中学受験算数の塗り分け問題｜場合の数の考え方

中学受験算数の塗り分け問題とは

塗り分けの問題になると、私もうちの子も何通りあるのか途中で分からなくなってしまいます。

中学受験算数の「塗り分け」は、場合の数の中でよく扱われる問題です。

たとえば、

「隣り合う部分が同じ色にならないように、赤・青・黄の3色で塗ると何通りありますか」

といった形で出題されます。

一見すると図形問題のように見えますが、求められているのは面積や角度ではありません。

「どんな選び方が何通りあるか」を整理する力です。

塗り分けは「場合の数」の代表問題

塗り分け問題は、場合の数の考え方を身につけるのに適した問題です。

たとえば横に並んだ3つのマスを、赤・青・黄の3色で、隣り合うマスが同じ色にならないように塗るとします。

1つ目のマスには3色のどれでも使えます。

1つ目を赤にしたとすると、2つ目には赤を使えないので、

青または黄

の2通りです。

さらに3つ目も、2つ目と同じ色を避ければよいので2通りあります。

したがって、

3×2×2＝12通り

です。

このように、前に選んだ色によって次に使える色の数が変わることが、塗り分け問題の特徴です。

最初に条件を正確に読む

塗り分け問題で最も多い失敗は、計算ではなく条件の読み落としです。

特に確認したいのが、

「隣り合う部分は異なる色にする」

という条件です。

たとえば4つの部分があっても、すべての部分を違う色にする必要があるとは限りません。

隣り合っていなければ、同じ色を使ってもよい場合があります。

つまり、

AとBは隣り合う
BとCは隣り合う
AとCは隣り合わない

なら、AとCを同じ色にしても構いません。

家庭で教えるときは、いきなり式を作るより、

「どことどこが同じ色ではダメなの？」

と図を指しながら確認するほうが効果的です。

「色を使い切る」と「使ってもよい」は違う

問題文には、

「3色を使って塗る」

という表現が出てくることがあります。

ここで注意したいのは、

3色すべてを必ず使うのか
3色の中から自由に使ってよいのか

という違いです。

たとえば「赤・青・黄の3色をすべて使って塗る」なら、3色全部を1回以上使う必要があります。

一方、

「赤・青・黄の3色を使ってよい」

という意味なら、赤と青の2色だけを使う塗り方も含まれる場合があります。

この違いを読み落とすと、考え方が正しくても答えが合いません。

塗り分け問題では、計算前に条件へ線を引く習慣をつけるとミスが減ります。

塗り分け問題の基本的な解き方

塗り分けでは、頭の中だけで全部のパターンを数えると漏れや重複が起こります。

基本は、

1つ決める
↓
次に使える色を数える
↓
順番に進める

という流れです。

1か所目から順番に色を決める

たとえば横一列に4つのマスがあり、3色で塗るとします。

隣り合うマスは違う色にします。

1つ目は、

3通り。

2つ目は、1つ目と違えばよいので、

2通り。

3つ目も、2つ目と違えばよいので、

2通り。

4つ目も、

2通りです。

したがって、

3×2×2×2＝24通り

となります。

このように、場所を順番に決めていくと考えやすくなります。

算数が苦手な子ほど、最初から全部の完成図を考えようとします。

そうではなく、

「まず左端だけ決めよう」

と範囲を小さくすると整理しやすくなります。

隣り合う部分は使える色が減る

塗り分け問題では、

「今何色あるか」

だけを見るのではなく、

「その場所で何色使えるか」

を見ることが重要です。

たとえば4色あっても、隣に2つの部分があり、その2つが別々の色で塗られている場合は、

4－2＝2色

しか使えないことがあります。

反対に、隣り合っている部分が1つだけなら、

4－1＝3色

使えます。

つまり場所によって「選べる色の数」が変わります。

ここに気づけるかどうかが、塗り分け問題の得点差につながります。

樹形図で漏れや重複を防ぐ

問題が複雑になったら、樹形図が有効です。

たとえば最初のマスを赤と固定した場合、

2つ目が青
→3つ目が赤
→3つ目が黄

2つ目が黄
→3つ目が赤
→3つ目が青

というように枝分かれさせます。

樹形図のメリットは、

数え漏れを防げる
同じ場合を二重に数えにくい
途中で条件違反に気づける

ことです。

中学受験では、「頭の中では分かっている」状態より、樹形図や表で整理できる状態のほうが安定して得点できます。

中学受験で出る塗り分けの応用問題

基本問題では一直線に並んだマスを塗ることが多いですが、入試では輪・多角形・立体などへ発展します。

ここでは特につまずきやすい3つのポイントを確認しましょう。

輪になった図形は最初と最後にも注意する

たとえば三角形の3つの頂点を3色で塗り、隣り合う頂点を違う色にするとします。

一直線なら、

1つ目3通り
2つ目2通り
3つ目2通り

としたくなります。

しかし三角形では、3つ目は1つ目とも隣り合っています。

つまり3つ目は、

1つ目の色
2つ目の色

の両方を避けなければなりません。

したがって残るのは1色だけです。

3×2×1＝6通り

となります。

輪になっている図では、

「最後の場所が最初の場所とも隣り合う」

という条件を忘れないようにしましょう。

同じ塗り方とみなす条件を確認する

応用問題では、

「回転して同じになるものは同じ塗り方とする」

という条件が加わることがあります。

ここが通常の塗り分けとの大きな違いです。

たとえば正方形を4色で塗ったとき、

上が赤、右が青、下が黄、左が緑

という塗り方と、

上が青、右が黄、下が緑、左が赤

という塗り方は、90度回転すると重なります。

問題によっては、この2つを同じ1通りと数えます。

一方で、「場所を区別して塗る」と書いてあれば別々です。

必ず、

回転は同じか
裏返しも同じか
場所は区別するか

を確認してください。

対称な図形は固定して考えると整理しやすい

対称性のある図形では、1か所の色を固定すると考えやすくなる場合があります。

たとえば円周上に同じ形の部分が並んでいて、3色で塗る問題なら、

「まず一番上を赤にする」

と決めます。

赤の場合を数えたあと、

青の場合
黄の場合

も同じ数だけあるなら、最後に3倍します。

これによって、最初から3色すべての場合を追いかける必要がなくなります。

難しい塗り分け問題では、

「全部を同時に考えない」

ことが大切です。

まず1色固定する。

1つの場合だけ数える。

最後に同じパターンの数を掛ける。

この考え方は場合の数全般で役立ちます。

塗り分けが苦手な子への家庭での教え方

塗り分け問題が苦手な子は、図を見ただけで混乱することがあります。

その場合は、紙の上の問題として考えさせる前に、実際に色を使わせるのがおすすめです。

実際に3色の鉛筆で塗らせる

赤・青・黄の色鉛筆を用意して、3つのマスを実際に塗らせてみてください。

たとえば最初を赤にしたら、

「次は何色が使える？」

と聞きます。

青か黄です。

青を選んだら、

「その次は？」

と続けます。

実際に塗ることで、

同じ色が続くと条件違反になる
色を選ぶたびに次の選択肢が変わる

という感覚が目で分かります。

最初から式だけを教えるより、理解しやすい子が多いです。

いきなり掛け算の式にしない

塗り分けでは、

3×2×2

のような式を覚えてしまう子がいます。

しかし図形の形が変われば、いつも2通りとは限りません。

そこで家庭では、

「どうしてここは2通りなの？」

と確認してください。

「前の色と同じ色を使えないから」

と説明できれば理解しています。

説明できず、

「前の問題も2だったから」

となるなら、式を暗記している可能性があります。

場合の数では「なぜその数を掛けるのか」を理解することが重要です。

「次は何色使える？」と問いかける

保護者がすぐ答えを教えるより、

「ここが赤なら、次は何色？」

「青にしたら、その次は？」

「この場所は2つの部分と隣り合っているけど何色使える？」

と1段階ずつ聞くのがおすすめです。

子ども自身に選択肢を数えさせることで、

条件を確認する
↓
使えない色を消す
↓
残った色を数える

という思考の流れが身につきます。

塗り分けは、計算力だけで解く問題ではありません。

条件を一つずつ整理する練習だと考えると、家庭でも教えやすくなります。

まとめ｜塗り分けは条件を1つずつ整理すれば解ける

中学受験算数の塗り分け問題は、場合の数の代表的な問題です。

ポイントは、完成した図をいきなり全部考えようとしないこと。

まず、

1つ目の色を決める
↓
次に使える色を数える
↓
隣り合う部分の条件を確認する
↓
必要なら樹形図で整理する

という順番で考えます。

たとえば一直線に並んだ4つのマスを3色で塗り、隣り合う色を変えるなら、

3×2×2×2＝24通り

です。

一方、三角形のように輪になっている場合は、最後の場所が最初の場所とも隣り合うため、条件が変わります。

さらに難関校では、

回転すると同じものをどう数えるか
対称な図形をどう整理するか
複数の部分と隣り合う場所で何色使えるか

まで問われることがあります。

家庭で練習するときは、最初から難しい問題を解かせる必要はありません。

3色の色鉛筆と3つのマスから始め、

「今、何色使える？」

と問いかけてみてください。

大切なのは、

「3×2×2だから」

と式を暗記することではなく、

「前の色が使えないから2色残る」

と説明できることです。

この考え方が身につけば、塗り分けだけでなく、並べ方・カード・道順・樹形図など、場合の数全体への理解も深まります。

中学受験算数の塗り分け問題は、複雑に見えても、条件を一つずつ確認すれば整理できます。

焦って一気に数えず、「1か所ずつ決める」ことから始めるのが得点への近道です。