中学受験算数 平面図形のコツ

中学受験算数の平面図形で大切なコツ

この記事では、中学受験算数の平面図形でつまずくお子さんを持つ保護者の方に向けて、図の見方・補助線・面積比の考え方を家庭で説明しやすい順番で解説します。

公式より先に図へ書き込む

中学受験算数の平面図形で最も大切なコツは、公式を急いで使う前に、図へ情報を書き込むことです。平面図形が苦手な子は、問題文を読んだあと、図をじっと見つめたまま手が止まることがよくあります。これは、考えていないのではなく、どこから見ればよいか分からない状態です。

三角形の面積なら「底辺×高さ÷2」、円の面積なら「半径×半径×3.14」と公式を覚えることはもちろん必要です。しかし入試や塾の応用問題では、底辺や高さがそのまま書かれていないことも多くあります。角度問題でも、求める角がすぐに出るとは限りません。

そこで、まず分かっている長さ、角度、直角、平行、同じ長さを図に書き込みます。問題文に「AB＝AC」とあれば、同じ印をつけます。「平行」とあれば、平行線に印を入れます。角度が分かったら、その都度図に書き込みます。

書き込むことで、図はただの絵ではなく、考えるための情報の地図になります。平面図形のコツは、頭の中だけで考えないことです。紙の上に条件を見える形で出すことが、解き始める第一歩です。

角度・長さ・平行を見える形にする

平面図形で得点できる子は、図の中の「使える情報」を見つけるのが上手です。特に、角度・長さ・平行の3つは必ず確認したいポイントです。

角度では、三角形の内角和180度、一直線180度、円の中心角や半径が作る二等辺三角形などがよく使われます。長さでは、同じ長さに印をつけることで、二等辺三角形や正方形、ひし形に気づけることがあります。平行線では、錯角や同位角が使えるため、Z型やF型を探すことが大切です。

たとえば、平行線が2本ある角度問題では、錯角を使うだけで見えなかった角度が分かることがあります。円の問題では、半径はすべて同じ長さなので、そこから二等辺三角形を見つけ、底角が等しいことを使える場合があります。

家庭で声をかけるなら、「公式は何？」よりも先に、「同じ長さはある？」「平行な線はある？」「三角形は作れる？」と聞くとよいでしょう。見る場所が決まると、子どもは手を動かしやすくなります。

平面図形は「気づく順番」で解きやすくなる

平面図形は、ひらめきだけで解く単元だと思われがちです。しかし実際には、気づく順番を決めることで解きやすくなります。

まず、問題文の条件を図に書き込む。次に、同じ長さ・同じ角・平行・直角を探す。そのうえで、三角形や四角形、円の一部など、知っている形に分けられないかを見る。この順番を守るだけで、解法が見つかりやすくなります。

面積問題なら、いきなり式を作るのではなく、「この図形は分けられるか」「大きな図形から小さな図形を引けるか」「同じ形を移せるか」と考えます。角度問題なら、「平行線」「三角形」「円」の順に見ると、使える条件が見つかりやすくなります。

平面図形が苦手な子は、解法を知らないのではなく、最初の見る順番が決まっていないことがあります。家庭では、毎回同じ確認手順を使うことで、図形問題への不安を減らせます。

平面図形の角度・面積を解くコツ

角度は三角形・平行線・円を探す

平面図形の角度問題では、まず三角形・平行線・円を探すことがコツです。この3つは、中学受験算数の角度問題で非常によく使われます。

三角形では、内角の和が180度です。二等辺三角形なら、底角が等しくなります。正三角形なら、3つの角がすべて60度です。この基本だけでも、多くの角度問題の入口になります。

平行線がある場合は、錯角や同位角を使います。Zの形やFの形を探すと、同じ角度が見つかることがあります。子どもが角度問題で止まったときは、「平行線があるなら、同じ角はないかな」と声をかけるとよいでしょう。

円がある問題では、半径が同じ長さであることを確認します。中心から円周上の点へ引いた線はすべて半径なので、二等辺三角形が隠れていることがあります。円の角度問題は難しく見えますが、まず半径に印をつけるだけで解きやすくなることがあります。

角度問題は、図の中に隠れた同じ角を探す単元です。三角形・平行線・円の順に見る習慣をつけましょう。

面積は分ける・引く・移すで考える

面積問題を解くコツは、公式をたくさん覚えることではありません。複雑な形を、知っている形に変えることです。基本は「分ける」「引く」「移す」の3つです。

まず「分ける」は、複雑な図形を三角形、長方形、台形、円の一部などに分ける考え方です。たとえば、へこんだ形の図形も、補助線を引いて長方形と三角形に分ければ、基本公式で求められることがあります。

次に「引く」は、大きな図形から不要な部分を取り除く考え方です。たとえば、正方形の中に円が入っている問題では、正方形全体から円の部分を引く、または円から三角形を引くといった方法が使えます。

最後に「移す」は、同じ形を移動させて分かりやすい形にする考え方です。影のついた部分が離れていても、同じ形を移すと長方形や三角形にまとまる場合があります。

面積問題では、最初に「公式はどれ？」と考えるより、「この形は分けられる？」「大きい形から引ける？」「同じ形を移せる？」と考える方が、方針を立てやすくなります。

同じ高さの三角形は底辺の比を見る

中学受験算数の平面図形では、同じ高さの三角形を見つけることが大きなコツになります。同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じになるからです。

たとえば、2つの三角形が同じ直線上に底辺を持ち、頂点が同じ高さにある場合、高さは等しくなります。このとき、底辺の比が2：3なら、面積比も2：3です。高さを実際に求めなくても、面積の比を考えられます。

この考え方は、面積比の問題でよく使われます。子どもが面積比でつまずく場合、まず「同じ高さの三角形はある？」と確認しましょう。平行線がある図形では、同じ高さの三角形が隠れていることがよくあります。

ただし、注意したいのは、いつでも辺の比が面積比になるわけではないことです。同じ高さという条件があるから、底辺の比と面積比が同じになるのです。この条件を確認せずに比だけ使うと、誤答につながります。

中学受験算数 平面図形でつまずきやすいポイント

補助線をひらめきだと思ってしまう

平面図形で多くの子が苦手にするのが補助線です。解説を見ると、「ここに線を引けば解ける」と分かります。しかし、自分ではその線を思いつけず、「図形はセンスがないと無理」と感じてしまうことがあります。

けれども、補助線はただのひらめきではありません。目的を持って引くものです。三角形を作るため、平行線を作るため、同じ高さを見つけるため、相似を見つけるため、面積を分けるために引きます。

たとえば、面積比の問題では、同じ高さの三角形を作るために補助線を引くことがあります。角度問題では、平行線を利用するために線を延長することがあります。相似の問題では、対応する三角形を見つけるために線を引く場合があります。

家庭では、「どこに線を引く？」と聞く前に、「何を見つけたい？」と聞くのがおすすめです。補助線の目的が分かると、線を引く場所も見えやすくなります。

辺の比と面積比を混同する

平面図形の応用でよくあるつまずきが、辺の比と面積比の混同です。比が出てくる問題では、何の比を表しているのかを確認する必要があります。

同じ高さの三角形なら、面積比は底辺の比と同じです。底辺の比が2：3で高さが同じなら、面積比も2：3になります。

一方、相似な図形では、面積比は辺の比を2回かけた比になります。たとえば、相似比が2：3なら、面積比は4：9です。ここを2：3のまま考えると間違えます。

子どもが混乱しやすいのは、「比」と書かれているものをすべて同じように扱ってしまうことです。家庭では、「これは辺の比？面積比？」「同じ高さの三角形？相似な図形？」と確認しましょう。

平面図形で比を使うときは、比の数字だけでなく、何を比べているのかを見ることが大切です。

図を眺めるだけで手が止まる

平面図形が苦手な子によく見られるのが、図を眺めるだけで手が止まる状態です。問題文を読み、図を見るものの、何を書けばよいか分からず時間が過ぎてしまいます。

この状態を防ぐには、最初にやることを決めておくことが大切です。まず、分かっている長さや角度を書き込む。次に、同じ長さ、平行、直角に印をつける。さらに、三角形や四角形など、知っている形に分けられないかを見る。この流れを毎回使います。

図形問題は、最初から解法が見えるとは限りません。書き込みながら気づく単元です。条件を書き込んだことで、二等辺三角形が見つかったり、同じ高さの三角形に気づいたりすることがあります。

家庭学習では、答えが間違っていても、図に条件を書き込めているかを評価してあげましょう。手を動かせるようになることが、平面図形の第一歩です。

家庭でできる平面図形のコツと勉強法

1問目は解くより条件整理を優先する

家庭で平面図形を勉強するときは、1問目から正解を急がせないことが大切です。特に苦手な子は、まず条件整理を優先しましょう。

問題文を読んだら、長さ、角度、平行、直角、同じ長さを図に書き込みます。求める部分に印をつけます。分かっていることと求めることが見えるだけで、問題の見通しが大きく変わります。

たとえば、角度問題なら、分かっている角をすべて書き込みます。面積問題なら、求める部分を色や斜線で目立たせます。比の問題なら、同じ高さや相似になりそうな三角形に印をつけます。

最初の数分を条件整理に使うことは、遠回りではありません。むしろ、式を間違えてやり直すより効率的です。平面図形のコツは、解く前の準備にあります。

親は「どこに注目したか」を聞く

保護者が平面図形をサポートするときは、答えが合っているかだけでなく、子どもがどこに注目したかを聞くことが大切です。

声かけとしては、「どの三角形を見たの？」「同じ角はどこにあった？」「なぜその補助線を引いたの？」「面積を分けるなら、どこで分ける？」がおすすめです。

答えが合っていても、理由を説明できなければ、次の問題で同じように解けるとは限りません。反対に、答えが間違っていても、注目した場所が合っていれば、あと少しで解ける状態です。

平面図形は、解法を暗記するより、図を見る視点を育てることが重要です。親がすぐに解説するより、子どもに「なぜそこを見たのか」を短く説明させることで、理解が深まります。

難問より基本パターンを反復する

平面図形を伸ばすには、難問ばかりに挑戦するより、基本パターンを反復する方が効果的です。難しい問題も、基本パターンの組み合わせでできていることが多いからです。

角度なら、三角形の内角和、平行線の錯角・同位角、円の半径による二等辺三角形。面積なら、分ける、引く、移す。同じ高さの三角形なら底辺の比。相似なら対応する角と辺の比。これらを何度も確認しましょう。

1日15分でも構いません。1問を丁寧に扱い、図への書き込み、方針の説明、解き直しまで行います。問題数を増やすより、同じ見方を安定して使えるようにすることが大切です。

平面図形は、センスだけで決まる単元ではありません。基本パターンを積み重ねることで、見える図形が増えていきます。

まとめ

中学受験算数の平面図形のコツは、公式を急いで使うことではなく、図に条件を書き込み、見る場所を決めることです。角度では三角形・平行線・円、面積では分ける・引く・移す、比では同じ高さや相似を確認しましょう。

つまずきやすいのは、補助線をひらめきだと思ってしまうこと、辺の比と面積比を混同すること、図を眺めるだけで手が止まることです。これらは、補助線の目的を考え、何の比なのかを確認し、図に条件を書き込むことで改善できます。

家庭では、1問目から正解を急がせず、まず条件整理を優先しましょう。保護者の方は、答えではなく「どこに注目したか」「なぜその方法を使ったか」を聞いてあげてください。平面図形は、正しい見方を身につければ、苦手から得点源へ変えていける単元です。