2017開成中算数・場合の数の対策法

2017開成中の算数・場合の数で差がつく理由

この記事では、そんな悩みに対して、2017開成中の算数で問われる場合の数の特徴、つまずく理由、家庭で何をすればよいのかを順を追って解説します。

場合の数は暗記ではなく整理力が問われる

場合の数というと、「順列」「組み合わせ」といった公式を思い浮かべる保護者の方が多いかもしれません。もちろん基本的な考え方は必要です。ただ、2017開成中のような難関校を意識するなら、場合の数で本当に問われるのは公式の暗記ではありません。条件を整理し、抜けなく重なりなく数える力です。

たとえば、人の並び方を考える問題でも、「同じものを区別するのか」「ある人を固定するのか」「条件ごとに分けるのか」で考え方は変わります。カードの選び方、道順の数え方、条件つきの組み合わせでも同じです。問題ごとに必要なのは、ただ掛け算や足し算をすることではなく、「何を1回だけ数えるべきか」を見極めることです。

場合の数が得意な子は、難しい公式をたくさん知っているわけではありません。
「まずこの条件で分けよう」
「ここは順番が関係ある」
「この場合はさっき数えたものと重なる」
と、数え方の筋道をはっきりさせています。ここが、感覚で進める子との大きな差になります。

開成中レベルでは条件の読み取りが得点差になる

2017開成中レベルの問題では、単純に「何通りありますか」と聞かれるだけでは終わりません。
「ただし○○は除く」
「同じものは区別しない」
「△△の場合に限る」
というように、複数の条件が重なることが多くなります。

算数が苦手な子ほど、数字や式だけを見ようとします。しかし場合の数では、計算そのものより前に、条件をどう読むかが重要です。
たとえば、条件を1つ見落とすだけで、答えは大きくずれます。逆に、条件を正しく分けられれば、計算はそれほど難しくないことも少なくありません。

開成中レベルでは、この「読む力」と「分ける力」がそのまま得点差になります。つまり、場合の数は計算力の単元というより、整理して考える力の単元だと言えます。

2017開成中の場合の数対策でよくあるつまずき

書き出しに抜けや重なりが出る

場合の数で最もよくある失点は、書き出しの抜けや重なりです。
最初の数個は丁寧に書けても、途中から順番が乱れ、同じものを2回数えたり、1つ抜けたりしてしまいます。

これは集中力の問題ではなく、書き出しのルールが決まっていないことが原因です。
たとえば、3人の並び方を考えるなら、最初の1人を固定してから残りを動かす、といった順番が必要です。この軸がないまま書き出すと、本人は全部書いたつもりでも、漏れや重複が起きやすくなります。

保護者から見ると「惜しいミス」に見えるかもしれませんが、場合の数ではこの整理不足が本質的な失点につながります。

条件を読んでも分け方が分からない

場合の数が苦手な子は、問題文を読んでも「何で場合分けすればよいか」が分からないことがあります。
たとえば、
「男子が先頭に来る場合」
「同じ色を使う場合と使わない場合」
「○○を含む場合と含まない場合」
のように分けると考えやすくなる問題でも、その切り口が見つかりません。

この状態では、全部まとめて考えようとして混乱し、途中で手が止まります。
場合の数は、一気に全部を数えようとするほど難しく感じやすい単元です。むしろ大切なのは、「分けると楽になる条件は何か」を探すことです。

ここが分からないままだと、塾の解説を聞いたときは理解した気になっても、自宅で一人では再現しにくくなります。

答えは合っても考え方を再現できない

もう1つ多いのが、答えはたまたま合っていても、「なぜその数え方になったのか」を説明できない状態です。
前に似た問題を見た、何となく掛けた、たまたまうまくいった。こうした正解はその場では丸になりますが、次の問題に応用できません。

本当に力がついている子は、
「最初に何で分けたか」
「どうして掛け算にしたか」
「どこで重なりを除いたか」
を説明できます。

場合の数は、答えだけ覚えても伸びにくい単元です。少し条件が変わると解き方も変わるため、考え方を再現できるかどうかがとても大切です。

2017開成中の算数・場合の数対策で家庭ができること

まずは「何で分けるか」を言葉にさせる

家庭で最初にやってほしいのは、いきなり式を書かせることではありません。
まずは、「この問題は何で分けると考えやすいか」を言葉にさせてください。

たとえば、
「Aが入る場合と入らない場合で分ける」
「先頭が男子か女子かで分ける」
「順番がある場合とない場合を区別する」
といった具合です。

この一言が出るだけで、考え方はかなり整理されています。
場合の数が苦手な子は、計算ができないのではなく、整理の入口が見えていないことが多いのです。保護者は答えを教えるより、「何で分けるとやりやすそう？」と聞く役に回ると効果的です。

表・樹形図・場合分けを使い分ける

場合の数では、問題に合った整理の道具を選ぶことが重要です。
すべてを同じ方法で解こうとすると、かえって混乱しやすくなります。

たとえば、

• 組み合わせの対応を見るなら表
• 順番に分かれていくなら樹形図
• 条件が複数あるなら場合分け
  といった使い分けが考えやすいです。

大切なのは、きれいに書くことではありません。本人が漏れや重なりなく追えることです。
実際、場合の数が得意な子ほど、自分に合った整理の型を持っています。家庭では「どう書けば見やすいかな」と聞きながら、一緒に型を作っていくとよいでしょう。

解き直しでは答えより数え方の順番を確認する

場合の数の解き直しで大切なのは、正しい答えを覚えることではありません。
見るべきなのは、
「最初にどこで分けたか」
「何を固定したか」
「どこで重なりを除いたか」
という数え方の順番です。

たとえば解き終わったあとに、
「最初に何を決めたの？」
「どうしてここで足したの？」
「同じものを2回数えていない？」
と聞いてみてください。

この振り返りがあると、1問がその場限りで終わりません。場合の数は、数え方の流れを再現できるようになって初めて実力になります。

場合の数を得点源にする家庭学習の進め方

開成中対策では基本パターンの反復が効く

難関校対策というと、複雑な応用問題ばかり解かなければならないように感じるかもしれません。ですが、場合の数では基本パターンの反復がとても重要です。

特に押さえたいのは、

• 順番を考える問題
• 選び方を考える問題
• 条件で分ける問題
• 重なりを整理する問題
  の4つです。

開成中レベルの問題でも、難しさはこうした基本の組み合わせから生まれています。土台があいまいなまま難問に進むと、毎回初めて見る問題のように感じてしまいます。基本の型が入っている子ほど、条件が増えても落ち着いて整理しやすくなります。

短時間の継続で整理する力が育つ

場合の数は、1回で長時間やるより、短時間を繰り返した方が効果が出やすい単元です。
たとえば週に2〜3回、10分ほどでも、
「今日は樹形図だけ」
「今日は表で整理する問題だけ」
「今日は場合分けだけ」
というようにテーマをしぼると、無理なく続けられます。

学習では、一度に詰め込むより、間隔をあけて繰り返した方が定着しやすいことがよく知られています。場合の数でも同じで、短くても継続することで「どう整理すればよいか」の感覚が少しずつ育っていきます。

保護者の声かけで場合の数への苦手意識は変わる

場合の数が苦手な子は、「すぐ抜ける」「何通りか分からない」「考えるだけで嫌になる」と感じやすいものです。
そんなときに、
「なんでまた抜けたの？」
「前にもやったでしょ」
と責めるように言うと、さらに苦手意識が強くなります。

それよりも、
「まず何で分けるか考えよう」
「順番を決めて書けば大丈夫だよ」
「前より整理して見られているね」
と、考え方の流れに注目した声かけをする方が効果的です。

場合の数は、落ち着いて整理すれば決して解けない単元ではありません。家庭が安心して考えられる場所になるだけで、子どもの取り組み方は大きく変わります。

まとめ

2017開成中の算数「場合の数」対策で大切なのは、公式や解法を増やすことだけではありません。
条件を整理し、何で分けるかを考え、抜けなく重なりなく数える力を育てることです。

そのために家庭で意識したいのは、
何で分けるかを言葉にさせること、
表・樹形図・場合分けを使い分けること、
解き直しで数え方の順番を確認すること、
この3つです。

場合の数は、苦手意識がつきやすい一方で、整理の型が身につくと安定して得点しやすい単元でもあります。
「うちの子は場合の数に向いていない」と決めつける必要はありません。多くの場合、足りないのは才能ではなく、整理のしかたと数える順番です。

家庭学習では、正解だけで終わらせず、「どうやって数えたのか」を一緒に確かめてみてください。その積み重ねが、開成中レベルの場合の数に対応する力につながっていきます。