2022開成中算数 相似の考え方を解説

2022開成中の算数で出た相似はどんな問題か

この記事では、そんな悩みに対して、2022年開成中の算数で相似がどんな形で出たのか、なぜつまずくのか、家庭で何をすればよいのかを順を追って解説します。

2022年の開成中算数で「相似」として押さえるべきなのは、大問2の円すい台の問題です。大問2では、底面に平行で等間隔な3つの平面で円すいを4つのブロックに切り分け、小さい順に a、b、c、d とし、それらを組み合わせた立体 X、Y の体積比と表面積比を求める内容でした。各種解説でも、2022年は大問4題構成で、大問2が「円すい台の体積・表面積」の問題だったと整理されています。

2022年は大問2で相似を使う立体問題が出題

この問題の核は、円すいを切ったあとのブロックを直接追いかけることではありません。まず見るべきなのは、上から順にできる円すいたちが相似になっていることです。Logix出版の解説では、a、a+b、a+b+c、a+b+c+d の円すいは相似で、相似比は 1:2:3:4 になると整理されています。

つまり2022年の開成中で問われたのは、平面図形の相似をそのまま当てる問題ではなく、相似比を立体の体積比や表面積比にどうつなぐかでした。ここが、保護者の方が「相似は習ったはずなのに、なぜこんなに難しく見えるのだろう」と感じやすい理由です。

相似そのものより「相似比を立体にどう使うか」が問われた

2022年の問題は、相似な図形を見つけて終わりではありません。相似比が 1:2:3:4 と分かったあとに、
体積は3乗で増える
表面積は2乗だけでは終わらない
という次の処理が必要でした。TOMASの分析でも、大問2は「円すい台の体積・表面積で煩雑さがあるので注意が必要」とされています。

開成中らしいのはまさにここです。
知識の有無というより、知っている相似をどう使い切るかが問われていました。相似が苦手というより、「相似を使ったあとに何をするか」で差がつく問題だったと言えます。

2022開成中 算数 相似でつまずく理由

相似比は見えても差の立体に直せない

多くのお子さんは、相似比 1:2:3:4 まではたどり着けます。
しかし、その先で止まります。なぜなら、実際に求めたいのは「相似な4つの円すいそのもの」ではなく、その差としてできる a、b、c、d のブロックだからです。Logix出版の解説でも、体積比は 1:8:27:64 と見たうえで、その差に注目して a:b:c:d = 1:7:19:37 と整理しています。

ここでつまずく子は、「相似比が分かった=解ける」と思ってしまいます。
でも本当は、相似比は入口にすぎません。
大きい円すいから小さい円すいを引いて、初めて欲しい立体が出てくる。この一段階が抜けると、答えまで届きません。

体積比と表面積比を同じ感覚で扱ってしまう

2022年の開成中で特に差がつきやすいのがここです。
体積比は相似比の3乗で整理しやすい一方、表面積比は単純な2乗だけでは済みません。なぜなら、問題ではブロックを積み上げて X と Y を作っているため、どの面が外に見えるかを考える必要があるからです。Logix出版の解説でも、表面積は上下の底面と側面積の和として丁寧に分けて処理されています。

保護者の方が家庭で見ていて
「体積は何となく分かるのに、表面積で急に崩れる」
と感じる場合、この原因がとても多いです。
体積と表面積は、同じ相似でも考え方の出口が違います。

図形を切った後のまとまりを見失いやすい

2022年の問題では、円すいを4つに切り、それをまた組み合わせています。
このため、立体が苦手なお子さんは、元の大きな円すいと、できた小さなブロックと、積み上げた X・Y の関係が頭の中で混ざりやすいです。TOMASも、大問2は煩雑さに注意が必要としています。

相似の問題でありながら、実際には立体の分解と再構成も同時に必要です。
だから、相似の知識だけで押し切ろうとすると苦しくなります。

2022開成中の相似はどう解けばよいか

まず大きな円すいどうしの相似に注目する

2022年の開成中の相似で最初にやるべきことは、切った後の細かいブロックを見ることではありません。
まずは、上から順に見た4つの円すいが相似であることを確認します。

等間隔に平行な平面で切っているので、高さの比は 1:2:3:4 と見られます。すると、対応する半径や母線も同じ比でそろいます。ここで
「同じ形が大きくなっているだけだ」
とつかめると、その後の見通しが一気に良くなります。

家庭では、
「この小さい円すいをそのまま大きくした形が次の円すいだね」
と声をかけるだけでも十分です。

小さい立体は「引き算」で考える

次に大切なのは、a、b、c、d を別々に直接求めようとしないことです。
相似な円すいの体積比が 1:8:27:64 まで出たら、欲しいブロックは差を取って作ると考えます。Logix出版の解説でも、この差に注目して a:b:c:d を求めています。

この考え方は、保護者が家庭で説明するときにも使いやすいです。
「b は2段目までの円すいから1段目までの円すいを引いたもの」
「c は3段目までから2段目までを引いたもの」
と、日本語で言えるようになるだけで理解が安定します。

相似の問題で伸びる子は、式を暗記しているのではなく、どこからどこを引いた立体かを説明できる子です。

表面積は外に見える面を分けて考える

表面積は、相似比だけで片づけようとしないことが大切です。
2022年の問題では、X と Y を積み上げたあと、どの底面が外に出るのか、どの側面が表面として残るのかを確認する必要があります。算数星人の解説でも、この問題は体積比だけでなく表面積比まで問われる点が特徴とされています。

ここでおすすめなのは、
側面
上の面
下の面
に分けて考えることです。

表面積が苦手なお子さんは、全部を一気に見ようとして混乱します。
でも、見える面を分けるだけで、かなり整理しやすくなります。

家庭でできる2022開成中の相似対策

親は公式より「どこが相似か」を言わせる

家庭で相似を教えるとき、つい
「相似比が1対2対3対4だから、体積比は3乗だよ」
と教えたくなります。
もちろん間違いではありません。ですが、その前に
「どことどこが同じ形？」
を言わせるほうが効果的です。

2022年の問題でも、土台は相似な円すいを見抜くことでした。そこが曖昧なまま3乗や2乗だけ覚えても、応用が利きません。

相似比1対2対3対4を図に書いて確認する

2022年の大問2は、相似比を正しく置けるかどうかで大きく変わります。
だから家庭では、問題文を読んだらまず、
1段目
2段目
3段目
4段目
に対応する円すいを書き出して、1:2:3:4 を図にメモする練習が有効です。

このひと手間があるだけで、体積比 1:8:27:64 に進みやすくなりますし、差の立体も追いやすくなります。Logix出版の解説がこの整理を基礎にしていることからも、この型の有効性が分かります。

開成中対策でも典型題の理解が土台になる

2022年の開成中算数全体については、各分析で「大問2は円すい台の体積・表面積」とはっきり整理されており、極端な奇問ではなく、既習の考え方を丁寧に使う問題でした。

つまり、相似の対策としても、難問ばかり追う必要はありません。
大切なのは、

・相似比を見つける
・面積比と体積比の違いを押さえる
・差の立体として考える
・外に見える面を分ける

この4つを典型題でしっかり理解することです。
開成中レベルでも、土台はやはり基本の深い理解です。

まとめ

2022年開成中算数の「相似」は、大問2の円すい台の問題で押さえるのが自然です。等間隔に切った円すいから、相似比 1:2:3:4 を見抜き、体積比 1:8:27:64 を使って差の立体を整理し、さらに表面積比まで求める構成でした。

保護者が家庭で意識したいのは、公式だけを教えることではありません。
どこが相似か。
何を引いた立体か。
どの面が外に見えるか。
この順で確認するだけで、お子さんの理解はかなり変わります。

2022年の開成中の相似は、ひらめきだけの問題ではなく、相似を立体に使い切る力を問う良問でした。だからこそ、家庭学習でも「すぐ公式」ではなく「まず同じ形を見つける」を意識すると、相似は少しずつ得点源に変わっていきます。