中学受験算数「階段問題」の解き方｜何通りを攻略

中学受験算数の「階段問題」とは？

この記事では、中学受験算数の階段問題について、基本的な数え方から規則の見つけ方、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数で「階段」といえば、代表的なのが、

「1歩で1段または2段上れるとき、階段の上り方は何通りあるか」

という問題です。

たとえば3段の階段なら、

1段→1段→1段
1段→2段
2段→1段

の3通りがあります。

このように、決められた条件の中で何通りの進み方があるかを考えます。実際の受験算数でも、階段を1段または2段ずつ上る問題は典型的な題材として扱われています。

1段または2段ずつ上る方法を数える問題

まず、問題の意味を正確に理解しましょう。

4段の階段を、

「1回に1段または2段」

上るとします。

たとえば、

1・1・1・1
1・1・2
1・2・1
2・1・1
2・2

という上り方があります。

したがって5通りです。

ここで大切なのは、

「使う数字は1と2だけ」

ということです。

階段の段数を、「1と2の合計で表す方法」と考えることもできます。

4なら、

1＋1＋1＋1
1＋1＋2
1＋2＋1
2＋1＋1
2＋2

となります。

階段問題は「場合の数」と「規則性」の融合

階段問題は場合の数ですが、段数が増えると全部書き出すのは大変です。

そこで規則を利用します。

1段の上り方は1通り。
2段なら2通り。
3段なら3通り。
4段なら5通り。
5段なら8通り。

並べると、

1、2、3、5、8、13、21……

となります。

前の2つの数を足すと次の数になる並びです。

このような階段問題では、「1つ前の段から1段上る場合」と「2つ前の段から2段上る場合」を合わせるため、この規則が現れます。

小さい段数から調べるのが基本

子どもが階段問題で止まったとき、

「前の2つを足せばいいよ」

と最初から教えるのはおすすめしません。

まず、

1段なら？
2段なら？
3段なら？

と小さい数から調べます。

中学受験の規則性では、いきなり公式に当てはめるより、小さい場合を書き出して規則を見つけることが基本です。場合の数でも、樹形図や表などを使って漏れなく整理する方法が有効です。

階段の上り方はどう数える？基本の解き方

ここからは、階段問題の規則を具体的に確認していきましょう。

1段目・2段目・3段目を実際に書き出す

1回に1段または2段上れるとします。

1段目までなら、

1

だけなので、1通りです。

2段目までは、

1＋1
2

なので2通り。

3段目までは、

1＋1＋1
1＋2
2＋1

なので3通りです。

4段目は5通り、5段目は8通りになります。

表にすると、

1段……1通り
2段……2通り
3段……3通り
4段……5通り
5段……8通り
6段……13通り

です。

全部を書き出さなくても規則が見えてきます。

「1つ前＋2つ前」になる理由を理解する

ここが階段問題で最も重要です。

たとえば、6段目に到着する方法を考えます。

6段目に来る直前には、必ず、

5段目にいた
または
4段目にいた

のどちらかです。

なぜなら、1回に上れるのは1段か2段だからです。

5段目からなら最後に1段上ります。

4段目からなら最後に2段上ります。

したがって、

6段目への上り方
＝5段目への上り方＋4段目への上り方

です。

5段目は8通り、4段目は5通りなので、

8＋5＝13通り

となります。

「前の2つを足す」というルールだけでなく、なぜ足すのかまで説明できるようにしておくことが重要です。

10段の階段まで規則を使って求める

では10段の階段なら何通りでしょうか。

順番に並べます。

1段……1
2段……2
3段……3
4段……5
5段……8
6段……13
7段……21
8段……34
9段……55
10段……89

したがって、

89通り

です。

10段の上り方を89個すべて書く必要はありません。

前の2つを足す規則を見つけられれば、段数が増えても対応できます。

中学受験で出る階段問題の応用パターン

入試では「1段または2段」という基本問題だけとは限りません。

条件を少し変えて、考え方を理解しているかが問われます。

「1段か2段か3段」上れる問題

1回に1段、2段、3段のどれかを上れる場合を考えます。

たとえば6段目に来る直前は、

5段目
4段目
3段目

のいずれかです。

したがって、

6段目への上り方
＝5段目への上り方
＋4段目への上り方
＋3段目への上り方

となります。

つまり今度は、

直前の3つを足す

という規則になります。

「階段問題だから前の2つ」と丸暗記していると、ここで間違えます。

大切なのは、

最後の1歩を考える

ことです。

何段前から来られるかを考えれば、条件が変わっても対応できます。

途中の段を必ず通る・通れない問題

「5段目を必ず踏んで10段目まで上る」

という条件もあります。

この場合は、

スタート→5段目
5段目→10段目

に分けて考えます。

仮にそれぞれ8通りずつなら、

8×8＝64通り

です。

前半の上り方それぞれについて、後半の上り方を組み合わせられるからです。

一方、

「5段目を踏んではいけない」

なら、

全体の上り方－5段目を踏む上り方

と考える方法があります。

条件付きの場合の数では、「必ず通る」「通れない」という言葉を見落とさないことが大切です。

何段上ったかという条件がある問題

少し難しくなると、

「10段の階段を、ちょうど7歩で上る方法は何通りですか」

といった問題もあります。

1段を上る回数を□回、2段を上る回数を△回と考えます。

全部で7歩なので、

□＋△＝7

です。

そして上った段数は10段なので、

□＋2×△＝10

となります。

2つを比べると、2段上りは3回、1段上りは4回だと分かります。

つまり、

1、1、1、1、2、2、2

という7個をどの順番に並べるかという問題になります。

このように階段問題は、規則性だけでなく、場合の数や整数の考え方ともつながっています。

階段問題が苦手な子への家庭での教え方

階段問題が苦手な子には、数列だけを暗記させるよりも「どこからその段へ来たのか」を考えさせるほうが定着します。

いきなり規則を暗記させない

階段問題を見ると、

「1、2、3、5、8、13を覚えればいい」

と思うかもしれません。

しかし、問題条件が変われば規則も変わります。

1段か2段なら直前の2つ。

1段か2段か3段なら直前の3つ。

だからこそ、

「この段に来る直前は何段目にいた？」

と聞くのがおすすめです。

規則を自分で作れる状態にすることが、本当の理解です。

矢印や数字で上り方を書き出す

分からない場合は、最初の3～4段だけ実際に書きます。

たとえば4段なら、

1→1→1→1
1→1→2
1→2→1
2→1→1
2→2

です。

「1」「2」という数字を書くだけなので、きれいな階段の図を描く必要はありません。

重要なのは、

「同じ合計でも順番が違えば別の上り方」

と気づくことです。

1→2と2→1は違う上り方なので、別々に数えます。

数え漏れと重複をチェックする

階段問題でありがちな失点が、数え漏れです。

思いついた順に書くと、

1・1・2
2・1・1

は書いたのに、

1・2・1

を忘れることがあります。

家庭では、

「1から始まるものを全部書こう」
「次に2から始まるものを書こう」

というように、最初の1歩で場合分けさせてください。

中学受験の場合の数では、答えを速く出すこと以上に、漏れなく、重ならずに数える方法を身につけることが大切です。

間違えたときも、

「計算を間違えた？」

ではなく、

「書いていない上り方はない？」
「同じものを2回数えていない？」

と確認すると、原因が見つけやすくなります。

まとめ｜階段問題は小さい数から規則を見つけよう

中学受験算数の階段問題では、

「1歩で1段または2段ずつ上ると、何通りの上り方があるか」

という形式が代表的です。

基本問題なら、

1段……1通り
2段……2通り
3段……3通り
4段……5通り
5段……8通り

と続きます。

前の2つの数を足すと次の数になるため、

5＋8＝13

として6段目を求められます。

ただし、覚えてほしいのは数字の並びそのものではありません。

重要なのは、

「最後にどこから来たのか」

を考えることです。

1段または2段ずつ上るなら、ある段に来る直前は1段前か2段前です。

だから、その2つの場合の数を足します。

1段・2段・3段ずつ上れるなら、1段前・2段前・3段前から来られるため、直前の3つを足します。

この理由まで理解できれば、条件が変わっても対応できます。

家庭で子どもが手を止めたときは、

「公式は何だっけ？」

ではなく、

「最後の1歩は何段上ったと思う？」
「その前はどこにいた？」
「小さい階段なら何通り？」

と問いかけてみてください。

階段問題は、一見すると特殊な数列問題に見えますが、本質は場合分けの積み重ねです。

小さい場合を書き出す→規則を見つける→その理由を確認する

という順番で練習すれば、中学受験の規則性や場合の数の応用問題にも対応しやすくなります。