中学受験算数｜旅人算の応用対策

中学受験算数の旅人算応用は何が難しい？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の旅人算応用でつまずく理由と、家庭でできる具体的な対策を順を追って解説します。

応用では速さの公式だけでは対応しにくい

中学受験算数の旅人算は、2人以上の人や乗り物が動く場面を考える速さの文章題です。基本では、向かい合って出会う問題や、同じ方向に進んで追いつく問題を学びます。

しかし応用になると、「距離＝速さ×時間」だけをそのまま当てはめても解けないことが増えます。なぜなら、出発時刻が違ったり、途中で休んだり、引き返したりする条件が加わるからです。

たとえば、Aさんが先に出発し、10分後にBさんが追いかける問題では、Bさんが出発する時点でAさんがどれだけ先に進んでいるかを考えなければなりません。基本公式を知っていても、この「どの時点を見るか」が分からないと式が立てられません。

旅人算の応用では、公式暗記よりも、場面を時間の流れに沿って整理する力が必要です。

出発時刻や向きの変化が加わる

旅人算の応用で難しくなる大きな理由は、動きが途中で変わることです。基本問題では、2人が同時に出発し、同じ速さで進み続けることが多いです。しかし応用では、片方が先に出発する、途中で休む、途中で速さが変わる、引き返す、といった条件が入ります。

このとき、子どもは「誰がいつどこにいるのか」を見失いやすくなります。数字だけを拾って式を作ろうとすると、まだ出発していない人の距離まで計算してしまったり、休んでいる時間も進んだものとして考えたりします。

応用問題では、まず時間の流れを区切ることが大切です。「出発前」「Bさんが出発した時点」「出会った時点」など、場面が変わるところで区切ると、条件が整理しやすくなります。

まず基本型との違いを見抜くことが大切

旅人算の応用といっても、まったく新しい考え方ばかりではありません。多くの応用問題は、基本型に条件が1つか2つ加わったものです。

たとえば、出発時刻が違う追いつき問題は、基本的には「追いつき」です。違うのは、追いかける人が出発する前に、先に出た人が進んでいる点です。つまり、最初にできた距離の差を求めてから、速さの差で縮めていきます。

応用問題を見たときは、「これは出会いに近いのか、追いつきに近いのか」をまず考えましょう。基本型が見えると、応用条件も整理しやすくなります。

旅人算応用でよく出るパターン

出発時刻が違う追いつき問題

旅人算応用でよく出るのが、出発時刻が違う追いつき問題です。たとえば、Aさんが分速60mで先に出発し、10分後にBさんが分速90mで追いかけるとします。

Bさんが出発する時点で、Aさんは60×10＝600m先にいます。この600mの差を、Bさんが1分あたり90－60＝30mずつ縮めていきます。したがって、追いつくまでの時間は600÷30＝20分です。

ここで大切なのは、「Bさんが出発した時点」を基準にすることです。子どもが混乱する場合は、線分図にAさんが先に進んだ距離を書き込み、そのあと追いつきの問題として考えると分かりやすくなります。

途中で止まる・休む問題

途中で止まる、休むという条件も、旅人算の応用でよく見られます。このタイプでは、休んでいる間は進んでいないことをきちんと反映する必要があります。

たとえば、Aさんが分速70mで進み、途中で5分休んだ場合、その5分間は距離が増えません。問題によっては、相手だけが進み続けるため、2人の距離関係が変わります。

このような問題では、全体の時間を一気に計算しようとすると混乱します。「進んだ時間」と「休んだ時間」を分けて考えましょう。休んだ時間を線分図や表に書き込むだけでも、条件の見落としを防ぎやすくなります。

引き返しや往復が入る問題

応用問題では、途中で引き返す、往復するという条件が入ることもあります。たとえば、Aさんが目的地まで行って戻ってくる途中でBさんと出会うような問題です。

このタイプでは、単純に2人の距離が縮まるだけではなく、ある時点で進む向きが変わります。そのため、最初から最後まで同じ式で処理しようとすると、どこを考えているのか分からなくなります。

引き返し問題では、必ず「向きが変わる地点」を図に書きましょう。そして、引き返す前と後で場面を分けます。応用問題ほど、図に時刻や向きを書き込むことが大切です。

旅人算応用で点を落とす原因

速さの和と差を場面で判断できない

旅人算応用でよくある失点は、速さを足すのか引くのかを場面で判断できないことです。向かい合って近づくなら速さの和、同じ方向に進んで差が縮まるなら速さの差を使います。

しかし応用では、途中で向きが変わることがあります。最初は同じ方向でも、途中で引き返して向かい合う形になることもあります。その場合、どの場面では和を使い、どの場面では差を使うのかを分けて考えなければなりません。

家庭では、「今この2人は近づいている？同じ方向？離れている？」と聞いてみてください。場面ごとに向きを確認するだけで、和と差の混乱は減らせます。

どの時点の距離を考えるか分からない

応用問題では、「どの時点の距離」を考えるかが非常に重要です。出発時刻が違う問題なら、あとから出発する人が出る時点の距離差を考えます。途中で休む問題なら、休み終わった時点での距離関係を考える必要があります。

子どもが旅人算応用で手が止まるのは、計算ができないからではなく、「今どの場面を見ているのか」が分からないことが多いです。

対策として、問題文を時間の流れで区切りましょう。「Aさん出発」「Bさん出発」「Aさん休む」「出会う」など、出来事ごとに印をつけると、考えるべき距離が見えやすくなります。

単位や時間の条件を見落とす

旅人算応用では、単位や時間条件の見落としも失点につながります。距離がkm、速さが分速m、時間が時間で書かれているような場合は、単位をそろえなければなりません。

また、「10分後に出発」「5分休む」「到着してから3分後に引き返す」などの時間条件も重要です。これらを読み落とすと、式は合っているように見えても答えがずれます。

家庭学習では、問題文の「分」「時間」「km」「m」に印をつける習慣をつけましょう。応用問題では、条件を見える化するだけでミスを大きく減らせます。

家庭でできる旅人算応用の対策

線分図に時刻・位置・向きを書き込む

旅人算応用では、線分図に情報を書き込むことが欠かせません。基本問題では位置と向きだけで足りることもありますが、応用では時刻や途中の出来事も必要になります。

線分図には、出発地点、進む向き、速さ、出発時刻、休んだ時間、引き返す地点などを書き込みます。すべてを頭の中で処理しようとすると、条件を見落としやすくなります。

きれいな図である必要はありません。子どもが「今、誰がどこにいるか」を見て分かる図で十分です。応用問題ほど、式より前の図が得点を左右します。

「1分で何が変わるか」を言葉にする

旅人算応用でも、基本は「1分で何が変わるか」を考えることです。2人が向かい合っているなら、1分で距離が速さの和だけ縮まります。同じ方向に進むなら、速さの差だけ縮まります。

途中で休む問題なら、休んでいる間は片方だけが進むのか、両方とも止まるのかを確認します。引き返し問題なら、引き返した後に2人の距離がどう変わるのかを考えます。

家庭では、「この場面では1分で何m近づく？」「この時間は誰が動いている？」と聞いてみてください。言葉で説明できるようになると、式の意味も安定します。

間違い直しは条件整理からやり直す

旅人算応用で間違えたときは、答えの式だけを直しても十分ではありません。必ず条件整理からやり直しましょう。

間違いの原因は、出発時刻を見落とした、休んでいる時間を進んだものとして扱った、向きが変わった後も同じ式を使った、単位をそろえなかった、などに分けられます。

ノートには、「Bさん出発時点の差を先に出す」「休んでいる間は進まない」「引き返したら向きが変わる」「kmはmに直す」など、次に使える一文を残しましょう。原因を言葉にすることで、応用問題への対応力が育ちます。

まとめ

中学受験算数の旅人算応用は、速さの公式を知っているだけでは安定しにくい単元です。出発時刻が違う、途中で休む、引き返す、往復するなど、条件が加わることで、場面整理の力が問われます。

応用問題を解くときは、まず基本型を見抜きましょう。出会いに近いのか、追いつきに近いのかを判断し、そのうえで追加された条件を整理します。向かい合う場面では速さの和、同じ方向で追いつく場面では速さの差を使います。

家庭では、線分図に時刻・位置・向きを書き込み、「1分で何が変わるか」を子どもに説明してもらいましょう。親が答えを教えるより、子ども自身が場面を言葉にすることが大切です。

旅人算応用で間違えたときは、式だけを直さず、条件整理からやり直します。どの時点の距離を考えるのか、誰が動いているのか、単位はそろっているのかを確認しましょう。

応用問題は難しく見えますが、多くは基本型に条件が加わったものです。焦らず、時間の流れを区切り、線分図で動きを見える化することで、旅人算応用は少しずつ得点につなげられます。