中学受験算数の三角数とは？公式と解き方をやさしく解説

中学受験算数の三角数とは？まず意味を理解しよう

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数で使う三角数の意味・公式・典型問題の解き方を、家庭でも説明できるように順を追って解説します。

中学受験算数では、「三角数」という言葉が規則性や数列の問題で登場します。

名前だけを見ると難しそうですが、考え方そのものはとてもシンプルです。

三角数とは、

1
1＋2＝3
1＋2＋3＝6
1＋2＋3＋4＝10

というように、1から順番に整数を足してできる数のことです。

この意味がわかれば、公式を丸暗記しなくても、多くの問題に対応できるようになります。

三角数を理解するときは、いきなり公式から入らないことが大切です。

まず「どんな数なのか」を具体的に見てみましょう。

1・3・6・10・15…と増える数が三角数

三角数は、

1、3、6、10、15、21、28……

と続きます。

増え方を見ると、

1
＋2→3
＋3→6
＋4→10
＋5→15

となっています。

つまり、

第1三角数＝1
第2三角数＝1＋2＝3
第3三角数＝1＋2＋3＝6
第4三角数＝1＋2＋3＋4＝10

です。

「第5三角数は？」と聞かれたら、

1＋2＋3＋4＋5＝15

となります。

ここで大切なのは、「1、3、6、10を覚えること」ではありません。

「1から順番に足している」という規則を理解することです。

三角形に並べると名前の意味がわかる

なぜ「三角数」と呼ばれるのでしょうか。

丸を並べるとイメージしやすくなります。

1段目に丸を1個。

2段目に2個。

3段目に3個。

このように並べると、

●
●●
●●●

となり、合計は

1＋2＋3＝6個

です。

全体を見ると三角形のような形になります。

4段なら、

1＋2＋3＋4＝10個。

5段なら、

1＋2＋3＋4＋5＝15個。

このように、三角形状に物を並べたときの合計数になるため、「三角数」と呼ばれます。

図形と数列がつながっているところが、中学受験算数らしいポイントです。

三角数は「1から順番に足した数」と考える

保護者が子どもに説明するときは、

「三角数は、1からその数まで全部足した数だよ」

と伝えるとわかりやすいでしょう。

たとえば「第8三角数」なら、

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8

です。

もちろん全部足せば答えは36になります。

ただし数字が大きくなると、毎回一つずつ足すのは大変です。

そこで便利になるのが三角数の公式です。

三角数の公式と求め方をわかりやすく解説

中学受験では、三角数そのものを知っているだけでなく、大きな数を素早く求める必要があります。

第n三角数は「n×（n＋1）÷2」

三角数の公式は、

第n三角数＝n×（n＋1）÷2

です。

たとえば第10三角数なら、

10×11÷2
＝55

となります。

これは、

1＋2＋3＋……＋10＝55

という意味です。

第20三角数なら、

20×21÷2
＝210

です。

中学受験では「1から○までの整数の和」を求める問題が頻繁に出ます。そのとき、この三角数の考え方が使えます。

1から20までの和も三角数で求められる

たとえば、

「1から20までの整数をすべて足すといくつですか」

という問題を考えます。

普通に計算すると、

1＋2＋3＋4＋……＋20

となり、手間がかかります。

しかし、これはそのまま第20三角数です。

したがって、

20×21÷2＝210

と求められます。

「1から50まで」なら、

50×51÷2＝1275

です。

この考え方は、数列だけでなく、点の個数、階段の数、碁石の個数などさまざまな問題で使われます。

公式を忘れてもペアを作れば導き出せる

算数が苦手な子には、公式だけを覚えさせない方が安心です。

なぜ

n×（n＋1）÷2

になるのかも理解しておきましょう。

たとえば、

1＋2＋3＋4＋5

を考えます。

逆向きに、

5＋4＋3＋2＋1

と並べて足すと、

1＋5＝6
2＋4＝6
3＋3＝6
4＋2＝6
5＋1＝6

となります。

6が5組あるので、

6×5＝30。

ただし元の数列を2回使っているので、

30÷2＝15

です。

つまり、

5×6÷2＝15。

ここから、

n×（n＋1）÷2

という公式が出てきます。

公式を忘れても、この仕組みを理解していれば自分で作り直せます。

中学受験で三角数が出る典型問題3パターン

三角数は、「三角数を求めなさい」とそのまま出るとは限りません。

規則性や図形の問題に隠れていることがあります。

規則的に並べた点や碁石の個数を求める問題

代表的なのが、点や碁石を規則的に並べる問題です。

たとえば、

1段目に1個
2段目に2個
3段目に3個
……
20段目に20個

と並べたとします。

全部で何個あるかを求めるなら、

1＋2＋3＋……＋20

なので第20三角数です。

20×21÷2＝210個

となります。

問題文に「三角数」という言葉がなくても、

「1個、2個、3個……と増えている」

と気づけば三角数を使えます。

階段状・三角形状に並んだ図形の個数問題

マッチ棒、正方形、タイルなどを階段状に並べる問題でも三角数が使われます。

たとえば、

1段目に正方形1個
2段目に2個
3段目に3個
4段目に4個

なら、合計は、

1＋2＋3＋4＝10個

です。

図形問題になると、子どもは急に難しく感じることがあります。

しかし数字だけにすると、単純な三角数です。

「図を見たら、各段に何個あるかを書き出す」

という習慣をつけると見抜きやすくなります。

三角数の差から「何段目か」を求める問題

少し難しくなると、逆向きの問題も出ます。

たとえば、

「三角形状に碁石を並べたところ、全部で55個になりました。何段ありますか」

という問題です。

第n三角数が55になるnを探します。

n×（n＋1）÷2＝55

なので、

n×（n＋1）＝110。

10×11＝110ですから、

n＝10。

つまり10段です。

小学生の場合、方程式を使わず、

9×10÷2＝45
10×11÷2＝55

と試して見つけても構いません。

中学受験算数では、無理に中学数学の式へ持ち込むより、整数の性質や規則から考える方が自然です。

三角数が苦手な子への教え方と勉強法

三角数につまずく子の多くは、計算ができないのではなく、「何を足している数なのか」が見えていません。

家庭では公式暗記より理解を優先しましょう。

最初から公式を暗記させない

いきなり、

「三角数はn×（n＋1）÷2！」

と覚えさせても、少し問題の形が変わると使えなくなることがあります。

まず、

第1三角数＝1
第2三角数＝1＋2
第3三角数＝1＋2＋3

と実際に作らせます。

その後に、

「第10三角数を全部足すのは大変だね」

となった段階で公式を教える方が、公式の意味を理解しやすくなります。

小さい数を書き出して規則を見つける

規則性が苦手な子には、最初の3〜5個を書かせてください。

たとえば、

1、3、6、10、15

と書き、

「どれくらいずつ増えている？」

と聞きます。

すると、

＋2、＋3、＋4、＋5

という増え方に気づけます。

ここから、

「次は＋6だから21」

と予想できます。

中学受験の規則性では、最初から公式を探すより、「小さい場合を書いてみる」ことが非常に重要です。

三角数・等差数列・規則性をつなげて復習する

三角数だけを単独で覚えるのではなく、規則性の一部として学ぶと応用しやすくなります。

たとえば、

1、2、3、4、5……

のように一定の差で増える数列を足したものが三角数です。

さらに、

2＋4＋6＋8＋10

のような数列の和を求める問題にも、「最初と最後をペアにする」という同じ発想が使えます。

つまり三角数を学ぶ目的は、公式を一つ覚えることではありません。

「規則的に並んだ数を、工夫してまとめて数える」という考え方を身につけることです。

家庭学習では、

三角数
→整数の和
→規則性
→図形の個数

という順に関連問題を解くと、知識がつながりやすくなります。

まとめ｜三角数は「1から順番に足す数」と理解しよう

中学受験算数の三角数は、

1、3、6、10、15、21……

と続く数です。

その正体は、

1
1＋2
1＋2＋3
1＋2＋3＋4

というように、1から順番に整数を足したものです。

第n三角数を求める公式は、

n×（n＋1）÷2

ですが、最初から公式だけを暗記する必要はありません。

まず、

「1からその数まで全部足したもの」

と理解することが大切です。

そして中学受験では、三角数という名前が問題文に書かれていなくても、

点の個数
碁石の個数
階段状の図形
規則的な数列

などの形で出題されます。

問題を見たときに、

「1個、2個、3個……と増えていないかな？」

と考えられるようになれば、三角数を使う場面に気づきやすくなります。

算数が苦手なお子さんには、「この公式を覚えて」と言う前に、1段、2段、3段と実際に小さい場合を書き出させてみてください。

自分で

1＋2＋3＋4＝10

と確かめてから公式へ進む方が、意味のある知識として残ります。

三角数は難しい特殊知識ではありません。

「順番に増えるものをまとめて数えるための便利な考え方」と理解できれば、規則性や数列の問題でも大きな武器になります。