中学受験の立体図形問題｜頻出例題と解き方

中学受験でよく出る立体図形問題の種類

この記事では、中学受験でよく出る立体図形問題を例題つきで整理し、基本から応用へ進む解き方と家庭での練習方法を分かりやすく解説します。

中学受験の立体図形問題では、単純に公式へ数字を当てはめるだけでなく、図から必要な情報を読み取る力が求められます。

まずは、どのような問題が出るのかを整理しましょう。

体積・表面積の基本問題

最初に押さえたいのは、

直方体
立方体
角柱
円柱
角すい
円すい

などの体積・表面積です。

例えば直方体なら、

体積＝たて×横×高さ

です。

一方、表面積は外側にある面の面積をすべて足します。

同じ立体でも「中身を求めるのか」「外側を求めるのか」で考え方が異なります。

水位・容積の問題

水そうに物体を沈めたり、水を別の容器へ移したりする問題も頻出です。

このタイプでは、

水の体積
底面積
水位

の関係を利用します。

基本は、

体積＝底面積×高さ

です。

特に「水を移しても水の体積は変わらない」という考え方が重要です。

積み木・見取り図の問題

積み木を積み上げた図から、

全部で何個あるか
見えていない部分に何個あるか
上から見た形はどうなるか

を考える問題もあります。

斜めから描かれた図だけを見るのではなく、

上から
正面から
横から

と視点を変える必要があります。

回転体・切断の問題

難度が上がると、

平面図形を回転させてできる立体
立体を平面で切ったときの切り口

が出ます。

回転体は「何を軸に回しているか」、切断は「切る面がどの辺を通るか」を追うことが大切です。

立体図形の中でも差がつきやすい分野です。

立体図形の基本問題を例題で解こう

ここからは、代表的な問題を具体的に見ていきます。

直方体の体積を求める問題

例題1：たて6cm、横4cm、高さ5cmの直方体の体積を求めなさい。

直方体の体積は、

たて×横×高さ

なので、

6×4×5＝120

です。

答えは、

120㎤

となります。

ここで気をつけたいのは単位です。

面積なら㎠、体積なら㎤です。

計算だけでなく、単位までセットで確認しましょう。

直方体の表面積を求める問題

例題2：たて6cm、横4cm、高さ5cmの直方体の表面積を求めなさい。

面は全部で6枚あります。

6×4＝24㎠
6×5＝30㎠
4×5＝20㎠

それぞれ2枚ずつあるので、

24×2＋30×2＋20×2
＝48＋60＋40
＝148

したがって、

148㎠

です。

表面積問題では、いきなり全部を足すのではなく、

「どんな面が何枚あるか」

を整理するとミスが減ります。

水位の変化を求める問題

例題3：底面積50㎠の水そうに、体積100㎤の物体を完全に沈めました。水位は何cm上がりますか。

物体が完全に水中へ入ると、その体積と同じ100㎤分だけ水が押し上げられます。

底面積が50㎠なので、

100÷50＝2

です。

答えは、

2cm

となります。

この問題では、

水位＝体積÷底面積

と考えています。

ただ公式のように覚えるより、

「100㎤分の体積を底面全体に広げる」

と理解すると分かりやすくなります。

積み木の個数を数える問題

例題4：上から見て2×3の長方形に積み木が並び、それぞれの高さが2、1、3、2、1、2個でした。全部で何個ありますか。

各場所の高さを足せばよいので、

2＋1＋3＋2＋1＋2
＝11

です。

答えは11個です。

積み木問題では、上から見たマス目に「高さ」を数字で書くと整理しやすくなります。

斜めの図だけで考え続けないことがコツです。

応用的な立体図形問題を解くコツ

基本問題が安定したら、少し複雑な問題へ進みます。

複雑な立体は分ける・足す・引く

L字型などの複雑な立体は、そのまま体積を求めようとすると難しく見えます。

そこで、

直方体A＋直方体B

と分けるか、

大きな直方体－欠けている直方体

と考えます。

例えば全体が、

たて10cm
横6cm
高さ4cm

の直方体で、その一部に、

たて3cm
横2cm
高さ4cm

の欠けがあるなら、

10×6×4－3×2×4

とできます。

240－24＝216㎤

です。

「複雑な形を知っている形へ変える」のが基本です。

切断問題は切り口が通る面を順に追う

立方体の切断では、切り口を一気に想像しようとすると混乱します。

まず、同じ面上にある2点を結びます。

次に、その線がどの辺へ到達するかを見ます。

そして隣の面へ移り、また同じように線をつなぎます。

つまり、

面A
↓
辺
↓
面B
↓
辺

と順番に追います。

「点だけを見て適当に結ぶ」のではなく、面ごとに考えることが大切です。

回転体は回す前の平面図形に戻す

回転体では、完成後の立体だけを想像するより、元の平面図形へ戻ります。

例えば長方形を1辺を軸にして1回転すると円柱になります。

底面の半径は、

軸から反対側の辺までの長さ

です。

高さは、

回転軸となった辺の長さ

です。

三角形を回すと円すいになる場合もあります。

回転体では、

回転軸
半径
高さ

を元の図へ書き込むと整理しやすくなります。

体積比は辺の比との関係を確認する

相似な立体では、対応する辺の比が分かれば体積比も求められます。

例えば辺の比が、

2：3

なら、

体積比は、

2×2×2：3×3×3
＝8：27

です。

平面図形では面積比が2乗、立体では体積比が3乗になります。

ここは中学受験でよく使う関係なので、図形問題が得意な子ほど早めに整理しておきたいところです。

家庭で立体図形問題を伸ばす練習法

立体図形は、問題数を増やすだけでは伸びにくい分野です。

「見方」を身につける練習が必要です。

基本問題から3段階で難度を上げる

家庭では、

第1段階
直方体・立方体の体積と表面積

第2段階
複合立体・水位・積み木

第3段階
切断・回転体・体積比

の順がおすすめです。

例えば第1段階の10問で4～5問しか解けないなら、第3段階へ進む必要はありません。

まず基本問題で8割程度を安定させましょう。

問題文の数字を図に書き込む

立体図形が苦手な子ほど、問題文を何度も読み返します。

それより、

6cm
4cm
5cm

などを図へ直接書き込みます。

さらに、

底面積＝24㎠

のように途中結果も書けば、次の計算へつながります。

頭の中の情報を紙へ移すことが重要です。

箱や積み木で実物を確認する

立体のイメージが弱い場合は、ティッシュ箱や積み木を使いましょう。

例えば箱を見ながら、

「向かい合う面はどれ？」
「この箱を切ったら切り口はどんな形？」
「上から見ると何が見える？」

と確認します。

実物を触ることで、「見えない面」への理解が進みます。

高価な教材を用意しなくても十分です。

間違えた問題は図から描き直す

解き直しでは、式だけをもう一度書くのではなく、

問題文を読む
↓
図を描く
↓
数字を書き込む
↓
考え方を決める

ところから始めます。

例えば水位問題なら、

容器
水面
入れた物体

を簡単な図にします。

翌日に図を正しく再現できれば、問題の構造を理解できている可能性が高いです。

立体図形は「答えを覚える復習」より「図を再現する復習」が向いています。

まとめ｜立体図形問題は形を整理してから計算しよう

中学受験の立体図形問題では、

体積
表面積
水位
積み木
回転体
切断
体積比

などが重要です。

基本問題では、まず、

体積＝底面積×高さ

という考え方を確実にします。

そのうえで応用問題では、

複雑な形を分ける
大きな形から引く
水の体積を固定する
切断面を面ごとに追う
回転前の図へ戻る

といった工夫を使います。

家庭学習では、

基本
↓
水位・複合立体
↓
切断・回転体

と段階を踏みましょう。

また、問題文を読むだけで考えず、

数字を図に書く
上から見る
正面から見る
実物で確認する

ことも大切です。

立体図形の中学受験問題は、空間を頭の中だけで完璧に想像できる子だけが解けるものではありません。複雑な立体を「知っている形」「平面の図」「小さな部分」に変換する習慣をつければ、苦手な子でも着実に得点できる分野になります。