円錐の中学受験対策｜体積・表面積・展開図の解き方が一気に分かる

円錐が苦手になるのは「展開図」と「高さ」のイメージがあいまいだから

この記事では、そんな悩みに対して円錐でつまずく理由と、家庭でできる円錐の基本・解き方の型・練習法を順を追って解説します。

円錐は、立体の中でも「平面（扇形）」と「立体（円錐）」を行き来する単元です。ここで混乱しやすいのが、展開図と高さの関係です。円錐はポイントを絞れば一歩ずつ理解できます。

よくあるつまずき3パターン

円錐で多いミスは次の3つです。

1. 高さと母線（ななめの長さ）を混同する
   高さは“まっすぐ下”、母線は“斜めの辺”です。
2. 展開図（扇形）の弧の長さが分からない
   扇形の弧は、円錐の底面の円周と同じになります。
3. 体積の1/3を忘れる・意味が分からない
   円錐の体積は「同じ底面・同じ高さの柱（円柱）の1/3」です。

円錐で出る問題は大きく3種類

中学受験の円錐は、主に次の3パターンです。これを知るだけで整理しやすくなります。

• 体積（何cm³？比は？水を入れる？）
• 表面積（側面＋底面、展開図を使う）
• 展開図（扇形）（中心角や弧の長さを求める）

まず押さえる言葉（底面・高さ・母線）

親子で言葉がそろうと、説明が一気に楽になります。

• 底面：下の円
• 高さ：頂点から底面まで“垂直”の長さ
• 母線（ぼせん）：側面の斜めの長さ（展開図の半径になる）

この3つが区別できれば、円錐はかなり解けるようになります。

---

円錐 中学受験で必須の基本：体積・表面積・展開図

ここでは公式暗記ではなく「なぜそうなるか」を親が説明できるレベルでまとめます。

円錐の体積の考え方（1/3の意味）

円錐の体積は

（底面積）×（高さ）× 1/3

です。
底面積は円なので、底面の半径を r とすると

底面積＝πr²
→ 体積＝（πr²）×h×1/3

1/3の意味（イメージ）
同じ底面・同じ高さの「円柱（まっすぐな筒）」の中に、円錐が入ると、だいたい3つ分で円柱になるイメージです。

円錐の表面積（側面＋底面）

円錐の表面積は

（側面積）＋（底面積）

です。
底面積は πr²。
側面積は少し苦手になりやすいですが、実は展開図を使うと簡単です。

展開図は「扇形」：弧の長さ＝底面の円周

円錐の側面を切って開くと、扇形になります。

• 扇形の半径＝母線（l とします）
• 扇形の弧の長さ＝底面の円周＝2πr

ここが円錐の最大ポイントです。

側面積の求め方（扇形の面積）
扇形の面積は
「（半径×弧の長さ）÷2」
で求められます。

半径＝l、弧の長さ＝2πr なので
側面積＝（l×2πr）÷2＝πrl

つまり
円錐の側面積＝πrl
となります。

ここまで分かれば、表面積は
πrl＋πr²
でスッと出せます。

---

円錐の解き方の型：よく出る問題をパターン別に攻略

円錐は“型”を知っているほど強い単元です。よく出る3型をまとめます。

型1：体積比・高さ比（似た円錐）

同じ形（相似）の円錐が出たら、比のルールで一気に解けます。

• 半径の比＝母線の比＝高さの比（同じ形なら）
• 体積比＝（辺の比）³
• 側面積や表面積の比＝（辺の比）²

例：半径が 1:2 の相似な円錐なら
体積は 1³:2³＝1:8
面積は 1²:2²＝1:4
という考え方です。

型2：水を入れる（満水・何割・何cm）

円錐の水問題は「体積＝πr²h×1/3」が土台です。
ただし、水の高さが変わる問題では、上の部分が“小さい円錐”になります。

重要ポイント
水面のところで切った上側は、元の円錐と相似になります。
→ だから、高さが変わると半径も比例して変わります。

よくある流れはこれです。

1. 相似を使って「その高さの半径」を出す
2. 体積公式に入れて水の体積を出す
3. 条件（何割、何cm）に合わせる

型3：切断（平行切断で小円錐ができる）

底面に平行に切ると、上に小さい円錐ができます。
ここも相似が鍵です。

• 高さの比＝半径の比
• 体積比＝（高さの比）³

切断問題は難しそうに見えますが、やっていることは「相似＋体積公式」の組み合わせです。

---

家庭でできる！円錐の教え方と1日10分練習

親の声かけテンプレ（図を描かせる）

円錐は、頭の中だけで処理すると混乱します。声かけはこれで十分です。

• 「底面・高さ・母線、どれがどれ？」
• 「展開図は扇形だよ。弧の長さは何になる？」
• 「水や切断は“上に小さい円錐”ができるよね？」

子どもに言わせると、理解が安定します。

「紙コップ＋糸」で展開図が分かる

家庭でできる簡単な見える化です。

• 紙コップ（円錐に近い形）や円すい形のものを用意
• 側面に沿って糸を回して「一周の長さ」を確かめる
• それが底面の円周（2πr）と同じだと体感する

「扇形の弧＝底面の円周」が腑に落ちると、展開図の問題が急に楽になります。

テストで失点しないチェックリスト

最後にここだけ確認すれば、ミスが大きく減ります。

□ 高さと母線を取り違えていない

□ 体積に 1/3 をかけた

□ 底面積は πr²

□ 側面積は πrl（展開図で確認）

□ 展開図の弧の長さは 2πr

□ 相似なら体積比は 3乗、面積比は 2乗

---

まとめ：円錐は「展開図の弧＝円周」と「1/3」で得点できる

円錐の中学受験対策は、難しい公式暗記よりも、

1. 扇形の弧の長さ＝底面の円周（2πr）
2. 体積は底面積×高さ×1/3

この2点を軸に整理するのが最短です。
さらに水や切断は「上に小円錐ができて相似になる」と考えれば、解法が一本につながります。