中学受験算数のコンビネーション｜組み合わせを解説

中学受験算数のコンビネーションとは？

この記事では、中学受験算数のコンビネーションについて、意味、順列との違い、基本的な解き方、応用問題への対応、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数で「コンビネーション」と呼ばれるものは、場合の数で扱う組み合わせのことです。

英語のCombinationの頭文字から、

C

という記号で表す場合もあります。

中学受験向けの算数教材でも、Permutationを順列、Combinationを組み合わせとして説明し、PやCを使った計算を紹介する例があります。

ただし、小学生が最初から記号だけ覚える必要はありません。

コンビネーションは「組み合わせ」のこと

たとえば、

A・B・C・Dの4人から、掃除当番を2人選ぶ

とします。

考えられるのは、

AB
AC
AD
BC
BD
CD

の6通りです。

ここでは、

ABとBA

は同じ2人なので、別々に数えません。

このように、

いくつかのものから、順番を考えずに選ぶ

のが組み合わせです。

順列との違いは「順番を区別するか」

一方、

A・B・C・Dの4人から、委員長と副委員長を選ぶ

なら意味が変わります。

Aが委員長、Bが副委員長

と、

Bが委員長、Aが副委員長

は別です。

これは順番や役割を区別するので「順列」として考えます。

中学受験の解説でも、

順番が違えば別になる→順列
順番を問わない→組み合わせ

という区別が基本とされています。

家庭では、

「選んだあと、順番を入れ替えたら別の答えになる？」

と聞いてみましょう。

小学生はCの公式より意味を理解することが先

塾によっては、

5C2

のような記号を使うことがあります。

中学受験向け教材でもCの記号を扱う例はありますが、大切なのは記号そのものではありません。

特に算数が苦手な子は、

公式だけ覚える
↓
順列か組み合わせか分からない
↓
間違った式を使う

となりやすいです。

最初は、

全部書き出す
樹形図を作る
同じものを消す

ことで、組み合わせの意味を理解しましょう。

コンビネーションの基本問題を例題で解説

具体的な問題で考えてみましょう。

4人から2人を選ぶ組み合わせ

A・B・C・Dの4人から2人を選びます。

Aと組む人は、

B、C、D

の3通り。

次にBと組む人は、

C、D

の2通り。

Cと組む人は、

D

の1通り。

したがって、

3＋2＋1＝6通り

です。

ここで、

ABを数えたあとにBAを数えない

ことがポイントです。

5人から3人を選ぶ組み合わせ

A・B・C・D・Eの5人から3人を選びます。

最初は書き出してみましょう。

ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE

の10通りです。

組み合わせでは、

ABC
ACB
BAC

などは、すべて同じ3人なので1通りとして数えます。

組み合わせを順列から考える方法

5人から3人を選んで「順番に並べる」なら、

5×4×3＝60通り

です。

しかし、同じ3人を選んでも、

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

の6通りがあります。

組み合わせでは、この6通りをすべて同じものと考えます。

したがって、

60÷6＝10通り

です。

つまり、

一度順番ありで数える
↓
同じ組み合わせを何回ずつ数えたかで割る

という考え方です。

中学受験の組み合わせ計算でも、この「順列で数えたあと重複分で割る」という考え方が基本として説明されています。

樹形図や書き出しでも確認する

計算で10通りと出ても、

本当に10通り？

と不安なら書き出せば構いません。

場合の数では、数が少ない段階では樹形図や表ですべて書き出すことが、数え漏れや重複を防ぐ基本です。

小4・小5では特に、

書き出す
↓
規則を見つける
↓
計算へ進む

という順番をおすすめします。

中学受験で差がつく組み合わせの応用問題

入試では「○人から△人選ぶ」だけでは終わりません。

条件が加わります。

「少なくとも」があれば反対側から考える

5人の中にAさんがいるとして、

「3人選ぶとき、少なくともAさんを含む選び方」

を考えます。

この場合、

Aを含む場合を直接数える

方法もありますが、

全体－Aを含まない場合

と考えることもできます。

「少なくとも1つ」という表現では、

反対の条件を数えて引く

と簡単になることがあります。

三角形を作る問題では条件を確認する

中学受験では、

いくつかの点から3点を選んで三角形を作る

という問題もあります。

基本的には3点の組み合わせですが、

3点が一直線上にある

場合は三角形になりません。

そのため、

3点を選ぶ全組み合わせ
－一直線になる3点の組み合わせ

と考える問題があります。中学受験教材でも、組み合わせの代表的な応用として扱われています。

「選べば全部答え」とは限らず、条件を最後に確認しましょう。

特定の人を含む・含まない場合に分ける

6人から3人を選ぶとき、

「AとBの少なくとも一方を含む」

などの条件が付くことがあります。

このときは、

Aを含む
Aを含まないがBを含む

などに場合分けできます。

難しい場合の数では、

全部を一つの式で解こうとしない

ことが重要です。

条件ごとに小さく分けると、数え漏れを防げます。

同じものを二重に数えない

組み合わせで最も多いミスは重複です。

たとえば、

赤・青
青・赤

を別に数えてしまうケースです。

答えが多すぎたときは、

同じ組み合わせを順番違いで数えていないか

を確認しましょう。

場合の数は、

漏れなく
重ならず

が基本です。

コンビネーションが苦手な子への家庭学習法

コンビネーションが苦手な子には、公式演習を増やす前に「選ぶ」という意味を理解させましょう。

最初は少ない数で全部書き出す

まず、

3人から2人
4人から2人

くらいで十分です。

3人A・B・Cから2人なら、

AB
AC
BC

の3通り。

全部書ければ、

なぜBAを数えないのか

も確認できます。

いきなり10人から4人を選ぶ問題を解かせる必要はありません。

「順番を入れ替えたら別？」と聞く

順列と組み合わせの判断に迷ったら、毎回、

「順番を入れ替えたら別の結果になる？」

と聞きます。

委員長・副委員長
→別になる

代表2人
→同じ

3桁の整数を作る
→順番で数字が変わる

3人のチームを作る
→順番は関係ない

この問いだけでも見分けやすくなります。

樹形図から計算へ段階的に進む

最初から、

nC r

のような形だけを暗記しないようにしましょう。

おすすめは、

①書き出す
②樹形図で整理
③同じ組が何回出るか確認
④計算で求める

という順番です。

式の意味が分かってから記号を使えば、忘れても自分で考え直せます。

翌日に類題を1～2問解き直す

当日に理解したら、翌日は、

4人から2人
↓
5人から2人

のように数字を変えます。

さらに、

5人から委員長・副委員長
5人から代表2人

を並べて解くのもおすすめです。

同じ5人でも、

順列
組み合わせ

で答えが変わることを比較できます。

まとめ｜コンビネーションは「選ぶ・順番なし」が基本

中学受験算数でいうコンビネーションは、基本的に場合の数の「組み合わせ」です。

ポイントは、

いくつかのものから選び、選んだ順番を区別しない

ことです。

一方、

並ぶ順番が変わる
役割が違う
数字の並びが変わる

場合は順列として考えます。

迷ったら、

「順番を入れ替えたら別の答えになる？」

と確認してください。

別なら順列。

同じなら組み合わせ。

これが最も分かりやすい見分け方です。

また、中学受験ではCの記号や計算方法を使うこともありますが、それだけを暗記する必要はありません。

最初は、

少ない数で全部書き出す
↓
樹形図や表で整理する
↓
重複を見つける
↓
計算で求める

という順番がおすすめです。

応用問題では、

少なくとも
特定の人を含む
三角形ができる
同じものを除く

などの条件が加わります。

その場合も、

何を選ぶのか
順番は関係するのか
同じものを二重に数えていないか

の3点へ戻りましょう。

コンビネーションは難しい記号の単元ではありません。

本質は、

「どんなグループが何種類できるか」

を漏れなく重ならず数えることです。

家庭では公式を尋ねるより、

「ABとBAは同じ？」
「この場合は順番が大事？」
「全部書くと何通り？」

と問いかけてみてください。

意味を理解したうえで計算へ進めば、組み合わせだけでなく、場合の数全体の応用問題にも対応しやすくなります。