中学受験算数の池の周り｜出会いと追いつきを解説

中学受験算数の「池の周り」問題とは？

この記事では、中学受験算数の「池の周り」問題について、基本の考え方、出会い・追いつきの解き方、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

「池の周りをA君とB君が歩きます」

という問題は、中学受験算数でよく出る旅人算の一種です。

普通の旅人算との違いは、

道が一直線ではなく、ぐるっと一周して元の場所へ戻る

ことです。

そのため、

出会う
追いつく
何周差がつく
何回目に出会う

といった問題へ発展します。

池の周りは旅人算の円形版

たとえば、A君とB君が同じ場所から池の周りを進むとします。

反対方向なら、2人は互いに近づいていきます。

同じ方向なら、速い人が遅い人を追いかけます。

つまり考え方は、普通の旅人算と同じです。

大切なのは、

「円だから特別な公式」

と考えないことです。

何mずつ距離が縮まるか、または広がるかを見ます。

反対方向なら速さの和で考える

A君が分速80m、B君が分速70mで、同じ場所から反対方向へ進むとします。

1分後には、

A君が80m
B君が70m

進んでいます。

2人合わせると、

80＋70＝150m

進みます。

反対方向に進む場合、2人が進んだ距離の合計が池1周分になったときに出会います。

したがって、

出会うまでの時間
＝池1周の長さ÷速さの和

です。

同じ方向なら速さの差で考える

次に、同じ場所から同じ方向へ進むとします。

A君が分速100m、B君が分速70mなら、

1分でA君はB君より、

100－70＝30m

多く進みます。

A君がB君に追いつくには、

B君に対して池1周分だけ多く進む

必要があります。

したがって、

追いつくまでの時間
＝池1周の長さ÷速さの差

です。

池1周の長さが「追いつく距離」になる

ここが、池の周り問題の最大のポイントです。

直線の追いつき問題なら、

最初の2人の間の距離

を速さの差で縮めます。

しかし同じ場所から池を同方向へ進む場合、スタート時の距離は0です。

それでも、速い人が1周して遅い人へ追いつくまでには、

1周分の差

が必要です。

つまり、

「1周分先に進む＝追いつく」

と考えます。

池の周りの基本問題を例題で解説

典型問題を順番に見ていきましょう。

反対方向に進んで初めて出会う問題

池1周が900mあります。

A君は分速80m、B君は分速70mで、同じ場所から反対方向へ出発しました。

2人の速さの和は、

80＋70＝150m/分。

2人が合わせて900m進めば出会います。

したがって、

900÷150＝6分。

答えは6分後です。

この問題では、

「2人合わせて1周分」

と考えるのがポイントです。

同じ方向に進んで追いつく問題

池1周が900m。

A君は分速100m、B君は分速70mで、同じ場所から同じ方向へ進みます。

速さの差は、

100－70＝30m/分。

A君がB君より900m多く進めば追いつきます。

したがって、

900÷30＝30分。

答えは30分後です。

このときA君は、

100×30＝3000m

B君は、

70×30＝2100m

進んでいます。

差は、

3000－2100＝900m

で、ちょうど1周分です。

1周の長さを求める問題

次は逆です。

A君が分速90m、B君が分速60mで、同じ場所から反対方向へ進み、8分後に初めて出会いました。

1分で2人が進む合計は、

90＋60＝150m。

8分で、

150×8＝1200m。

これが池1周の長さです。

答えは1200m。

「出会う＝2人の進んだ距離の合計が1周」

を使います。

何分ごとに出会うかを求める問題

池1周が600m。

A君が分速80m、B君が分速70mで反対方向へ進み続けるとします。

最初の出会いは、

600÷150＝4分後。

その後も2人は進み続けます。

次に出会うまでにも、2人が合わせてもう1周分進めばよいので、

さらに4分。

つまり、

4分ごと

に出会います。

この「周期」を使うと、何回目の出会い問題にもつながります。

中学受験で差がつく池の周りの応用問題

基本問題が安定したら、条件が増えた問題へ進みます。

何回目に出会うかを数える

先ほどの例で、4分ごとに出会うなら、

1回目＝4分
2回目＝8分
3回目＝12分

です。

20分間で何回出会うかなら、

20÷4＝5回

となります。

ただし、

スタート地点で一緒にいる状態を「出会い」に数えるか

は問題文によって異なります。

通常は出発時を1回と数えず、出発後の出会いだけ数えます。

途中から向きを変える問題

応用では、

10分後にB君が向きを変える

といった設定もあります。

この場合は、

向きを変える前
向きを変えた後

に分けて考えます。

たとえば前半は同方向なら速さの差。

後半は反対方向なら速さの和。

一つの式で全部解こうとせず、条件が変わる地点で区切りましょう。

出発時刻が違う問題

A君が先に出発し、5分後にB君が出発する問題もあります。

まずA君が5分間で進んだ距離を求めます。

A君が分速80mなら、

80×5＝400m。

この400mが、B君が出発した時点での差です。

そこから、

同方向なら速さの差
反対方向なら速さの和

を使います。

時刻がずれる問題では、

全員が動き始めた瞬間

を新しいスタートとして考えると整理しやすくなります。

速さの比から1周の長さを考える

たとえばAとBの速さの比が、

3：2

とします。

同方向へ進み、AがBに追いついたとき、

AとBの進んだ距離も3：2です。

その差である、

3－2＝1

が池1周分に対応します。

もしAが900m進んだと分かっているなら、

3にあたるのが900m。

1にあたるのは、

900÷3＝300m

です。

したがって池1周は300mと分かります。

速さの比と距離の比を結びつける問題は、中学受験でよく使われる考え方です。

池の周り問題が苦手な子への家庭学習法

池の周り問題が苦手な子は、円の形に惑わされていることが少なくありません。

円を直線に開いて考える

円をハサミで1か所切って、まっすぐ伸ばしたと想像します。

池1周800mなら、

0m――――――800m

という直線です。

同じ方向へ進んで追いつくとは、

速い人が遅い人より800m多く進む

ことです。

反対方向なら、

2人が合わせて800m進む

ことです。

円を直線に開くだけで、普通の旅人算と同じに見えてきます。

「距離が毎分どれだけ変わる？」と聞く

家庭では、

「反対方向だから足す」

と暗記させるより、

「1分で2人の間は何m変わる？」

と聞いてください。

反対方向なら、

80m＋70m＝150mずつ近づく。

同方向なら、

100m－70m＝30mずつ差がつく。

理由が分かれば、条件が少し変わっても対応できます。

出会いと追いつきをセットで練習する

おすすめは、同じ数字で2問解く方法です。

池1周900m
A＝80m/分
B＝70m/分

として、

反対方向なら？
同じ方向なら？

を並べます。

反対方向は、

900÷150＝6分。

同じ方向なら速さの差は10mなので、

900÷10＝90分。

同じ池・同じ2人でも、向きによって答えが大きく変わることが分かります。

翌日に数字を変えた類題を解く

当日に理解したら、翌日に数字を変えます。

池1周900m
↓
池1周1200m

分速80mと70m
↓
分速90mと60m

として1問だけ解きます。

数字が変わっても、

反対方向→和
同じ方向→差
追いつき→1周分

を自力で使えれば理解できています。

まとめ｜池の周りは「和・差・1周」で整理しよう

中学受験算数の「池の周り」問題は、旅人算の円形版です。

反対方向へ進むなら、

速さの和。

同じ方向なら、

速さの差。

そして、

出会うときは2人の進んだ距離が合わせて1周分。

追いつくときは速い人が遅い人より1周分多く進む。

この3点が基本です。

たとえば池1周900mで、

A＝分速100m
B＝分速70m

なら、同方向では、

100－70＝30m/分

ずつ差が広がります。

900m、つまり1周分の差がつけば追いつくので、

900÷30＝30分

です。

反対方向なら、

2人合わせて1周分を進めば出会う

と考えます。

応用問題では、

何回目に出会う
途中で向きを変える
出発時刻が違う
速さの比を使う

といった条件が加わります。

その場合も、

条件が変わるところで分ける
1分で距離がどう変わるかを見る
1周分を基準にする

という基本へ戻りましょう。

家庭では、

「足す？引く？」

と聞くより、

「2人の距離は毎分何m変わる？」

と聞いてみてください。

この問いに答えられるようになれば、池の周りだけでなく、旅人算全体の理解も深まります。

円だから難しいのではありません。

池1周を1本の直線として考え、和・差・1周の3つで整理する。

これが、中学受験算数の「池の周り」問題を安定して解くための基本です。