中学受験算数「数の性質」過去問の使い方

中学受験算数の数の性質を過去問で学ぶ意味

この記事では、中学受験算数の数の性質を過去問で伸ばすために、始める時期、出題パターンの見分け方、家庭での復習法を順番に解説します。

数の性質は、約数・倍数・最大公約数・最小公倍数・余り・整数条件などを扱う単元です。基本問題では解けていても、過去問になると問題文が長くなったり、他単元と組み合わされたりするため、急に難しく感じることがあります。

しかし、過去問で解けなかったからといって、すぐに「数の性質がまったく苦手」と決めつける必要はありません。大切なのは、どこで止まったのかを分析することです。知識不足なのか、使う考え方を選べなかったのか、条件整理の作業でミスをしたのかによって、次に戻る場所は変わります。

過去問は、入試直前に合格点を確認するためだけの教材ではありません。数の性質では、志望校がどのような形で整数条件を出すのかを知り、家庭学習で補うべき弱点を見つけるためにも使えます。

過去問は実力判定だけでなく弱点発見に使う

過去問を解くと、点数に目が行きがちです。しかし、数の性質では正解か不正解かだけでなく、途中までの考え方を見ることが重要です。

例えば、「100以下の整数のうち、3の倍数で、5の倍数ではない数は何個ありますか」という問題を考えます。

100以下の3の倍数は、

100÷3＝33余り1

より33個です。

その中で5の倍数でもある数は、3と5の最小公倍数である15の倍数です。

100÷15＝6余り10

より6個です。

したがって、33－6＝27個となります。

この問題で間違えた場合、3の倍数を数えられなかったのか、15の倍数を除くことに気づかなかったのか、「5の倍数ではない」という条件を読み落としたのかで、弱点はまったく異なります。

過去問は、子どもの弱点を見つける検査のように使うと効果的です。

数の性質は学校ごとに見せ方が変わる

数の性質の基本は、どの学校でも大きく変わりません。約数・倍数・余り・整数条件を整理する力が中心です。

ただし、学校によって問題の見せ方は異なります。

短い小問で約数や倍数の処理を確認する学校もあれば、長い条件文の中で整数をしぼり込ませる学校もあります。規則性や場合の数と組み合わせて、余りや周期を使わせる出題もあります。

例えば、赤・青・黄の3色が繰り返し並ぶとき、50番目の色を求める問題では、

50÷3＝16余り2

より、周期の2番目を考えます。これは規則性のように見えて、数の性質の余りの考え方も使っています。

過去問を解くときは、「これは数の性質のどの考え方を使っているのか」を分類することが大切です。

基本が不安定なまま過去問を進めない

過去問は、基本がある程度固まってから使う方が効果的です。

約数を漏れなく書けない、倍数の個数を数えられない、余りの候補を作れない状態で過去問に進むと、問題が複雑すぎて何を学べばよいのか分からなくなります。

目安として、単元別の基本問題を10問解いて7〜8問以上正解できるようになってから、過去問へ進むとよいでしょう。

例えば、36の約数なら、

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

と掛け算のペアで確認し、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

と漏れなく書けることが大切です。

基本が不安定な場合は、過去問を繰り返すよりも、まず単元別教材に戻る方が近道です。

数の性質の過去問でよく見る出題パターン

過去問に出る数の性質は、いくつかの型に分けられます。型を知っておくと、初めて見る問題でも何を使えばよいか判断しやすくなります。

約数・倍数を条件整理に使う問題

約数は「割り切れる数」、倍数は「ある数に整数をかけてできる数」です。

過去問では、単に約数や倍数を求めるだけでなく、条件整理の中で使われます。

例えば、「1から100までの整数のうち、6の倍数はいくつあるか」という問題では、

100÷6＝16余り4

より16個です。

さらに「6の倍数だが4の倍数ではない数」となれば、6の倍数から、6と4の最小公倍数である12の倍数を除きます。

このように、約数・倍数の過去問では、何を含め、何を除くのかを整理する力が問われます。

最大公約数・最小公倍数を使い分ける問題

最大公約数と最小公倍数の使い分けは、数の性質の過去問でよく出ます。

24cmと36cmのリボンを、余りなく同じ長さに切る問題では、24と36をどちらも割り切れる長さを探します。使うのは最大公約数です。

一方、4分ごとに出るバスと6分ごとに出るバスが、次に同時に出発する時刻を求める問題では、4と6の共通する倍数を探します。使うのは最小公倍数です。

「同じ長さに分ける」「余りなく切る」なら最大公約数、「再び同時になる」「そろう」なら最小公倍数と、問題文の場面で判断します。

過去問では数字だけを見て判断しないことが大切です。

余りや周期と組み合わせた問題

余りの問題も過去問でよく見られます。

ある数を7で割ると3余るなら、その数は、

7×整数＋3

と表せます。

候補は、

3、10、17、24、31、38……

となります。

また、周期の問題でも余りを使います。4色の並びが繰り返されるとき、43番目を求めるなら、

43÷4＝10余り3

なので、周期の3番目を選びます。

注意したいのは、余り0の扱いです。44番目なら、

44÷4＝11余り0

となり、周期の最後を選びます。

過去問で余りを間違える子は、割り切れたときの処理でミスをすることが多いため、復習時に必ず確認しましょう。

整数の個数や範囲を数える問題

「条件を満たす整数が何個あるか」という問題も、過去問でよく出ます。

この型では、範囲の端を含むかどうかが重要です。

「100以下」は100を含みます。「100未満」は100を含みません。「50より大きい」は50を含まず、「50以上」は50を含みます。

例えば、「50より大きく100より小さい整数で、5の倍数であり、7で割ると2余る数」を求めるなら、まず5の倍数を書き出します。

55、60、65、70、75、80、85、90、95

この中で7で割ると2余る数は65です。

整数の範囲を扱う過去問では、条件を書き出す前に、端の数を含むかどうかを確認しましょう。

過去問を得点力につなげる解き方

過去問は、解いて丸つけをするだけでは十分ではありません。解くときの作業を整えることで、入試本番でも再現しやすくなります。

問題文の条件を短く分けて書く

数の性質の過去問では、条件が複数出てくることがあります。問題文を読んだまま頭の中で処理しようとすると、見落としが起こりやすくなります。

まず、条件を短く分けて書きましょう。

例えば、

100以下
3の倍数
5の倍数ではない

のように整理します。

このように分けると、まず100以下の3の倍数を数え、次に5の倍数でもある数を除けばよいと分かります。

家庭で過去問を見るときも、答え合わせの前に「条件はいくつあった？」と聞いてみてください。条件を言葉で整理できれば、解き方の土台ができています。

候補を書き出してからしぼる

複数の条件がある整数問題では、候補を書き出してからしぼる方法が有効です。

例えば、「30より大きく80より小さい整数で、4で割ると1余り、6で割ると3余る数」を考えます。

まず、4で割ると1余る数を書き出します。

33、37、41、45、49、53、57、61、65、69、73、77

この中で6で割ると3余る数を探すと、

33、45、57、69

です。

過去問では、無理に高度な式を作るより、候補を書き出す方が確実な場合があります。特に算数に苦手意識がある子は、見える形にすることで条件を整理しやすくなります。

取る問題と後回しにする問題を判断する

過去問演習では、すべての数の性質の問題を最後まで解くことだけが目的ではありません。

入試本番では、取るべき問題を確実に取り、時間がかかる問題を後回しにする判断も必要です。

目安として、最初の2〜3分で何を書き出すかが見えない問題は、一度印をつけて後回しにしてもよいでしょう。

一方、約数・倍数・余りの基本処理で解ける小問は確実に取りたい問題です。

過去問を解いた後は、「この問題は取るべきだったか」「時間をかけすぎたか」も確認します。数の性質は得点源になりますが、深追いすると時間を使いやすい単元でもあります。

家庭でできる数の性質の過去問復習法

過去問は、解いた後の復習で力に変わります。家庭では、解き直しの回数よりも、原因分析と戻る場所を意識しましょう。

解き直しは当日・3日後・2週間後に行う

おすすめは、過去問の解き直しを3回に分ける方法です。

当日は、解説を読み、どこで間違えたのかを確認します。条件を見落としたのか、使う考え方を選べなかったのかを整理します。

3日後には、解説を見ずに同じ問題を解き直します。このとき、答えだけでなく、最初の書き出しや途中式も再現できるかを見ます。

2週間後には、同じ問題ではなく、似た考え方を使う類題を解きます。ここで自力で解ければ、答えを覚えただけではなく、考え方が定着し始めています。

間違いを知識・判断・作業に分ける

過去問で間違えた問題は、原因を3つに分けます。

1つ目は、知識のミスです。約数・倍数・余りの意味や計算方法があいまいだった場合です。

2つ目は、判断のミスです。最大公約数と最小公倍数の使い分けを間違えた場合や、余りの候補を書き出す発想が出なかった場合です。

3つ目は、作業のミスです。条件を見落とした、範囲の端を確認しなかった、候補を書き漏らした場合です。

原因が違えば、復習方法も変わります。

知識のミスなら基本用語に戻ります。判断のミスなら、問題文の言葉と使う考え方を結びつけます。作業のミスなら、条件に線を引く、候補を縦にそろえて書くなどの対策をします。

過去問だけでなく基本問題に戻る

過去問で間違えた問題を、そのまま何度も解き直すだけでは不十分なことがあります。答えや式を覚えてしまうためです。

例えば、余りの条件を使えなかったなら、過去問を解き直す前に、「7で割ると3余る数」「8で割ると5余る数」のような基本問題へ戻ります。

倍数の個数で間違えたなら、1から100までの倍数を数える問題に戻ります。

最大公約数と最小公倍数を取り違えたなら、「同じ長さに切る問題」と「再び同時になる問題」を並べて練習します。

過去問は弱点を見つける教材です。見つかった弱点は、基本問題に戻って直すことで、次の過去問演習に生きてきます。

まとめ｜数の性質の過去問は分析して使う

中学受験算数の数の性質は、過去問をただ解くだけでは得点力につながりません。

過去問は、志望校の出題形式を知り、子どもの弱点を見つけるために使います。約数・倍数・余り・最大公約数・最小公倍数・整数条件のうち、どこで止まったのかを確認しましょう。

解くときは、問題文の条件を短く分けて書き、候補を書き出してからしぼります。最初の2〜3分で方針が見えない問題は、後回しにする判断も必要です。

復習では、間違いを知識・判断・作業に分けます。そして、過去問だけを繰り返すのではなく、原因となった基本問題へ戻りましょう。

保護者は、答えを先に教えるのではなく、「何を探す問題かな」「どの条件から使うと楽かな」「なぜその方法を選んだのかな」と問いかけてください。

数の性質の過去問は、点数に一喜一憂するためのものではありません。問題を分類し、弱点を見つけ、基本に戻って修正することで、入試本番に使える力へ変わっていきます。