中学受験算数の一筆書き｜できる条件と解き方

中学受験算数の一筆書きで押さえる基本

この記事では、中学受験算数の一筆書きについて、できる条件の見分け方から始点・終点の決め方、典型問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

一筆書きとは、図にある線を、

同じ線を2回通らず
途中で鉛筆を離さず
すべて1回ずつ通る

ようになぞる問題です。

見た目だけで、

「これはできそう」

と判断するのは難しいですが、実は確認するポイントは決まっています。

重要なのは、

各点に何本の線が集まっているか

です。

一筆書きは同じ線を2回通らず全部なぞる

一筆書きでは、

同じ点を2回通る

こと自体は問題ありません。

禁止されているのは、

同じ線を2回通る

ことです。

例えば交差点Aを通って別の道へ進み、あとで別方向からAへ戻ることはできます。

子どもが、

「同じ場所を通ったから失敗」

と勘違いすることがあるため、

線は1回、点は複数回でもよい

と最初に確認しましょう。

大切なのは点に集まる線の本数

各点について、

何本の線がつながっているか

を数えます。

例えば、

2本
4本
6本

のように偶数本集まる点では、

入ってきた線
＋
出ていく線

をペアにできます。

一方、

1本
3本
5本

のように奇数本の点では、1本だけペアにならない線が残ります。

ここが一筆書きの判断ポイントです。

奇数本の点が0個か2個なら一筆書きできる

一筆書きでは、線が奇数本集まる点の数を見ると判断できます。

奇数本の点が、

0個
→一筆書きできる

2個
→一筆書きできる

4個以上
→そのままでは一筆書きできない

と考えます。

奇数本の点が0個なら、どこから始めても同じ点へ戻る形で一筆書きできます。

2個なら、その2点が、

始点と終点

になります。

一筆書きの基本問題を例題で攻略

ここからは、典型的な考え方を例で確認します。

例題1｜奇数本の点が0個の場合

正方形を考えます。

4つの頂点には、それぞれ2本ずつ線が集まっています。

つまり、

2本・2本・2本・2本

です。

すべて偶数なので、奇数本の点は0個です。

したがって、この図は一筆書きできます。

例えば左上から始め、

上辺
→右辺
→下辺
→左辺

と進めば、元の場所へ戻ります。

例題2｜奇数本の点が2個の場合

一本道を3本つないだ形を考えます。

端の点には、

1本

ずつ線が集まり、

途中の点には、

2本

ずつ線が集まります。

奇数本の点は、

両端の2個

です。

したがって一筆書きできます。

ただし始点と終点は自由ではありません。

奇数本の2点のうち、一方から始めてもう一方で終わる

必要があります。

例題3｜奇数本の点が4個ある場合

中央の点から上下左右へ4本の線が伸びた十字形を考えます。

中央には4本。

外側の4点には、それぞれ1本ずつ線があります。

奇数本の点は、

4個

です。

この場合、そのままでは一筆書きできません。

見た目が単純でも、一筆書きできるとは限らないことが分かります。

例題4｜始点と終点を決める問題

ある図で、線が集まる本数が、

A＝3本
B＝4本
C＝2本
D＝3本

だったとします。

奇数本の点は、

AとD

の2個です。

したがって一筆書きできます。

始点と終点は、

Aから始めてDで終わる
または
Dから始めてAで終わる

のどちらかです。

BやCから始めることはできません。

中学受験で差がつく一筆書きの考え方

入試では、「一筆書きできるか」だけでなく、

線を何本変えればできるか
どこから始めればよいか

まで聞かれることがあります。

図の形ではなく各点の本数を見る

一筆書きが苦手な子は、図の形を見て、

きれいだからできそう
複雑だから無理そう

と判断しがちです。

しかし重要なのは形ではありません。

見るのは、

各点に何本の線が集まっているか

です。

複雑な図でも、

奇数本の点が0個または2個

なら一筆書きできます。

奇数本の点は必ずペアで現れる

奇数本の点は、

1個だけ
3個だけ

のようには現れません。

必ず偶数個になります。

これはすべての線について、

両端の2点に1本ずつ数える

ためです。

全体の線の本数を2倍したものが、各点に集まる線の本数の合計になります。

そのため、奇数本の点の個数は偶数になります。

この性質を知っていると、数え間違いにも気づきやすくなります。

一筆書きできないときは線を1本足す・消す

例えば奇数本の点が4個あるとします。

そのうち2点を1本の線で結ぶと、

その2点の本数は、

奇数→偶数

に変わります。

すると奇数本の点が、

4個→2個

になり、一筆書きできる場合があります。

逆に、線を1本消して奇数点を2個減らす考え方もあります。

入試では、

「あと最低何本加えればよいか」

という問題に発展することがあります。

道順・場合の数の問題にも考え方がつながる

一筆書きは単なるパズルではありません。

中学受験算数では、

道順
点と線
場合の数

などにもつながります。

特に、

通った道を管理する
条件を整理する
始点と終点を考える

力は、複雑な道順問題でも役立ちます。

一筆書きが苦手な子への家庭での教え方

家庭では最初から条件を暗記させるより、実際になぞって気づかせるほうが理解しやすくなります。

まず鉛筆で実際になぞってみる

最初は簡単な図を使って、

どこから始めれば成功するか

を試します。

失敗しても構いません。

何度か試すうちに、

「ここで道が余る」

という感覚が出てきます。

そのあとで、

なぜ余ったのか

を線の本数で説明します。

各点に線の本数を書き込む

図を見たら、

2
3
4

のように、各点のそばへ本数を書きます。

その後、

奇数に○

をつけます。

○が、

0個または2個
→できる

4個以上
→できない

と判断します。

頭の中だけで数えないことが大切です。

「入ったら出る」を言葉で説明する

偶数本の点では、

1本で入る
↓
別の1本で出る

というペアができます。

例えば4本なら、

入る・出る
入る・出る

の2組です。

一方、3本だと1本余ります。

この、

「入ったら出る」

という説明を使うと、奇数・偶数の意味を理解しやすくなります。

翌日に図を変えた類題を解く

その日に同じ図だけ練習すると、

道順そのもの

を覚えてしまいます。

おすすめは、

当日＝奇数点0個
翌日＝奇数点2個
1週間後＝奇数点4個から線を1本加える

という流れです。

図が変わっても、

「まず奇数本の点を数える」

と言えれば、考え方が定着しています。

まとめ｜一筆書きは奇数本の点を数えれば判断できる

中学受験算数の一筆書きでは、勘で道を探し続ける必要はありません。

まず各点に、

何本の線が集まっているか

を数えます。

そして、

奇数本の点が0個
→一筆書きできる

奇数本の点が2個
→一筆書きできる

奇数本の点が4個以上
→そのままでは一筆書きできない

と判断します。

奇数本の点が0個なら、始点と終点を同じにできます。

2個なら、

その2点が始点と終点

です。

家庭で子どもが迷ったら、

「どこからスタートする？」

とすぐ聞くのではなく、

「それぞれの点に何本集まっている？」
「奇数になっている点はいくつ？」

と聞いてみてください。

さらに、

入る線と出る線をペアにする

と考えると、なぜ奇数点が重要なのかも理解できます。

一筆書きは道順を勘で探す問題ではなく、点に集まる線の本数を整理する問題です。

この見方が身につけば、一筆書きできるかどうかだけでなく、始点・終点を決める問題や、線を追加して一筆書きできるようにする応用問題にも対応しやすくなります。