中学受験算数｜旅人算の頻出パターン

中学受験算数で旅人算が頻出する理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数で頻出の旅人算の型と、家庭で優先すべき対策を順を追って解説します。

旅人算は速さの理解を問いやすい単元

中学受験算数の旅人算は、2人以上の人や乗り物が動く場面を考える速さの文章題です。名前は旅人算ですが、実際の問題では、兄弟、自転車、列車、犬、バスなど、さまざまなものが登場します。

旅人算が頻出する理由は、速さの基本理解を確認しやすいからです。単に「距離＝速さ×時間」を知っているだけでなく、2人の距離がどのように変化するかを考える必要があります。

たとえば、Aさんが分速70m、Bさんが分速50mで向かい合って歩くなら、1分間に2人の距離は120m縮まります。一方、同じ方向に進むなら、速さの差だけ距離が縮まります。このように、旅人算では公式暗記だけでなく、場面理解が問われます。

頻出なのは「動き」を整理する力が必要だから

旅人算では、誰がどこから出発し、どちらへ進むのかを整理する力が必要です。ここが中学受験算数らしいところです。

同じ速さの問題でも、1人だけが動く問題なら公式に当てはめやすいでしょう。しかし旅人算では、2人が同時に動いたり、片方が先に出発したり、途中で出会ったり追いついたりします。問題文を正しく読まないと、式を立てる前に混乱してしまいます。

入試や模試で旅人算が出やすいのは、計算力だけでなく、文章を読み取り、条件を整理し、図に表す力まで確認できるからです。つまり旅人算は、算数の総合力が表れやすい単元だといえます。

基本型を押さえると得点源にしやすい

旅人算は苦手にする子が多い一方で、基本型を押さえると得点源にしやすい単元でもあります。頻出パターンはある程度決まっているからです。

まず押さえたいのは、向かい合って出会う問題、同じ方向に進んで追いつく問題、出発時刻が違う問題の3つです。この3つを線分図で整理できるようになると、問題文が少し変わっても対応しやすくなります。

家庭学習では、最初から難しい応用問題に進む必要はありません。頻出型を1つずつ分けて練習し、「なぜ速さを足すのか」「なぜ引くのか」を説明できるようにすることが大切です。

旅人算の頻出パターン

向かい合って出会う問題

旅人算で最も基本的な頻出型が、2人が向かい合って進み、途中で出会う問題です。この型では、2人が互いに近づくため、速さを足して考えます。

たとえば、A地点とB地点が1200m離れていて、Aさんが分速70m、Bさんが分速50mで同時に向かい合って出発するとします。2人は1分間に70＋50＝120m近づきます。したがって、出会うまでの時間は1200÷120＝10分です。

この型で大切なのは、Aさんだけ、Bさんだけを別々に考えすぎないことです。2人が同時に動いているので、「2人合わせて1分間に何m近づくか」を見るのが近道です。

家庭では、「1分で2人の間は何m縮まる？」と聞いてみてください。子どもが速さの和を意味として説明できれば、出会いの問題は安定しやすくなります。

同じ方向に進んで追いつく問題

次に頻出するのが、同じ方向に進む追いつきの問題です。速い人が遅い人に追いつく場面では、速さを引いて考えます。

たとえば、BさんがAさんより300m先にいて、Aさんが分速80m、Bさんが分速50mで同じ方向に進むとします。Aさんは1分間に80－50＝30mずつ差を縮めます。したがって、追いつくまでの時間は300÷30＝10分です。

追いつき問題で大切なのは、「速い人がどれだけ進むか」ではなく、「2人の差がどれだけ縮まるか」を見ることです。ここが分かると、速さの差を使う理由が理解できます。

家庭では、「AさんはBさんより1分で何m多く進む？」と聞くと、追いつきの考え方がつかみやすくなります。

出発時刻が違う問題

旅人算の頻出型として、出発時刻が違う問題も重要です。たとえば、「Aさんが先に出発し、10分後にBさんが追いかける」という問題です。

この場合、まずBさんが出発する時点で、Aさんがどれだけ先に進んでいるかを考えます。Aさんが分速60mで10分先に出発していれば、60×10＝600m先にいることになります。その600mの差を、Bさんがどの速さの差で縮めるかを考えます。

この型は、出発時刻の読み落としが失点につながりやすい問題です。子どもは、2人が同時に出発したように考えてしまうことがあります。家庭学習では、線分図に時刻を書き込む習慣をつけるとよいでしょう。

旅人算で頻出問題を落とす原因

速さを足すか引くかで迷う

旅人算の頻出問題で最も多いミスは、速さを足すのか引くのかで迷うことです。向かい合う問題なら速さを足し、同じ方向に進む追いつき問題なら速さを引きます。

しかし、子どもは問題文の数字だけを見て、なんとなく足したり引いたりしてしまうことがあります。これは計算力不足ではなく、2人の動きが見えていないことが原因です。

式を書く前に、「2人は近づいているのか」「同じ方向に進んでいるのか」を確認しましょう。近づいていれば速さの和、同じ方向で差が縮まるなら速さの差です。この判断が旅人算の土台になります。

誰がどこにいるかを見失う

旅人算では、登場人物が2人以上になるため、誰がどこにいるのかを見失いやすくなります。特に、出発時刻が違う問題や、途中で休む問題、引き返す問題では、条件が増えて混乱しやすくなります。

たとえば、Aさんが先に出発し、Bさんがあとから追いかける問題では、Bさんが出発する時点でAさんがどこまで進んでいるかを先に出す必要があります。この確認を飛ばすと、追いつくまでの距離が分からなくなります。

旅人算では、頭の中だけで処理しようとしないことが大切です。線分図に、位置、時刻、向き、速さを書き込むことで、問題文の情報が整理されます。

単位をそろえないまま計算する

旅人算では、単位ミスも頻出です。距離がkmで書かれているのに、速さが分速mで示されている場合、そのまま計算すると答えがずれます。

たとえば、2km離れた地点から向かい合って歩く問題で、速さが分速80mと分速70mなら、2kmを2000mに直してから考えます。また、時速と分速が混ざっている場合は、時間の単位もそろえる必要があります。

旅人算が分かっている子でも、単位をそろえないだけで失点することがあります。家庭では、「距離と速さの単位はそろっている？」と式の前に確認する習慣をつけましょう。

家庭でできる旅人算の頻出対策

線分図で動きを見える化する

旅人算の頻出対策では、線分図を使うことが非常に大切です。線分図は、2人の位置関係と進む向きを見える形にするための道具です。

まず、出発地点を線の上に書きます。次に、AさんとBさんの位置を点で示し、進む方向を矢印で表します。向かい合っていれば矢印は内向き、同じ方向なら矢印は同じ向きになります。

この図を見ると、出会いなのか追いつきなのかが判断しやすくなります。きれいに描く必要はありません。大切なのは、誰がどこからどちらへ進むのか、距離がどう変わるのかを見えるようにすることです。

「1分で距離がどう変わるか」を確認する

旅人算では、「1分で2人の距離がどう変わるか」を確認することが大切です。出会いの問題なら、2人が進んだ分だけ近づきます。追いつきの問題なら、速い人が遅い人より多く進んだ分だけ差が縮まります。

たとえば、分速70mと分速50mで向かい合うなら、1分で120m近づきます。同じ方向なら、1分で20m差が縮まります。

家庭では、「この問題では1分で何m近づく？」「差は1分で何m縮まる？」と聞いてみてください。子どもが言葉で説明できるようになると、速さの和と差の使い分けが安定します。

頻出型を分けて少ない問題で練習する

旅人算の頻出対策では、最初から多くの問題を解く必要はありません。むしろ、頻出型を分けて少ない問題で練習するほうが効果的です。

まず出会いの問題だけを2〜3問、次に追いつきの問題だけを2〜3問、その後に出発時刻が違う問題へ進みます。型を分けることで、子どもは速さを足す場面と引く場面の違いを整理しやすくなります。

間違えたときは、答えを書き写すのではなく、「速さの和と差を間違えた」「出発時刻を見落とした」「単位をそろえなかった」と原因を分けましょう。次に同じ頻出型を見たとき、どこを確認すればよいかが明確になります。

まとめ

中学受験算数の旅人算は、速さの文章題の中でも頻出の単元です。出会い、追いつき、出発時刻が違う問題は、特に優先して対策しておきたい型です。

旅人算で大切なのは、公式を覚えることだけではありません。2人がどの向きに動いているのか、1分で距離がどう変わるのかを理解することです。向かい合って進む出会いの問題では速さを足し、同じ方向に進む追いつきの問題では速さを引きます。

頻出問題で失点する原因は、速さの和と差の混同、出発時刻や位置関係の読み落とし、単位の不一致です。家庭では、式を書く前に線分図を描き、「1分で距離はどう変わる？」と確認する習慣をつけましょう。

たくさんの問題を急いで解くより、頻出型を分けて少ない問題を丁寧に扱うほうが効果的です。出会い、追いつき、出発時刻違いの3つを順に練習すれば、旅人算は少しずつ得点源に変わっていきます。