2022開成中算数 切断の考え方を解説

2022開成中の算数で出た切断はどんな問題か

この記事では、そんな悩みに対して、2022年開成中の算数で出た切断問題がどんな内容だったのか、なぜつまずくのか、家庭で何をすればよいのかを順を追って解説します。

2022年の開成中算数で「切断」として対応するのは、大問2の立体問題です。題材は、底面の半径4cm、母線OAの長さ8cmの円すいを、底面に平行で等間隔な3つの平面で4つのブロックに切り分けるというものでした。小さいほうから順にa、b、c、dとし、aとcを積み上げた立体X、bとdを積み上げた立体Yについて、体積比と表面積比を求める問題です。

2022年は大問2で円すいを切断する問題が出題

この年の大問構成を見ると、2022年は小問集合、円すい台の体積・表面積、場合の数、時計算という4題構成でした。つまり、検索では「切断」と入っていても、実際の出題は立方体の切断ではなく、円すいを平行な平面で分ける立体の処理が中心だったと分かります。

立方体の切断ではなく「円すい台の見方」が問われた

開成中の立体は近年「切断」の出題が多い学校として知られていますが、2022年はその中でも少しタイプが違いました。Z会の開成立体対策でも、開成では直近10年で立体の出題確率が高く、近年は切断や射影が増えているとされていますが、2022年は円すい台と比として整理される問題でした。つまり、問われたのは複雑な交線探しより、相似と分解で立体を読み解く力だったのです。

2022開成中 算数 切断でつまずく理由

切った後の形を別々に見られていない

切断が苦手なお子さんは、切る前の大きな円すいは見えていても、切った後の4つのブロックを別々の立体として認識するのが苦手です。2022年の問題では、4つに分けたあとにaとc、bとdを組み合わせ直すので、元の円すいだけ見ていても前に進めません。まずは「小さい円すい」「円すい台」「円すい台」「円すい台」と分かれていることを、頭の中で切り替えられるかが第一歩です。

等間隔の意味を長さだけで考えてしまう

もう一つ多いのが、「等間隔」をただの長さの情報として処理してしまうことです。もちろん、平行な3つの平面が等間隔という条件は長さに関係します。ですが本当に大事なのは、その結果として上から見たときの相似比がきれいにそろうことです。2022年の問題では、この相似比が分かると体積比がかなり整理しやすくなります。逆に、長さだけを追っていると、なぜ4つのブロックの大きさがそうなるのかが見えにくくなります。

体積と表面積を同じ感覚で処理してしまう

2022年の開成中で保護者が特に見落としやすいのがここです。問題は体積比だけでなく表面積比まで問う構成でした。体積は相似比の3乗、面積は2乗という基本はもちろん大切ですが、それだけでは足りません。なぜなら、積み上げてできる立体X、Yでは、切断によって新しくできた面や、外に出る面の数え方まで意識しないと表面積が合わないからです。体積と表面積を同じ勢いで処理しようとすると、ここで崩れやすくなります。

2022開成中の切断はどう考えればよいか

まずは大きな円すいを4つに分けて見る

この問題を家庭で説明するとき、最初からXやYを見せると混乱しやすいです。先にやるべきことは、大きな円すいが4段に分かれていると捉えることです。上から順に小さい円すいが1つ、その下に円すい台が3つある、と整理すると、お子さんは立体を追いやすくなります。2022年の出題文もまさにこの構造で、4つのブロックをどう扱うかが土台でした。

体積比は相似比から整理する

体積比を考えるときは、各段を別々に求めるより、相似な円すいの体積比を先に使うほうが自然です。平行な平面で等間隔に切っているため、高さ方向の比は1:2:3:4のように揃って見られます。すると、上から順にできる相似な円すいの体積比はその3乗で考えられるため、小さい円すいから順に全体の中での割合を整理しやすくなります。2022年の問題が「円すい台と比」として扱われるのは、この相似の使い方が核心だからです。

たとえば、上から1段目までの円すい、2段目までの円すい、3段目までの円すい、4段目までの円すいをそれぞれ相似比で見ると、各ブロックの体積は「大きい円すいから小さい円すいを引く」という発想で整理できます。ここで大事なのは、いきなり答えの比を覚えることではなく、どこからどこを引いた立体なのかを言葉で確認することです。

表面積比は「増える面」を見落とさない

表面積で苦戦する子は、外側の曲面だけ見てしまいがちです。ですが2022年の問題では、ブロックを積み上げてXとYを作るので、どの面が外側に見えるか、どの切断面が表に出るかを確認する必要があります。つまり、表面積は「もとの円すいの面積を比で処理する」だけでは終わりません。切ってできた面がどこで外に出るのかまで見ないと、式がずれてしまいます。

ここは保護者がサポートしやすいポイントでもあります。
「この面は外に見えている？」
「くっついたところは表面積に入る？」
と問いかけるだけで、子どもはかなり整理しやすくなります。難問に見えても、考える順番を分ければ理解は進みます。

家庭でできる2022開成中の切断対策

親は公式より「どこを切ったか」を言葉にさせる

家庭学習でありがちなのが、親が先に「相似比の3乗だよ」「面積は2乗だよ」と教えてしまうことです。もちろん間違いではありませんが、切断が苦手な子には少し早いです。まずは
「どこを平行に切ったの？」
「何個の立体に分かれたの？」
「いま見ているのは円すい？ 円すい台？」
を言葉にさせるほうが効果的です。2022年の問題でも、立体の名前と分かれ方が分かるだけで、見通しが大きく変わります。

円すい台は実物イメージで理解を助ける

円すい台は、立方体の切断より日常で見かける形が多いぶん、実物イメージが使いやすい立体です。紙コップ、先を切った円すい形のおもちゃ、円すいを途中で切った模型などを見せると、「上を切るとこうなる」がつかみやすくなります。開成の立体対策でも、実物を通して空間認識を助ける学習は有効とされています。

私自身、立体が苦手なお子さんには、ノートにきれいな図を書かせる前に「この形、紙コップの上を切ったのに似ているね」と話すことがあります。すると急に、円すい台を“見たことのある形”として扱えるようになることがあります。

開成中の切断対策は立体の見取り図より分解力が大事

開成中の切断と聞くと、どうしても見取り図を正確に描く練習に寄りがちです。もちろん図を描く力は大切です。ですが2022年の問題に関しては、それ以上に重要なのは立体を分けて見る力です。大きな円すいを何個のまとまりに分けるか、それぞれがどんな立体か、どれを組み合わせると何になるか。この分解力があれば、複雑な問題でも落ち着いて処理できます。

ご家庭での対策としては、過去問を解きっぱなしにせず、
「この立体は何と何に分けられる？」
「このブロックだけ取り出すとどんな形？」
と聞いてみてください。これだけでも、切断問題への苦手意識はかなり和らぎます。

まとめ

2022年開成中算数の「切断」は、立方体の複雑な交線を追う問題ではなく、円すいを底面に平行な平面で等間隔に切り、できたブロックの体積比と表面積比を考える問題でした。検索で「切断 解説」と探す保護者が多いテーマですが、実際には円すい台の見方、相似比、分解して考える力が中心だったといえます。

家庭で意識したいのは、難しい公式を先に教えることではありません。
どこを切ったのか。
何個に分かれたのか。
それぞれどんな立体なのか。
表面に出る面はどこなのか。
この順で確認するだけで、子どもの理解はずいぶん変わります。

2022年の開成中の切断は、派手なひらめきより、落ち着いて立体を分けて考える力が問われた一問でした。だからこそ、家庭学習でも「一気に解かせる」より「分けて見せる」ことが、いちばん確かなサポートになります。