中学受験算数の平面図形問題｜苦手を克服する解き方

中学受験算数の平面図形問題が難しい3つの理由

この記事では、中学受験算数の平面図形問題でつまずく理由を整理し、角度・面積・相似・面積比・補助線の考え方から家庭での練習法まで順番に解説します。

中学受験算数の中でも、平面図形は苦手になりやすい分野です。

計算問題なら「この式を計算する」とやることが見えますが、図形問題では、

「どこに注目するか」
「どの性質を使うか」
「補助線を引く必要があるか」

を自分で判断しなければなりません。

そのため、公式を覚えているのに点数につながらない子も少なくありません。

公式を覚えても使う場面が分からない

平面図形が苦手な子に多いのが、公式は覚えているのに問題になると使えない状態です。

たとえば三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

と答えられても、実際の図の中で「どこが底辺で、どこが高さか」を判断できなければ解けません。

相似でも同じです。

「対応する辺の比が等しい」と知っていても、どの三角形とどの三角形が相似なのか見つけられなければ使えません。

中学受験算数では、公式を知っていることより、

「この図では何が使えそうか」

と判断する力が重要です。

補助線をどこに引けばよいか判断できない

平面図形問題で保護者が最も教えにくいのが補助線です。

解説を見ると、

「ここに1本引けば解ける」

という問題がよくあります。

しかし、子どもからすると、

「なぜそこに引くの？」

と感じます。

補助線はひらめきだけで引くものではありません。

たとえば、

・三角形を作りたい
・平行線を作りたい
・同じ高さの三角形を作りたい
・相似な三角形を見つけたい
・半径を結んで二等辺三角形を作りたい

など、目的があります。

家庭では「ここに線を引いて」と答えを教えるのではなく、

「三角形を作れないかな」
「同じ高さになる形は作れそう？」

と考える方向を示す方が効果的です。

図の中から必要な条件を見つけにくい

図形問題では、図の中に多くの線や数字があるため、算数が苦手な子ほど情報量に圧倒されます。

そこで大切なのが、問題文に書かれている条件を図へ直接書き込むことです。

たとえば、

AB＝AC

と書かれていたら、辺ABとACに同じ印をつけます。

AB∥CD

なら、平行を示す印をつけます。

辺の比が、

2：3

なら、そのまま図に「2」「3」と書きます。

図を眺めるのではなく、使える情報を自分で見える形にすることが重要です。

平面図形問題で最初に身につけたい基本

平面図形には多くの問題がありますが、最初から難問に挑戦する必要はありません。

まずは角度・面積・相似の3つを確実にすると、多くの問題へつながります。

角度は三角形と平行線から考える

角度問題の基本は、

「三角形の3つの角の和は180度」

という性質です。

たとえば三角形の2つの角が、

50度
60度

なら残りは、

180－50－60＝70度

です。

ここから発展して、二等辺三角形なら2つの角が等しくなります。

また、平行線が出てきたら、

錯角
同位角

にも注目します。

算数が苦手な子には、最初から角度を次々計算させるのではなく、

「この角と同じ角はどこ？」

と探させることがおすすめです。

角度問題は、数値を計算する前に「等しい角を増やす」ことがポイントです。

面積は「同じ高さ・同じ底辺」に注目する

面積問題では、毎回すべての面積を実数で求める必要はありません。

たとえば2つの三角形の高さが同じなら、

面積比＝底辺比

になります。

底辺の比が、

2：5

なら面積比も、

2：5

です。

反対に、底辺が同じなら、

面積比＝高さの比

となります。

この考え方は、中学受験算数の面積比で非常によく使います。

家庭では、

「この2つの三角形で同じものは何？」

と質問してみてください。

高さが同じ、底辺が同じ、と気づければ、計算量を大幅に減らせます。

相似は対応する辺を正しく見つける

相似は平面図形の重要単元です。

相似な三角形では形が同じなので、対応する辺の比が等しくなります。

たとえば、

AB：DE＝2：3

なら、正しく対応している辺について、

BC：EF＝2：3

となります。

ここでよくある間違いが、見た目の位置だけで対応する辺を決めることです。

図が回転していたり、上下が反対になったりすると混乱します。

子どもには、

「同じ角の向かい側にある辺はどれ？」

と確認させましょう。

また、相似な図形で辺の比が2：3なら、面積比は、

2×2：3×3＝4：9

となります。

辺の比と面積比を混同しないことも重要です。

中学受験で頻出の平面図形問題パターン

平面図形問題は種類が多く見えますが、入試では似た考え方が何度も使われます。

基本パターンを整理しておくことで、初めて見る問題にも対応しやすくなります。

角度を求める問題

角度問題では、まず、

・三角形
・二等辺三角形
・正三角形
・平行線
・円

を探します。

たとえば二等辺三角形なら底角が等しくなります。

頂角が40度なら、

180－40＝140
140÷2＝70度

なので、2つの底角は70度です。

複雑な角度問題でも、実際には小さな三角形を一つずつ確認していくと解けるケースが多くあります。

「いきなり答えの角を求めようとしない」ことが大切です。

面積比を求める問題

面積比では、

「共通する高さ」
「共通する底辺」

を探します。

たとえば三角形ABCの辺BC上にDがあり、

BD：DC＝3：4

なら、

三角形ABD：三角形ADC＝3：4

です。

高さが共通だからです。

さらに三角形ABC全体の面積が56㎠なら、

3＋4＝7

なので、

三角形ABD
＝56×3/7
＝24㎠

と求められます。

面積問題だからといって、最初から「底辺×高さ÷2」で考える必要はありません。

相似と比を組み合わせる問題

入試で差がつきやすいのが、相似と比の組み合わせです。

たとえば相似な三角形の辺の比が、

2：5

なら面積比は、

4：25

です。

さらに大きい三角形の面積が100㎠なら、小さい三角形の面積は、

100×4/25＝16㎠

となります。

こうした問題では、

相似を見つける
↓
辺の比を出す
↓
必要なら面積比へ変換する

という順番で考えます。

途中の計算より、最初に相似を発見できるかがポイントです。

補助線を引いて解く問題

補助線問題では、むやみに線を増やしてはいけません。

線を引く前に、

「何を作りたいのか」

を考えます。

たとえば円の中心と円周上の点を結べば、半径が2本できるため二等辺三角形になることがあります。

台形に対角線を引けば、同じ高さを持つ三角形ができる場合があります。

平行線を延長すると、相似な三角形が見つかることもあります。

補助線は魔法ではありません。

「知っている形を作るための線」と考えると、子どもにも説明しやすくなります。

平面図形が苦手な子への家庭での教え方

平面図形を克服するには、難しい問題を大量に解くより、「図を見る手順」を身につける方が効果的です。

家庭では次の3つを意識しましょう。

答えより「どこを見たか」を説明させる

子どもが問題を解けたら、

「答えはいくつ？」

だけではなく、

「最初にどこを見た？」

と聞いてください。

たとえば、

「二等辺三角形を見つけた」
「高さが同じ2つの三角形を見つけた」
「平行だからこの角が同じだと思った」

と答えられれば、図形の見方が身についています。

一方で、

「なんとなく」
「前の問題と同じだったから」

という場合は、まだ解法を暗記している可能性があります。

同じ問題を図だけ変えて解き直す

図形問題は、図の向きが変わっただけで解けなくなる子が少なくありません。

それを防ぐために、解けた問題の図を90度回転させて描いてみたり、左右を逆にしてみたりする方法があります。

すると、

「形の向きではなく性質を見る」

練習になります。

たとえば二等辺三角形は、逆さになっても二等辺三角形です。

相似も、図が回転していても対応する角と辺の関係は変わりません。

1日3～5問の基本問題を繰り返す

平面図形が苦手だからといって、1日に20問も解く必要はありません。

むしろ、

角度1問
面積比1問
相似1問

のように、1日3～5問程度を丁寧に取り組む方がおすすめです。

解いた翌日に、

「昨日と同じ考え方で解ける？」

ともう一度確認します。

答えを覚えているのではなく、考え方を再現できるかを見ることがポイントです。

基本問題を見た瞬間に、

「これは同じ高さ」
「これは相似」
「これは二等辺三角形」

と判断できるようになると、複合問題にも対応しやすくなります。

まとめ｜平面図形問題は公式より図の見方が重要

中学受験算数の平面図形問題を攻略するために、最も大切なのは公式を増やすことではありません。

重要なのは、

「同じ角はどこか」
「同じ高さの三角形はないか」
「相似な形はないか」
「知っている形を作る補助線は引けないか」

と図を見る習慣です。

角度問題では三角形・二等辺三角形・平行線に注目します。

面積問題では同じ高さ・同じ底辺を探します。

相似では対応する角と辺を確認し、辺の比と面積比を区別します。

補助線を引くときも、ただ何となく線を増やすのではなく、

「何を作るための線か」

を考えることが重要です。

家庭で教えるときは、

「この公式を使いなさい」

と教えるより、

「この図の中で同じものはどこ？」
「知っている形はない？」
「最初にどこを見た？」

と問いかけてみてください。

平面図形が得意な子は、特別なひらめきだけで解いているわけではありません。

図の中から使える条件を見つけ、基本的な性質を一つずつつなげています。

最初は1日3～5問程度でも十分です。

基本問題を繰り返し、「角度ならここを見る」「面積比ならここを見る」という判断を積み重ねることが、平面図形を中学受験算数の得点源へ変える近道です。