中学受験算数の相似問題を攻略｜見抜き方と解き方

中学受験算数の相似問題とは？まず基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の相似問題について、基本的な意味から相似の見抜き方、辺の比や面積比を使った典型問題の解き方まで順を追って解説します。

相似は、中学受験算数の図形分野で非常に重要なテーマです。

基本問題では辺の長さを求めるだけですが、入試になると、

・面積比
・平行線
・台形
・図形の移動
・補助線
・立体図形

などと組み合わされます。

そのため、「相似比の計算ができる」だけでは十分ではありません。

最も大切なのは、複雑な図の中から「相似な図形を見つける力」です。

相似は「形が同じで大きさが違う図形」

相似とは、簡単にいえば「形は同じで、大きさだけが違う図形」です。

たとえば、辺の長さが

3cm、4cm、5cm

の三角形と、

6cm、8cm、10cm

の三角形があるとします。

対応する辺を見ると、

3：6＝1：2
4：8＝1：2
5：10＝1：2

となります。

すべての辺が同じ割合で大きくなっています。

この2つの三角形は相似です。

中学受験では、「相似」という言葉を知っていることより、図の中でどの辺とどの辺が対応しているかを正しく見つけられることが重要です。

対応する辺と角をそろえることが重要

相似問題で多いミスが、対応する辺を間違えることです。

たとえば小さい三角形の辺が、

3、4、5

大きい三角形の辺が、

6、8、10

なら、

3↔6
4↔8
5↔10

と対応します。

ところが図形の向きが変わると、子どもは、

3↔8

のように別の辺を対応させてしまうことがあります。

そこで、辺だけを見るのではなく、角を基準にします。

「この角と同じ角はどれ？」

と探し、その角にはさまれた辺同士を対応させると間違いにくくなります。

相似比と面積比の違いを押さえる

相似問題では、辺の比だけでなく面積比も頻出です。

たとえば、相似な三角形の辺の比が、

2：3

なら、相似比は2：3です。

このとき面積比は、

2×2：3×3
＝4：9

となります。

つまり、

相似比がa：b
↓
面積比はa²：b²

です。

ただし、公式だけ暗記させるより、

「たても横も2：3になるから、面積では2×2：3×3になる」

と説明した方が理解しやすいでしょう。

相似比と面積比を混同する子は多いため、家庭学習では必ず区別して確認してください。

相似問題を見抜くための3つのポイント

平行線があったら同じ角を探す

中学受験算数の相似問題で最も重要なサインの一つが「平行」です。

平行線があると、同位角や錯角が等しくなります。

たとえば三角形ABCの中に、辺BCと平行な線DEがあるとします。

すると、

∠ADE＝∠ABC
∠AED＝∠ACB

となるため、

三角形ADEと三角形ABC

は相似になります。

子どもには、

「平行という文字を見たら、相似がないか探す」

くらいの習慣をつけてもよいでしょう。

平行線は、相似を発見する非常に強い手がかりです。

三角形が重なっていたら共通の角を見る

図の中に大小2つの三角形が重なっている場合は、「共通の角」に注目します。

たとえば、大きな三角形の中に小さな三角形があり、1つの角を共有しているとします。

すでに1つの角が同じなので、もう1組の角が等しいことを確認できれば、2つの三角形は相似です。

相似が苦手な子は、辺の長さばかり探しがちです。

しかし実際には、

「同じ角が2組ある」

ことから相似を判断する場面が多くあります。

まず角を見る習慣をつけましょう。

向きが違っても対応関係をそろえる

相似問題が難しくなる大きな理由の一つが、図形の向きです。

上下が逆だったり、90度回転していたりすると、同じ形でも別の三角形に見えます。

このときは、相似な三角形を問題の図のまま見続ける必要はありません。

ノートの余白に、

三角形A
三角形B

を同じ向きに書き直しましょう。

そして、

○の角↔○の角
△の角↔△の角

のように印をつけます。

図形の向きをそろえるだけで、対応する辺が見つけやすくなります。

中学受験でよく出る相似問題の解き方

辺の長さを求める基本問題

まずは基本的な相似問題です。

小さい三角形と大きい三角形が相似で、対応する辺が、

小：大＝2：3

だとします。

小さい三角形のある辺が8cmで、それに対応する大きい三角形の辺を求めるなら、

8×3÷2＝12

です。

答えは12cmです。

ここで大切なのは、

2：3＝8：□

と対応関係を書いてから計算することです。

頭の中だけで、

「3÷2をかける」

と処理すると、複雑な問題で比を逆にするミスが増えます。

面積比を使う問題

次に、相似な図形の面積を求める問題です。

相似比が、

3：5

なら、

面積比＝9：25

です。

小さい三角形の面積が36cm²なら、

9にあたる面積が36なので、

36÷9＝4

1あたりは4です。

したがって大きい三角形の面積は、

4×25＝100cm²

となります。

面積問題では、

相似比
↓
面積比
↓
実際の面積

という順番を固定すると、ミスしにくくなります。

台形の中にできる相似

中学受験では、台形の中に対角線や線分が引かれ、相似な三角形を見つける問題がよく出ます。

特に、

上底と下底が平行

であることが重要です。

平行線によって同じ角が生まれるため、大小の三角形が相似になるケースがあります。

たとえば台形ABCDで、

AB∥CD

なら、対角線を使った図の中で、

「どの角とどの角が等しくなるか」

を探します。

台形問題を見た瞬間に面積公式へ進むのではなく、

「平行線があるから相似ができないか？」

と考える習慣をつけると、解法が見えやすくなります。

補助線を引いて相似を作る問題

応用問題では、最初から相似な三角形が分かりやすく描かれていない場合があります。

そこで補助線を引きます。

ただし、

「相似問題だからとりあえず線を引く」

のはおすすめできません。

先に、

・平行線を作れないか
・同じ角を作れないか
・既にある三角形と同じ形を作れないか

と考えます。

補助線は、「何のために引くか」が大切です。

たとえば、ある頂点から反対側の辺に平行な線を引くことで、同位角や錯角を作り、相似な三角形を出現させることがあります。

難関校では、この「相似を作るための補助線」が大きなポイントになることもあります。

相似問題が苦手な子におすすめの家庭学習法

相似な三角形を別々に書き直す

相似が苦手な子には、問題の図だけを見て解かせ続けないことが大切です。

相似だと思う2つの三角形を、余白に別々に書きます。

たとえば、

小さい三角形
大きい三角形

を同じ向きに並べます。

それだけで、

「この辺とこの辺が対応している」

という関係が見えやすくなります。

最初は時間がかかっても構いません。

対応関係を正確に理解する方が重要です。

対応する辺に同じ印をつける

相似な図形を見つけたら、対応する辺に印をつけます。

たとえば、

1本線の辺↔1本線の辺
2本線の辺↔2本線の辺

という具合です。

角にも、

○
△
□

などの印をつけます。

視覚的に対応を固定すると、比を立てるときの取り違えを防げます。

中学受験の相似では、「計算ミス」よりも「対応ミス」で失点する子が少なくありません。

「どの角が同じ？」を必ず言葉にする

家庭学習では、答えを出した後に、

「どうしてこの2つの三角形は相似なの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「ここは共通の角で、ここは平行線の錯角だから同じ」

と説明できれば理解しています。

逆に、

「形が似ているから」

という答えでは不十分です。

見た目だけで相似と判断すると、似ているように見えて相似ではない図形で間違えます。

相似の根拠を言葉で説明することが、応用問題への土台になります。

基本問題から面積比へ段階的に進む

相似が苦手なのに、いきなり面積比や難しい補助線問題ばかり解かせると、さらに混乱します。

おすすめは、

1. 相似な三角形を見つける
2. 対応する辺を確認する
3. 辺の長さを求める
4. 相似比を求める
5. 面積比を求める
6. 複合図形へ進む

という順番です。

たとえば基本問題を10問解いたときに、8～9問を自力で解けるようになってから次の段階へ進むとよいでしょう。

中学受験算数では、難問を何問解いたかより、「基本の見方を自分で再現できるか」の方が重要です。

まとめ｜相似問題は「同じ角」と「対応する辺」を探す

中学受験算数の相似問題では、公式をたくさん覚えることよりも、図の中から相似な図形を見つけることが重要です。

基本となるのは、

・平行線があれば同じ角を探す
・共通する角に注目する
・相似な三角形を別々に書く
・対応する辺をそろえる
・相似比から面積比へつなげる

という流れです。

特に覚えておきたいのは、

相似比が2：3
↓
面積比は4：9

という関係です。

ただし、公式だけを暗記するのではなく、「たても横も2：3になるから面積では2×2：3×3になる」と理解しておきましょう。

相似問題が苦手な子は、複雑な図を見るとすぐに式を立てようとする傾向があります。

まずは、

同じ角を探す
↓
相似な三角形を見つける
↓
同じ向きに書き直す
↓
対応する辺を確認する
↓
比を立てる

という順番を守ることが大切です。

相似は、辺の長さだけでなく、面積比、台形、速さと図形、立体などにもつながる重要単元です。

基本問題の段階で「なぜ相似なのか」を説明できるようにしておけば、複雑な入試問題でも図形の中にある手がかりを見つけやすくなります。