算数の灘・整数問題を攻略する家庭学習法

算数の灘・整数問題が難しく感じる理由

この記事では、そんな悩みに対して、灘中算数の整数問題でつまずく理由と、家庭で取り組める具体的な学習法を順を追って解説します。

灘中の算数では、整数に関する知識を覚えているだけでは対応しにくい問題が出されます。

「約数を求められる」「最小公倍数を計算できる」という段階から一歩進み、複数の条件を整理しながら、当てはまる整数を探す力が必要です。

整数問題が苦手な子に対して、いきなり難しい解法を教える必要はありません。まずは、どこで手が止まっているのかを確認することが大切です。

公式だけでは解けない問題が多い

一般的な整数の基本問題では、最大公約数や最小公倍数を求める方法を知っていれば解けることがあります。

しかし、灘中レベルになると、問題文の条件に合わせて知識を組み合わせなければなりません。

たとえば、次のような条件です。

「ある整数を6で割ると2余り、8で割ると4余る」

この問題では、単に6と8の最小公倍数を求めるだけでは答えにたどり着けません。

6で割って2余る数を、

2、8、14、20、26、32……

と書き出し、その中から8で割って4余る数を探す必要があります。

知識を使う前に、条件に合う数を実際に調べる姿勢が重要なのです。

条件を整理する力が求められる

整数問題でつまずく子の多くは、計算そのものよりも、問題文に書かれた条件を整理できていません。

条件が3つ以上になると、最初の条件を忘れたり、別の条件と混同したりします。

たとえば、

「3で割り切れる」
「5で割ると2余る」
「100より小さい」

という条件があれば、それぞれを短く書き直します。

・3の倍数
・5で割ると2余る数
・100未満

このように分けるだけでも、何を調べればよいのかが見えやすくなります。

文章を読んだだけで頭の中にすべて残そうとせず、条件を紙に移す習慣をつけましょう。

試行錯誤を途中でやめてしまいやすい

整数問題では、いくつかの数を試して規則を見つける場面があります。

ところが、算数が苦手な子ほど、「書き出すのは正しい解き方ではない」と思い込む傾向があります。

実際には、難関校の問題でも、小さな数から確かめることは立派な解法です。

10個の数を何となく試すのではなく、一定の間隔で並べることが重要です。

たとえば、7で割ると3余る数なら、

3、10、17、24、31……

と7ずつ増やして書きます。

正しく書き出せれば、調べる量はそれほど多くありません。試行錯誤を「遠回り」ではなく、「規則を発見するための作業」と捉え直すことが必要です。

灘中算数の整数問題で必要な3つの考え方

灘中の整数問題にはさまざまな形がありますが、土台となる考え方は限られています。

特に重要なのは、「約数と倍数」「余り」「規則性」の3つです。

一つずつ確実に身につけることで、初めて見る問題にも対応しやすくなります。

約数と倍数をセットで考える

約数と倍数は、別々の単元として覚えるより、関係を意識して学ぶ方が効果的です。

たとえば、12は3の倍数であり、3は12の約数です。

整数問題では、

「ある数が12で割り切れる」
「ある数が3と4の両方で割り切れる」

といった表現が同じ意味になることがあります。

また、約数の個数を考える問題では、かけ算の組を作る方法が役立ちます。

36なら、

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

と並べます。

ここから、36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

の9個だと分かります。

最初から約数を順番に探すより、かけ算の組を作る方が漏れを防ぎやすくなります。

余りの条件を小さな数で確かめる

余りの問題では、難しい式を立てる前に、条件に合う数を並べてみます。

たとえば、「4で割ると1余る数」は、

1、5、9、13、17……

です。

この並びは4ずつ増えます。

「6で割ると3余る数」なら、

3、9、15、21、27……

と6ずつ増えます。

2つの条件がある場合は、両方の並びに含まれる数を探します。

4で割ると1余り、6で割ると3余る数なら、共通する数は、

9、21、33、45……

です。

一つ見つけたあと、どのくらいずつ増えるかに注目すると、12ずつ増えていることが分かります。

これが、最小公倍数の考え方につながります。

規則性を表や並びから見つける

灘中の算数では、整数と規則性が組み合わされた問題も見られます。

規則を見つけるには、最初の数だけで判断せず、少なくとも4～5個は並べることが大切です。

たとえば、

1、4、9、16、25……

という並びがあれば、

1×1、2×2、3×3、4×4、5×5

と考えられます。

一方で、差を調べると、

3、5、7、9……

と奇数が並んでいることも分かります。

一つの見方だけでなく、

・何倍になっているか
・いくつ増えているか
・同じ形の式に直せないか

という複数の視点を持つと、規則を見つけやすくなります。

整数問題を解くときの具体的な手順

整数問題で安定して得点するには、ひらめきを待つのではなく、毎回同じ手順で考えることが重要です。

次の4段階を家庭学習でも繰り返してください。

条件を一つずつ短い言葉に直す

最初に、問題文の条件へ線を引きます。

そのうえで、余白に短く書き直します。

たとえば、

「2けたの整数で、7で割ると3余り、各位の和が8になる数」

なら、

・10～99
・7で割ると3余る
・十の位＋一の位＝8

と整理します。

文章のまま考えるより、条件を箇条書きにした方が見落としを減らせます。

最小の整数から実際に調べる

次に、最も扱いやすい条件から候補を出します。

先ほどの例なら、7で割ると3余る2けたの数を並べます。

10、17、24、31、38、45、52、59、66、73、80、87、94

この中で、各位の和が8になるものを探します。

17は1＋7＝8なので条件を満たします。

このように、候補を規則正しく並べれば、複雑に見える問題でも作業量を抑えられます。

見つけた規則を式で確かめる

書き出して答えを見つけたら、そこで終わりにしないことが大切です。

「なぜその間隔で数が並ぶのか」を言葉や式で確認します。

7で割ると3余る数は、

7×整数＋3

と表せます。

小学生に文字式を無理に教える必要はありません。

「7の倍数に3を足した数」と言い換えれば十分です。

この説明ができるようになると、書き出しから一般的な考え方へ進めます。

答えが条件を満たすか確認する

整数問題では、候補を見つけても、すべての条件を確認していないことがあります。

答えが17なら、

・2けたか
・7で割ると3余るか
・1＋7が8か

を一つずつ確認します。

検算は、同じ計算をもう一度行うだけではありません。問題文の条件へ戻り、答えを当てはめる作業です。

この習慣を身につけると、整数問題だけでなく、速さや図形の条件問題でもミスが減ります。

灘の整数問題に強くなる家庭学習法

灘中を目指しているからといって、最初から難問だけを解かせる必要はありません。

整数問題は、基礎知識、条件整理、試行錯誤の順に積み上げることで伸びます。

家庭では、問題の難度よりも、考え方を再現できるかを重視してください。

最初から灘中の過去問だけに取り組まない

整数が苦手な段階で灘中の過去問ばかり解くと、解説を読んで終わる学習になりやすいです。

まずは次の順番で進めます。

1段階目は、約数・倍数・余りの基本問題です。
2段階目は、条件が2つある問題です。
3段階目は、条件が3つ以上ある問題です。
4段階目で、灘中の過去問や難関校の整数問題に進みます。

目安として、基本問題を10問解いたときに8問以上を自力で解ける状態をつくってから、次の段階へ進むとよいでしょう。

正答率が5割程度なら、難問を増やすより、同じ難度の問題をもう一度解く方が効果的です。

1問を3回に分けて復習する

難しい整数問題は、1回の解き直しだけでは定着しません。

おすすめは、同じ問題に3回触れる方法です。

1回目は、解説を読んで理解します。
2回目は、翌日に何も見ずに解き直します。
3回目は、1週間後にもう一度解きます。

翌日に解けても、1週間後に手順を忘れていることは珍しくありません。

3回目でも自力で解ければ、考え方が定着した可能性が高いと判断できます。

ただし、数字だけを覚えている場合もあるため、「なぜその数から調べたのか」を説明させることが大切です。

保護者は答えより考え方を質問する

家庭で教えるとき、保護者がすぐに解法を説明すると、子どもは受け身になります。

そこで、次のように質問してみてください。

「条件はいくつある？」
「どの条件から使うと数を減らせそう？」
「最初の3個を書いてみるとどうなる？」
「同じ間隔で増えていない？」

このような質問なら、答えを直接教えずに、考える方向を示せます。

反対に、「どうして分からないの」「前にもやったでしょう」と声をかけると、整数問題に対する苦手意識が強くなりやすいので注意が必要です。

解けなかった原因を4種類に分ける

間違えた問題には、原因を書き残します。

原因は、次の4種類に分けると整理しやすくなります。

・知識不足
・条件の読み落とし
・調べ方が分からなかった
・計算ミス

たとえば、最小公倍数の求め方を忘れていたなら「知識不足」です。

条件を一つ使い忘れたなら「読み落とし」です。

原因によって、必要な復習は異なります。

すべてを「整数が苦手」でまとめてしまうと、何を直せばよいのか分かりません。

1週間分の間違いを確認し、「読み落としが3問」「知識不足が1問」のように数えるだけでも、次に優先すべき学習が見えてきます。

まとめ｜算数の灘・整数問題は整理と試行で伸ばせる

灘中算数の整数問題は、特別な才能だけで解くものではありません。

必要なのは、問題文の条件を短く整理し、小さな数から規則正しく調べ、見つけた規則を確かめる力です。

整数問題が苦手な子には、いきなり難しい公式を教えるのではなく、まず数を書き出す経験を積ませてください。

家庭学習では、約数・倍数・余りの基本を確認したあと、条件が2つ、3つと増える問題へ段階的に進みます。

保護者は答えを先回りして教えるのではなく、「どの条件から使う？」「数を並べるとどうなる？」と問いかけることが大切です。

一問ごとの正解だけを目標にせず、自分で条件を整理し、試し、確認する手順を身につければ、灘中レベルの整数問題にも少しずつ対応できるようになります。