中学受験算数「比の利用」を解く7つのコツ

中学受験算数の比の利用で大切な3つのコツ

この記事では、中学受験算数の比の利用を解くコツを、問題の見分け方、線分図の使い方、家庭での練習法まで順番に解説します。

比の利用が苦手な子どもは、比の計算そのものができないとは限りません。

「6：9を2：3に簡単にする」といった問題は解けても、文章題になると何をすればよいか分からなくなることがあります。

その原因は、比と実際の数量を結びつけられていないことです。

比の利用を解くうえで、最初に押さえたいコツは3つあります。

比の数字を実際の量だと思わない

比は、人数や金額そのものではありません。同じ大きさのまとまりが、いくつ分あるかを表しています。

例えば、兄と弟の所持金の比が5：3だったとします。

これは、兄が5円、弟が3円持っているという意味ではありません。

兄が500円、弟が300円でも、兄が1,000円、弟が600円でも、比は5：3です。

家庭で教える際は、5：3を次のように言い換えてみてください。

「兄は同じ大きさのまとまりを5個分、弟は3個分持っている」

この感覚が身につくと、比を実際の量へ直す準備ができます。

最初に「比の1つ分」を求める

比の利用を安定して解く最大のコツは、いきなり答えを出そうとせず、比の1つ分を求めることです。

例えば、赤い玉と白い玉の比が3：2で、赤い玉が18個あるとします。

赤い玉18個が比の3にあたるため、比の1つ分は、

18÷3＝6個

です。

白い玉は比の2つ分なので、

6×2＝12個

となります。

途中式には、できるだけ次のように意味を書き添えましょう。

18÷3＝6個……比の1つ分
6×2＝12個……白い玉

「何となく割る」「何となくかける」という状態を防ぎやすくなります。

実際の量が比のどこに対応するかを見る

比の利用では、文章に書かれた実際の量が、比のどの部分に対応しているかを見つけることが重要です。

例えば、AとBの人数の比が4：7で、Aが24人なら、24人は比の4に対応します。

そのため、

24÷4＝6人

が比の1つ分です。

ここで24÷7としてしまう子は、求めたいBの比を使っています。

割るときに使うのは、求めたい側の比ではなく、分かっている実際の量に対応する比です。

問題文を読んだら、「この24人は、比の4と7のどちらに対応する？」と確認する習慣をつけましょう。

比の利用を解くときの見分け方

比の利用の文章題では、与えられている量が「全体」「差」「一方の量」のどれなのかを見分けます。

この判断ができれば、どの比を使って1つ分を求めればよいかが分かります。

全体が分かる問題では比を足す

兄と弟の所持金の比が3：2で、合計が2,500円だったとします。

合計2,500円は、兄と弟を合わせた比に対応します。

比の合計は、

3＋2＝5

です。

比の1つ分は、

2,500÷5＝500円

となります。

兄は、

500×3＝1,500円

弟は、

500×2＝1,000円

です。

全体の量が示されている場合は、比を足すのがコツです。

「合計」「全部で」「合わせて」といった言葉が、全体量を見分ける手がかりになります。

差が分かる問題では比を引く

AとBの長さの比が7：4で、長さの差が15cmの場合を考えます。

15cmは、AとBの合計ではなく、差に対応します。

比の差は、

7－4＝3

です。

比の1つ分は、

15÷3＝5cm

となります。

Aは、

5×7＝35cm

Bは、

5×4＝20cm

です。

差の問題で比を足してしまう子は少なくありません。

「15cmは2本を合わせた長さ？それとも長さの違い？」と聞くと、使う比を判断しやすくなります。

一方の量が分かる問題では対応する比で割る

AとBの人数の比が2：5で、Bが35人なら、35人は比の5に対応します。

比の1つ分は、

35÷5＝7人

です。

Aは、

7×2＝14人

となります。

一方の量が分かる問題では、比を足したり引いたりしません。

分かっている量を、それに対応する比で割ります。

問題を解く前に、

「全体が分かっている」
「差が分かっている」
「一方だけが分かっている」

のどれかを余白に書かせると、式の選び間違いを減らせます。

3つの量は共通する比をそろえる

中学入試では、A：BとB：Cから、A：B：Cを求める問題も頻出です。

例えば、

A：B＝2：3
B：C＝4：5

とします。

Bが一方では3、もう一方では4になっているため、そのまま並べることはできません。

3と4の最小公倍数である12にそろえます。

A：B＝8：12
B：C＝12：15

したがって、

A：B：C＝8：12：15

です。

3つの量を比べる問題では、共通して登場する量を探し、その比を同じ数字にそろえることがコツです。

応用問題まで解きやすくなる4つのコツ

比の利用は、人数や金額を分けるだけの単元ではありません。

速さ、図形、割合、食塩水、年齢算など、多くの問題に組み込まれます。

応用問題になるほど、式を急いで作るより、数量の関係を整理することが大切です。

線分図で同じ大きさのまとまりを描く

比の文章題が読みにくい場合は、線分図を使いましょう。

A：B＝3：2なら、Aを同じ長さの3区画、Bを2区画で表します。

全体が100個なら、3区画と2区画を合わせた5区画に100個と書きます。

差が20個なら、AとBの長さの違いである1区画に20個と書きます。

線分図を描く目的は、きれいな図を作ることではありません。

実際の数字が、比のどの部分に対応するかを目で確認することです。

定規を使わず、同じ大きさの区画が分かる程度に描けば十分です。

変化の前後で変わらない量を探す

難しい比の問題では、何かを加える、移す、使うといった変化が起こります。

例えば、兄と弟の所持金の比が5：3で、兄が弟に200円渡すと3：2になったとします。

お金を渡す前後で、兄と弟それぞれの金額は変わります。しかし、2人の合計金額は変わりません。

この「変わらない量」に注目して、前後の比の合計をそろえます。

変化前の比の合計は8、変化後は5です。

最小公倍数40にそろえると、

変化前：25：15
変化後：24：16

となります。

兄は1つ分減り、弟は1つ分増えています。その1つ分が200円です。

変化する問題では、「何が増えたか」だけでなく、「何が変わらないか」を探すことが大きなコツです。

割合や分数を比に直す

比の利用では、比が「3：2」の形で直接示されるとは限りません。

例えば、男子が全体の5分の3なら、女子は5分の2です。

したがって、

男子：女子＝3：2

となります。

また、AはBの60％なら、

A：B＝0.6：1

小数をなくすと、

A：B＝6：10＝3：5

です。

「AはBの何倍」「全体の何分のいくつ」「何％」という表現を比に直せると、問題を同じ型で整理できます。

割合と比を別々の単元として覚えず、同じ関係の表し方だと理解することが重要です。

途中の数字に意味を書き添える

比の問題では、計算途中に複数の数字が登場します。

例えば、全体84個を4：3に分けるなら、

4＋3＝7
84÷7＝12
12×4＝48
12×3＝36

と計算します。

数字だけが並んでいると、見直したときに何を求めたのか分かりません。

次のように書き添えましょう。

4＋3＝7……比の合計
84÷7＝12個……比の1つ分
12×4＝48個……兄
12×3＝36個……弟

途中の数字の意味を残すと、計算ミスだけでなく、考え方の間違いも見つけやすくなります。

家庭学習で比の利用を定着させる方法

比の利用を定着させるには、難しい問題をたくさん解くより、基本の判断を繰り返すことが効果的です。

家庭では、答えを教えるより、子どもが使う比を選べるように支えましょう。

簡単な数で考えてから式にする

抽象的な比が分かりにくい子には、具体的な数に置き換えて説明します。

例えば、2：3なら、赤いおはじき2個と青いおはじき3個を想像させます。

それぞれが2倍なら4個と6個、5倍なら10個と15個です。

比の関係を保ったまま、実際の数が増えることを確認します。

いきなり「比の1つ分」という言葉を教えるより、同じまとまりを何倍かした結果だと見せるほうが理解しやすい子もいます。

1日3問を同じ型でそろえる

家庭学習では、異なる型の問題を1問ずつ混ぜるより、同じ型を3問続ける方法がおすすめです。

例えば、全体量が分かる問題だけを3問解きます。

1問目は合計40個を1：3に分ける問題、2問目は合計70人を2：5に分ける問題、3問目は合計96円を5：3に分ける問題です。

問題の場面や数字が変わっても、

比を足す
全体を比の合計で割る
必要な比をかける

という流れは同じです。

同じ型を続けることで、解き方の共通点に気づきやすくなります。

答えより解き方を説明させる

正解したときも、「どうして比を足したの？」と確認しましょう。

「合計が分かっているから」「全部で比の5つ分だから」と説明できれば、考え方を理解しています。

反対に、正解していても「前の問題と同じようにした」としか答えられない場合は、手順を覚えただけかもしれません。

毎回すべて説明させる必要はありません。

1日1問だけでも、次の3点を言葉にさせましょう。

・与えられているのは全体、差、一方のどれか
・どの比を使って割ったか
・求めた1つ分は何を表すか

間違いの原因を4つに分ける

比の利用で間違えたら、原因を次の4つに分けます。

1．比を簡単にする計算の間違い
2．全体・差・一方の見分け間違い
3．実際の量と比の対応間違い
4．最後にかける比の選び間違い

例えば、差が12cmなのに比を足してしまった場合は、計算力ではなく文章の読み取りが原因です。

比の1つ分は正しいのに答えを間違えた場合は、最後に求める側の比を確認します。

すべてを「比が苦手」とまとめず、つまずいた場所だけを直せば、必要以上に問題数を増やさずに済みます。

まとめ｜比の利用は「対応」と「1つ分」がコツ

中学受験算数の比の利用を解くコツは、比の数字を実際の量だと思わず、同じ大きさのまとまりとして捉えることです。

問題文を読んだら、最初に実際の量が比のどこに対応しているかを確認しましょう。

全体が示されているなら比を足し、差が示されているなら比を引きます。一方の量が示されているなら、その量に対応する比で割ります。

そして、

実際の量÷対応する比＝比の1つ分

を求めます。

比の1つ分が分かれば、求めたい量に対応する比をかけるだけです。

文章だけで分かりにくいときは、線分図を使って同じ大きさの区画を描きます。変化する問題では、前後で変わらない全体量や差に注目してください。

割合、分数、速さ、図形などの問題でも、数量の関係を比に直せば同じ考え方を利用できます。

家庭学習では、1日3問程度を同じ型でそろえ、途中に「比の合計」「比の1つ分」と意味を書かせましょう。

答えを出す速さよりも、「どの比を使ったか」「1つ分が何を表すか」を説明できることが大切です。

比の利用は、公式を数多く覚える単元ではありません。

実際の量と比の対応を見つけ、いったん1つ分に戻す。この2つのコツを身につければ、条件が変わる応用問題にも落ち着いて対応できるようになります。