中学受験算数の整数を攻略｜約数・倍数・余りのコツ

中学受験算数の整数が難しく感じる理由

この記事では、中学受験算数の整数でつまずく理由から、約数・倍数・余りなどの基本、典型問題の解き方、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

中学受験算数の「整数」は、一見すると計算中心の単元に見えます。

しかし実際は、ただ計算が速いだけでは解けません。

約数、倍数、素数、最大公約数、最小公倍数、余りなど、数が持っている性質を見つけて利用する力が問われます。

ここが整数を難しく感じる大きな理由です。

整数は覚える単元ではなく「性質を見抜く」単元

「最大公約数は連除法で求める」
「最小公倍数は掛け合わせる」

と手順だけ覚えている子は、基本問題なら解けても文章題になると止まりやすくなります。

たとえば、

「赤い玉24個と青い玉36個を、余りなく同じ内容の袋にできるだけ多く分ける」

という問題なら、求めるのは24と36の最大公約数です。

なぜなら、「できるだけ多く」「余りなく」「同じ数ずつ分ける」という条件があるからです。

つまり整数では、計算方法だけでなく問題文の条件と数の性質を結びつける力が必要になります。

約数・倍数・余りが別々に見えてつながっている

子どもは、

約数の問題
倍数の問題
余りの問題

を別々の単元として覚えがちです。

しかし入試ではこれらが組み合わされます。

たとえば、

「ある整数で割ると5余る数」

は、

「割る数の倍数に5を足した数」

と考えられます。

つまり、

整数＝割る数×商＋余り

です。

この考え方が分かっていると、余りの問題も倍数の問題として整理できるようになります。

条件を整理せず計算を始めると迷いやすい

整数問題が苦手な子に多いのが、問題を読んですぐ計算を始めることです。

たとえば、

「100以上200以下で、7で割ると3余る整数はいくつあるか」

という問題なら、まず

7×○＋3

という形になる数を考えます。

最初の数は101、最後の数は199です。

そこから、

101、108、115、122……

と7ずつ増える数列になります。

条件を式や並び方に直してから計算すると、整数問題はぐっと整理しやすくなります。

中学受験の整数で必ず押さえたい基本

整数の応用問題を解くには、まず基本用語を確実にしておく必要があります。

特に約数・倍数・素因数分解・最大公約数・最小公倍数・余りは、中学受験で頻出です。

約数と倍数の違いを説明できるようにする

12を例に考えてみましょう。

12の約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

一方、12の倍数は、

12、24、36、48……

と続きます。

約数は「その数を割り切れる数」、倍数は「その数を何倍かした数」です。

ここで大切なのは、答えを覚えることではありません。

子ども自身が、

「12÷3＝4だから3は12の約数」
「12×3＝36だから36は12の倍数」

と説明できる状態を目指しましょう。

素数・素因数分解は約数問題の土台になる

素数とは、1とその数自身の2個だけを約数にもつ整数です。

2、3、5、7、11、13……

などが代表例です。

素因数分解は、整数を素数の掛け算で表すことです。

たとえば60なら、

60＝2×2×3×5
＝2²×3×5

となります。

この素因数分解ができると、約数の個数、最大公約数、最小公倍数などが効率よく求められます。

整数が苦手な場合、応用問題へ進む前に素因数分解を素早くできるか確認してみてください。

最大公約数と最小公倍数を使い分ける

最大公約数は、複数の整数に共通する約数の中で最も大きい数です。

たとえば18と24なら、

18の約数：1、2、3、6、9、18
24の約数：1、2、3、4、6、8、12、24

なので最大公約数は6です。

一方、最小公倍数は共通する倍数の中で最も小さい数です。

18と24の最小公倍数は72です。

文章題では、

「同じ大きさに分ける」
「できるだけ大きく分ける」

なら最大公約数、

「何分後に再び同時になる」
「初めて同じ時刻になる」

なら最小公倍数を使うことが多くなります。

余りの問題は「割る数×商＋余り」で考える

整数aをbで割ってr余るなら、

a＝b×商＋r

と表せます。

たとえば、

「ある数を7で割ると3余る」

なら、

7×○＋3

という形です。

10、17、24、31、38……

と並びます。

また余りは、必ず割る数より小さくなります。

7で割った余りが8になることはありません。

こうした基本を言葉で理解しておくと、複雑な余りの問題でも式を作りやすくなります。

整数の典型問題を解くコツと具体例

整数では、よく出る問題の「考え方」を身につけることが大切です。

単に解法を暗記するのではなく、なぜその方法を使うのかまで確認しましょう。

約数の個数は素因数分解から考える

たとえば72の約数はいくつあるでしょうか。

72を素因数分解すると、

72＝2³×3²

です。

約数を作るとき、2は

2⁰、2¹、2²、2³

の4通りから選べます。

3は、

3⁰、3¹、3²

の3通りです。

したがって約数の個数は、

4×3＝12個

となります。

ポイントは指数に1を足すことです。

2³なら4通り、3²なら3通りと考えます。

ただし公式だけ覚えるのではなく、実際に小さい数で約数を書き出して仕組みを理解してから使うほうが定着します。

余りが同じ問題は「差」に注目する

整数の入試問題で非常によく出るのが、

「ある数で割るとどちらも同じ余りになる」

というタイプです。

たとえば、

「83と113をある整数で割ると、どちらも同じ余りになりました。割る数として考えられる整数を求めなさい」

という問題です。

83と113の余りが同じなら、その差、

113－83＝30

は割る数で割り切れます。

つまり割る数は30の約数です。

このように「同じ余り」という言葉を見たら、数どうしの差を考えるのが典型的な発想です。

条件に合う整数は範囲を絞って探す

整数問題では、すべてを書き出そうとすると時間がかかることがあります。

たとえば、

「100以上300以下の整数で、9の倍数かつ5で割ると1余る数」

を探すとします。

9の倍数をすべて調べるより、まず

5で割ると1余る数
＝101、106、111、116……

と考え、その中から9の倍数を探す方法があります。

逆に9の倍数から探しても構いません。

大切なのは、条件の厳しいほうから範囲を絞ることです。

規則性では小さい数を書き出して法則を見つける

整数問題は規則性と組み合わされることも多くあります。

たとえば、

1、2、3、4、5……と整数を書き並べたとき、ある条件に当てはまる数を探す問題です。

こうした問題では、いきなり一般的な式を作ろうとすると難しく感じます。

まず1～20程度の小さい整数で実際に調べ、

「3個ごとに繰り返している」
「偶数だけに現れる」
「6の倍数のときに一致する」

などの規則を見つけます。

中学受験算数では、書き出すことは遠回りではありません。

規則を見つけるための重要な作業です。

整数が苦手な子に家庭でできる勉強法

整数は、短期間で大量の問題を解くより、基本的な考え方を少しずつ定着させるほうが効果的です。

家庭では「説明できるか」を重視しましょう。

答えより「なぜそうなるか」を言葉にさせる

答えが合っていても、

「どうして最大公約数を使ったの？」

と聞いたときに説明できなければ、理解は十分ではありません。

たとえば、

「同じ数ずつ分けるから」
「両方を割り切れる一番大きい数だから」

と子どもの言葉で説明できれば理解が進んでいます。

親が長く解説するより、子どもに説明させるほうが理解度を確認しやすくなります。

1日10分で基本問題を反復する

整数は一度に長時間勉強するより、毎日少しずつ触れる方法が向いています。

たとえば1日10分、

月曜：約数
火曜：倍数
水曜：最大公約数
木曜：最小公倍数
金曜：余り

と分けてもよいでしょう。

1日5問でも1週間で25問、4週間なら100問になります。

難問をたくさん解くより、基本問題を素早く正確に処理できる状態を先に作ります。

間違えた問題は数字を変えてもう一度解く

整数問題では、答えを覚えてしまうと「できるようになった」と錯覚しやすくなります。

たとえば、

「24と36の最大公約数」

を間違えたなら、解き直しでは

「30と45」
「42と56」

など数字を変えて出してみます。

数字が変わっても同じ考え方が使えれば、解法を理解できています。

家庭学習では、問題そのものを覚えるのではなく、考え方を再現できる状態を目標にしてください。

まとめ｜中学受験算数の整数は数の性質を理解すれば強くなる

中学受験算数の整数では、約数・倍数・素数・最大公約数・最小公倍数・余りなど多くの内容が登場します。

そのため苦手な子は、「覚えることが多い単元」と感じやすいでしょう。

しかし、本当に重要なのは公式の暗記ではありません。

「割り切れるとはどういうことか」
「同じ余りならなぜ差が割り切れるのか」
「なぜ最大公約数を使うのか」

といった数の性質を理解することです。

整数が苦手なら、まず約数・倍数・素因数分解まで戻り、基本問題を自分の言葉で説明できる状態を作りましょう。

そして応用問題では、

条件を書き出す
数の差に注目する
小さい数で試す
規則を見つける

という順番で考えます。

整数は、仕組みが分かると一気に見通しがよくなる単元です。

家庭でも「答えは？」と聞くのではなく、「この数にはどんな特徴がある？」と問いかけてみてください。

数の性質を見る習慣が身につけば、整数だけでなく、規則性や場合の数など中学受験算数のさまざまな問題にも強くなっていきます。