中学受験算数「場合の数・道順」の解き方とコツ

中学受験算数「場合の数・道順」の基本

この記事では、中学受験算数の「場合の数・道順」について、基本的な数え方から指定地点・通行禁止を含む応用問題まで、家庭でも説明できる方法で解説します。

場合の数の中でも、道順問題は中学受験でよく扱われるテーマです。

問題そのものは「A地点からB地点まで何通りで行けるか」というシンプルな形ですが、道が増えると一つずつ書き出すのは大変になります。

そこで重要になるのが、「前の地点までの行き方を利用して次を数える」という考え方です。

道順問題は重複も漏れもなく数えることが大切

場合の数では、思いついたものを適当に数えるのではなく、

漏れなく
重複なく

数えることが基本です。

例えば、右へ2回、上へ1回進んで目的地へ行く場合を考えます。

進み方は、

右→右→上
右→上→右
上→右→右

の3通りです。

順番が違えば別の道順として数えます。

簡単な問題なら書き出せますが、右へ4回、上へ3回などになると急に数が増えます。

そこで、より整理された方法が必要になります。

まず小さい図なら実際に書き出してみる

初めから効率的な方法だけを暗記させるのはおすすめできません。

まず小さな問題で実際に道順を書き出してみましょう。

例えば、

右へ1回、上へ1回

なら、

右→上
上→右

の2通りです。

右へ2回、上へ1回なら3通り。

この経験を通して、「同じ場所へ行くにも何通りかの進み方がある」と理解してから、交差点に数字を書く方法へ進むと納得しやすくなります。

交差点に数字を書けば道順を効率よく数えられる

格子状の道順問題では、それぞれの交差点まで何通りで来られるかを書き込みます。

左下のスタートを1とします。

右端や上端など、一本道でしか行けない交差点はすべて1です。

途中の交差点には、

左から来る道順の数＋下から来る道順の数

を書きます。

例えば、

左から3通り
下から2通り

で到着できる交差点なら、

3＋2＝5通り

です。

これをゴールまで続ければ、すべての道を一本ずつ数えなくても答えを求められます。

この方法の本質は、「その地点へ来る直前はどこにいたか」を考えることです。

場合の数の道順問題を例題で解いてみよう

基本を理解したら、条件の異なる問題を順番に練習しましょう。

道順問題は条件が1つ追加されるだけで考え方が変わります。

例題1｜基本の最短経路を数える

問題

A地点からB地点まで、右へ3回、上へ2回だけ進んで最短距離で行きます。何通りの道順がありますか。

交差点に数字を書いて求めると、最終的に10通りになります。

別の見方をすると、全部で進む回数は、

3＋2＝5回

です。

この5回のうち、上へ進む2回をどこに入れるかを考えます。

例えば、

上・上・右・右・右
上・右・上・右・右

などです。

答えは10通りです。

小学生には、まず交差点に数字を書く方法で理解させるとよいでしょう。

例題2｜指定された地点を通る道順

問題

AからBへ行く途中で、必ずP地点を通るものとします。

この場合は、

AからPまでの道順
PからBまでの道順

を別々に求めます。

仮に、

A→Pが3通り
P→Bが4通り

なら、

3×4＝12通り

です。

なぜ足し算ではなく掛け算なのでしょうか。

AからPへ行く3通りのそれぞれについて、Pから先に4通りの選択肢があるからです。

「前半の選び方×後半の選び方」と考えましょう。

例題3｜通れない道がある場合

道の一部が工事中で通れない問題も頻出です。

この場合、通常どおり数字を書いてはいけません。

通行禁止になっている道からは数字を伝えないようにします。

例えば、ある交差点に本来なら、

左から4通り
下から3通り

で来られるとしても、下から来る道が通行禁止なら、

4＋3

ではなく、

4通り

だけです。

図へ大きく×印をつけ、通れない場所を明確にしてから数字を書きましょう。

例題4｜必ず通る道が指定されている場合

指定された「地点」ではなく、ある1本の道を必ず通る問題もあります。

例えばPからQへ続く道を必ず通るなら、

スタート→P
P→Q
Q→ゴール

に分けます。

P→Qは指定された1本の道なので1通りです。

スタートからPまでが6通り、Qからゴールまでが5通りなら、

6×1×5＝30通り

となります。

指定地点を通る問題と似ていますが、「どこからどこまでが固定なのか」を図で確認することが重要です。

中学受験で差がつく道順の応用問題

入試では、単純に道順を数えるだけでなく、「ある地点を通らない」「最短ではない」といった条件が加わります。

条件を読み落とさないことが得点のポイントです。

途中の地点を「通る」と「通らない」を分ける

「P地点を通らない道順」を求める場合には、

全体－Pを通る道順

と考える方法があります。

例えばAからBまでが全部で35通りあり、Pを通る道順が12通りなら、

35－12＝23通り

です。

通らない道だけを直接数えるより簡単な場合があります。

場合の数では、「求めにくければ反対側を数えて全体から引く」という考え方も重要です。

遠回りを含む問題は最短経路と区別する

道順問題では「最短距離で行く」と書かれていることが多いですが、すべての問題が最短経路とは限りません。

例えば、

「右と上にだけ進む」

なら戻ることはありません。

一方、

「1回だけ左へ進んでもよい」

となれば、遠回りが発生します。

このような問題では、通常の交差点への数字の書き込みだけでは対応しにくい場合があります。

まず「何回移動するのか」「どの方向へ何回進むのか」を整理しましょう。

同じ道順を二重に数えない

場合分けを使う問題で注意したいのが重複です。

例えば、

Pを通る場合
Qを通る場合

と分けたとき、PとQの両方を通る道順があれば、2回数えてしまう可能性があります。

条件が重なっていないかを必ず確認しましょう。

家庭学習では、

「この道順はどのグループに入る？」

と具体的な1本を指して確認すると、重複の意味を理解しやすくなります。

組合せを使う方法も理解しておく

学習が進んだ子は、道順問題を組合せとして考えることもできます。

例えば右へ4回、上へ3回進むなら、全部で7回移動します。

7か所の中から「上」を入れる3か所を選べばよいので、答えは35通りです。

ただし、中学受験では組合せの記号を使わなくても解けます。

例えば、上へ進む3回の位置を重複なく選ぶという考え方です。

まず交差点への数字の書き込みを確実にしたうえで、別解として理解するとよいでしょう。

場合の数・道順が苦手な子への家庭での教え方

道順問題でつまずく子は、公式を知らないのではなく、「なぜ数字を足すのか」が分かっていないことがあります。

家庭では結果より、数え方の意味を確認しましょう。

いきなり公式を覚えず小さな図から始める

最初は2×1程度の小さな格子を使い、すべての道順を書き出します。

3通りあることを確認したあと、交差点へ数字を書きます。

すると、

「この交差点には左から来る方法と下から来る方法があるから足す」

という意味が見えてきます。

方法を先に暗記するより、実際の道順と数字が一致する経験を作ることが大切です。

数字を書いた理由を子どもに説明させる

子どもが交差点へ「6」と書いたら、

「どうして6なの？」

と聞いてみましょう。

「左の4通りと下の2通りを合わせたから」

と答えられれば理解しています。

ただ数字を機械的に足しているだけなら、通行禁止などの条件付き問題で崩れやすくなります。

説明は長くなくて構いません。

間違えたときは数え方のルールを確認する

答えが違ったときに、最初から全部やり直させる必要はありません。

どの交差点から数字がおかしくなったかを探します。

例えば、

一本道なのに2を書いた
通行禁止の道から数字を足した
途中で足し算を間違えた

など、原因を分けます。

道順問題は途中経過が見えるため、どこで間違えたかを発見しやすい単元です。

基本から条件付き問題へ段階的に進む

おすすめの順番は、

基本の最短経路
指定地点を通る
通れない道がある
指定地点を通らない
複数条件を組み合わせる

です。

最初から難しい入試問題を解かせるより、一つずつ条件を増やします。

同じ図でも通行禁止の場所を変えるだけで、新しい練習問題を作れます。

家庭では1日に大量に解くより、2～3問について「どう数えたか」を説明できることを優先しましょう。

まとめ｜道順問題は「どこから来たか」を整理しよう

中学受験算数の「場合の数・道順」では、すべての道を頭の中だけで数えようとすると、漏れや重複が起こりやすくなります。

基本は、交差点ごとに「そこまで何通りで来られるか」を数字で書く方法です。

途中の交差点では、

左から来る道順＋下から来る道順

を使って次の数字を求めます。

指定地点を必ず通るなら、前半と後半の道順を掛けます。

通れない道があるなら、その方向から来る道順を加えません。

また、「Pを通らない」といった条件では、全体からPを通るものを引く方法も利用できます。

道順問題で最も大切なのは、答えの数字を覚えることではなく、「この地点にはどこから来られるのか」を一つずつ整理することです。

小さな図を実際に書き出すところから始め、交差点への数字の書き込み、指定地点、通行禁止、複合条件へと段階的に進めれば、場合の数が苦手な子でも安定して解けるようになります。