ホームとトンネルは別の問題」

と覚えている子がいます。

しかし、算数としては同じです。

どちらも、

ある長さを持つ場所から列車全体が抜ける

問題だからです。

「見た目の設定ではなく、何が同じなのか」を考えられるようになると応用力がつきます。

中学受験で出る通過算の応用問題

向かい合う列車は速さを足して考える

通過算では、2本の列車が登場することもあります。

たとえば、

長さ120mの列車Aが秒速20m
長さ180mの列車Bが秒速30m

で向かい合って走っているとします。

完全にすれ違うまでに必要な距離は、

120＋180＝300m

です。

また、1秒間に2本の列車が近づく距離は、

20＋30＝50m

です。

したがって、

300÷50＝6秒

で完全にすれ違います。

ここでも大切なのは、

「向かい合うときは速さを足す」

という暗記ではありません。

1秒後に2本の列車の間が何m縮まるのかを考えれば、自然に足し算になることが分かります。

追い越す列車は速さの差で考える

同じ方向へ走る列車では考え方が変わります。

長さ100mの速い列車が秒速30m、長さ150mの遅い列車が秒速20mで同じ方向へ走っているとします。

速い列車が遅い列車を完全に追い越すには、2本分の長さ、

100＋150＝250m

の差を縮める必要があります。

1秒ごとに縮まる距離は、

30－20＝10m

です。

したがって、

250÷10＝25秒

となります。

向かい合う場合は速さの和、同じ方向では速さの差。

この違いも、

「1秒間に距離がどう変わる？」

と考えれば理解しやすくなります。

列車の長さや速さを逆算する問題

入試では、時間から列車の長さを求める問題も出ます。

たとえば、

「ある列車は電柱を通過するのに8秒、長さ200mのホームを通過するのに18秒かかりました。列車の速さと長さを求めなさい」

とします。

ホームを通過するときは、電柱の場合より200m多く進みます。

そのためにかかった時間の差は、

18－8＝10秒

です。

つまり10秒間で200m進んでいます。

速さは、

200÷10＝秒速20m

です。

電柱を通過する8秒間で列車1本分進むので、

20×8＝160m

となり、列車の長さは160mです。

この問題のポイントは、「ホーム通過と電柱通過の差」に注目することです。

難問では、全部を一度に求めようとせず、条件同士の違いから分かることを探すと解きやすくなります。

通過算が苦手な子への家庭での教え方

「先頭から最後尾まで」を図にする

通過算が苦手な子に最初から式を見せても、なかなか定着しません。

おすすめは、列車を長方形で描くことです。

たとえばホームなら、

列車【────】→　ホーム｜────────｜

という程度の簡単な図で十分です。

開始時と終了時を描いて、

「最後は列車のどこまでホームを抜ければいい？」

と聞きます。

子どもが「最後尾」と答えられれば、なぜ列車の長さまで必要なのか理解しやすくなります。

公式より「何m動いたの？」と質問する

家庭で通過算を教えるとき、親が覚えておきたい質問があります。

「完全に通過するまで、列車の先頭は何m動いたの？」

です。

電柱なら列車の長さ。

ホームなら列車＋ホーム。

2本の列車なら列車2本分。

この距離を自分で判断できれば、あとは通常の速さの計算になります。

答えを、

「ホームだから足すの！」

と教えるより、

「先頭がここからここまで動くには何m必要？」

と聞く方が応用問題にも対応しやすくなります。

通過算だけでなく速さの基本へ戻る

通過算が解けないと、「通過算をもっと練習させよう」と考えがちです。

しかし、原因が、

・速さ×時間＝距離が曖昧
・時速と秒速の換算が苦手
・割り算の逆算で迷う
・旅人算の速さの和・差が分からない

ところにある場合もあります。

たとえば「距離と時間が分かったのに速さを求められない」のであれば、通過算以前の問題です。

家庭学習では、

基本の速さ
↓
電柱の通過
↓
ホーム・トンネル
↓
列車同士
↓
逆算問題

という順番で進めるとよいでしょう。

難しい問題を何問も解くより、基本問題を翌日にもう一度解けるか確認する方が定着につながります。

まとめ｜通過算は「動く距離」が分かれば解ける

中学受験算数の通過算で最も大切なのは、公式をたくさん覚えることではありません。

「完全に通過するまで、列車は何m動く必要があるのか」

を考えることです。

基本を整理すると、

・電柱を通過する→列車の長さ
・ホームを通過する→列車＋ホームの長さ
・トンネルを通過する→列車＋トンネルの長さ
・2本の列車がすれ違う→2本の列車の長さを合わせる
・向かい合う→速さの和
・同じ方向に追い越す→速さの差

となります。

ただし、これらを丸暗記するだけでは十分ではありません。

「なぜその長さになるのか」
「1秒間に2本の列車の距離は何m変わるのか」

まで理解することが重要です。

家庭で教える際には、

「どこからスタート？」
「どこまで行けば完全に通過したことになる？」
「列車の先頭は全部で何m動く？」

と順番に質問してみてください。

通過算は複雑に見えますが、移動する距離を正しく決められれば、最後は、

距離＝速さ×時間

という速さの基本へ戻ります。

「電柱ならこれ」「ホームならこれ」と答えを覚えるのではなく、図を描いて動きを理解する習慣をつけることが、中学受験の応用問題に強くなる近道です。