中学受験算数の三角形の面積｜解き方を解説

中学受験算数の三角形の面積で押さえる基本

この記事では、中学受験算数の三角形の面積について、基本公式から面積比・等積変形・補助線の考え方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の三角形の面積は、図形問題の土台になる重要単元です。

基本公式そのものは、

底辺×高さ÷2

ですが、入試では単純に数字を代入する問題より、

面積比
相似
平行線
補助線
等積変形

と組み合わされることが多くなります。

そのため、公式を暗記するだけでは足りません。

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」

たとえば、

底辺8cm
高さ6cm

の三角形なら、

8×6÷2＝24

答えは、

24cm²

です。

ここで大切なのは、

8cmと6cmが「底辺と高さの組み合わせ」になっていることです。

高さは、底辺に対して垂直でなければなりません。

高さは底辺に垂直な長さを見る

算数が苦手な子は、

斜めの辺＝高さ

だと思ってしまうことがあります。

しかし高さは、

底辺に対して90度に交わる長さ

です。

三角形の外側に高さが出る場合もあります。

そのため、問題を見たら、

「どの辺を底辺にする？」
「その底辺に垂直なのはどこ？」

と確認しましょう。

底辺を変えても面積は求められる

三角形では、3つの辺のどれを底辺にしても構いません。

たとえば辺ABを底辺にしたら、その辺に対する高さを使います。

辺BCを底辺にしたら、今度はBCに対する高さを使います。

つまり、

底辺を変える
↓
対応する高さも変える

という関係です。

この感覚があると、複雑な図形でも「求めやすい底辺」を選べるようになります。

三角形の面積を例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る典型問題を確認します。

例題1｜基本の面積を求める

【問題】

底辺12cm、高さ7cmの三角形の面積を求めなさい。

【解き方】

12×7÷2
＝84÷2
＝42

答えは、

42cm²

です。

基本問題ではありますが、この公式が後の面積比の土台になります。

例題2｜同じ高さなら面積比は底辺比

【問題】

2つの三角形AとBがあります。

高さは同じで、底辺がそれぞれ4cmと6cmです。

面積比を求めなさい。

【解き方】

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

です。

高さが同じなら、

面積比＝底辺比

となります。

したがって、

4：6＝2：3

答えは、

2：3

です。

実際に面積を求める必要はありません。

例題3｜同じ底辺なら面積比は高さ比

今度は、底辺が同じ2つの三角形を考えます。

高さが、

3cm
5cm

なら、

面積比＝高さ比

なので、

3：5

です。

この関係は、中学受験で非常によく使います。

同じ高さ→底辺比
同じ底辺→高さ比

と整理して覚えましょう。

例題4｜平行線を使って等しい面積を見つける

同じ底辺を持つ2つの三角形があり、頂点がその底辺と平行な直線上にあるとします。

この場合、2つの三角形の高さは同じです。

底辺も同じ。

高さも同じ。

したがって、面積は等しくなります。

中学受験では、

平行線がある
↓
高さが同じ
↓
面積が等しい

という流れを見抜く問題がよく出ます。

中学受験で差がつく三角形の面積の考え方

基本が分かったら、次は入試で使う応用的な見方を身につけます。

面積比から長さの比を逆算する

同じ高さの2つの三角形で、

面積比が3：5

だとします。

高さが同じなら、

面積比＝底辺比

なので、

底辺比も3：5

です。

逆に、

同じ底辺で面積比が2：7

なら、高さ比も、

2：7

です。

この「面積比から長さ比へ戻す」考え方は、図形の比問題でよく使います。

等積変形で複雑な図形を簡単にする

等積変形とは、

面積を変えずに形を変える

考え方です。

たとえば同じ底辺を持ち、頂点が平行線上を動く三角形は、高さが変わりません。

そのため面積も変わりません。

つまり、

斜めで見にくい三角形

を、

計算しやすい位置へ動かして考える

ことができます。

入試では、複雑な図形をそのまま計算するより、等積変形で見やすくするほうが速いことがあります。

補助線で「同じ高さ」を作る

図形問題で補助線を引く目的の一つが、

同じ高さの三角形を作ること

です。

たとえば四角形の中に対角線を引くと、2つの三角形に分かれます。

その2つが同じ高さを持つなら、

面積比＝底辺比

が使えます。

補助線は「なんとなく引く」のではなく、

同じ高さ・同じ底辺を作れないか

と考えて引くと意味が明確になります。

相似と組み合わせて面積比を求める

中学受験では、相似と三角形の面積比が組み合わされることがあります。

たとえば相似な三角形の対応する辺の比が、

2：3

なら、面積比は、

2×2：3×3
＝4：9

です。

つまり、

辺の比を2乗すると面積比

になります。

逆に面積比が、

9：16

なら、

辺の比は、

3：4

と考えられます。

三角形の面積が苦手な子への家庭での教え方

三角形の面積が苦手な子には、公式を書かせる前に図を見る習慣をつけましょう。

公式より先に底辺と高さへ印をつける

問題を見たら、

底辺に赤線
高さに青線

のように印をつけます。

そして、

「この2本は垂直？」

と確認します。

ここが合っていれば、公式は自然に使えます。

「同じ高さ」「同じ底辺」を探す習慣をつける

比の問題では、

「面積はいくつ？」

と聞く前に、

「同じ高さの三角形はある？」
「同じ底辺はある？」

と聞いてみてください。

例えば同じ高さなら、

底辺2：5
→面積2：5

とすぐに判断できます。

この見方が身につくと、計算量が一気に減ります。

面積比は実際の面積を出さずに考える

面積比問題で、

底辺4cmと6cm
高さ5cm

だから、

10cm²と15cm²

と毎回計算する必要はありません。

同じ高さなら、

4：6＝2：3

で終わります。

中学受験では、

実際の面積を出さなくても比だけで解ける

ことが多くあります。

ここに気づくと、図形問題のスピードが上がります。

翌日と1週間後に図を変えた類題を解く

同じ形の問題だけを続けると、解き方の暗記になりがちです。

おすすめは、

当日：基本面積
翌日：同じ高さ・同じ底辺
1週間後：補助線や相似を含む問題

という順番です。

1週間後に、

「ここは同じ高さだから面積比は底辺比」

と自分から言えれば、考え方が定着しています。

まとめ｜三角形の面積は「底辺と高さの関係」を見る

中学受験算数の三角形の面積では、

底辺×高さ÷2

という公式が出発点です。

しかし入試で本当に重要なのは、

底辺と高さの関係を見ること

です。

同じ高さなら、

面積比＝底辺比

同じ底辺なら、

面積比＝高さ比

です。

さらに、

平行線
補助線
等積変形
相似

と組み合わせることで、複雑な図形も整理できます。

家庭で子どもが止まったら、

「どこを底辺にする？」
「高さはどこ？」
「同じ高さの三角形はない？」
「同じ底辺はない？」

と順番に聞いてみてください。

三角形の面積問題は、毎回すべての長さを求める必要はありません。

むしろ、

高さが同じ
底辺が同じ
相似になっている

といった関係を見つけることが大切です。

そして補助線も、

「同じ高さを作るため」
「同じ底辺を作るため」

と目的を持って引きます。

三角形の面積は、公式を計算する単元ではなく、底辺・高さ・比の関係を見抜く単元です。

この視点が身につけば、面積比・相似・等積変形など、中学受験らしい図形問題にも対応しやすくなります。