中学受験算数 図形の求積の解き方

中学受験算数で図形の求積の解き方が難しい理由

この記事では、中学受験算数の図形の求積でつまずく理由と、家庭で親が支えやすい解き方の手順を順番に解説します。

公式を覚えても使う図形が見えない

中学受験算数の図形の求積では、公式を覚えているのに解けないという悩みがよくあります。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」、台形の面積は「上底と下底の和×高さ÷2」と言えても、実際の問題になると手が止まる子は少なくありません。

理由は、求める部分が公式にそのまま当てはまる形で出てこないからです。入試や模試では、三角形と四角形が重なっていたり、円の一部だけを求めたり、複数の図形を組み合わせたりする問題が出ます。そのため、「どの図形の公式を使うか」より先に、「どの形として見るか」を判断する力が必要になります。

たとえば、複雑な形でも、補助線を引くと三角形と長方形に分けられることがあります。円の一部に見える図形も、扇形から三角形を引けば求められることがあります。つまり、求積の解き方は公式暗記だけでなく、図形を公式が使える形に直す力が土台になります。

家庭では、すぐに「どの公式を使うの？」と聞くより、「これは何の形に分けられそう？」と聞く方が効果的です。図形の求積は、計算より前の見方で大きく差がつきます。

足す・引く・分けるの判断で止まる

図形の求積で子どもが迷いやすいのは、「足すのか、引くのか、分けるのか」の判断です。公式は覚えていても、求めたい部分が複雑な形になると、どこから手をつければよいか分からなくなります。

求積の基本方針は、大きく3つです。まず、複雑な図形をいくつかの基本図形に分けて、それぞれの面積を足す方法です。次に、大きな図形全体から不要な部分を引く方法です。そして、同じ高さや同じ底辺を利用して、面積比で求める方法です。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けて足すこともできますし、大きな長方形から欠けている小さな長方形を引くこともできます。どちらでも解けますが、数字がそろっている方を選ぶと計算が楽になります。

求積が苦手な子は、最初から一つの正解手順を探そうとして固まりがちです。しかし、図形の求積では、複数の解き方があることも多いです。「足せる形に分ける」「大きく見て引く」「比で関係を見る」という3つの視点を持つと、考え始めやすくなります。

図の条件を整理しないまま計算してしまう

図形の求積で失点が多い子は、図の条件を整理しないまま計算に入ってしまうことがあります。問題文に書かれている長さ、平行、等しい辺、半径、中点などの条件を図に書き込まないと、使える情報を見落としやすくなります。

特に中学受験の図形問題では、図が正確な縮尺で描かれていないことがあります。見た目で「この辺は同じくらい」「ここは直角に見える」と判断すると、間違いにつながります。使ってよいのは、問題文に書かれている条件と、図形の性質から説明できる事実だけです。

求積では、底辺、高さ、半径、直角、平行、等しい長さを図に書き込むことが大切です。三角形なら底辺と高さ、円なら中心と半径、台形なら上底・下底・高さを確認します。条件を書き込むだけで、「ここを引けばよい」「この2つは同じ高さだ」と気づける場合があります。

家庭学習では、計算式を書く前に、図に印を入れる時間を作りましょう。式が立たない原因は、計算力ではなく、図の情報整理にあることが多いです。

図形の求積の解き方で最初に確認する基本

求める面積が「全体」か「一部」かを見る

図形の求積を解くとき、最初に確認したいのは、求める面積が全体なのか、一部なのかです。ここを確認しないまま計算を始めると、途中で何を求めているのか分からなくなります。

全体の面積を求める問題なら、図形全体を基本図形に分けて足す方法が使いやすいことがあります。反対に、色のついた部分や重なった部分など、一部の面積を求める問題では、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。

たとえば、正方形の中に円がある問題で、円の外側の部分を求めるなら、正方形の面積から円の面積を引きます。三角形の中に小さな三角形がある問題なら、大きな三角形から小さな三角形を引くと求められることがあります。

家庭では、問題を読んだ直後に「求めるのは全部？それとも一部？」と聞いてみましょう。この一言だけで、子どもは足すのか引くのかを考えやすくなります。求積の解き方は、まず求める範囲を正確に見ることから始まります。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

図形の求積では、底辺・高さ・半径を図に書き込むことが大切です。面積公式を使うためには、どこが底辺で、どこが高さで、どこが半径かを正しく見つけなければなりません。

三角形の面積では、底辺と高さが直角に交わることが重要です。斜めの辺を見て、何となく高さだと思ってしまうと間違えます。台形では、上底・下底・高さを確認します。円では、中心から円周までが半径です。直径が分かっている場合は、半径がその半分になることも忘れてはいけません。

たとえば、三角形の底辺が横向きでなくても、底辺として見る辺を決めれば、それに垂直な長さが高さになります。図の向きに惑わされず、「底辺に対する高さ」を探すことが大切です。

家庭では、式を書く前に「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」と確認しましょう。求積でミスが多い子ほど、公式そのものではなく、使う数の選び方でつまずいています。

同じ高さ・同じ底辺から面積比を考える

中学受験算数の図形の求積では、面積比を使う問題もよく出ます。特に、三角形が複数ある図形では、「同じ高さ」と「同じ底辺」を見つけることが重要です。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で、底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方を使えると、すべての長さを求めなくても、面積の関係を整理できます。特に、平行線がある図形では、同じ高さの三角形が見つかりやすくなります。台形の中にできる三角形や、平行四辺形の中に線が引かれた問題でもよく使われます。

家庭で教えるときは、「この2つの三角形は高さが同じかな？」「底辺の比は分かるかな？」と聞いてみましょう。面積比を使えるようになると、求積問題の解き方が広がります。

中学受験算数 図形の求積でよく使う解き方

分けて求める解き方

図形の求積でまず身につけたいのが、複雑な図形を分けて求める解き方です。見た目が複雑でも、長方形、三角形、台形、円、扇形などの基本図形に分ければ、公式を使えるようになります。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けて、それぞれの面積を足すことができます。五角形のように見える図形も、三角形と四角形に分ければ求めやすくなることがあります。円が入った図形でも、半円や扇形に分けると、計算できる形になります。

分けるときのポイントは、無理に細かく分けすぎないことです。図形を細かくしすぎると、必要な長さが分からなくなったり、計算が増えたりします。できるだけ、すでに長さが分かっている辺を使って分けるとよいでしょう。

家庭では、「この図形は何と何に分けられる？」と聞いてみてください。子どもが「長方形と三角形」「台形と三角形」などと言えれば、求積の入口が見えています。

全体から引く解き方

求積では、全体から不要な部分を引く解き方もよく使います。特に、求めたい部分が複雑な形をしているときは、直接求めるよりも、大きな図形から余分な部分を引く方が簡単です。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の部分を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けた形なら、大きな長方形の面積から欠けた部分の面積を引けば求められます。

この解き方で大切なのは、「全体」と「不要な部分」をはっきりさせることです。図に色や印をつけて、求めたい部分と引く部分を区別すると、ミスが減ります。

家庭では、「直接求めにくいなら、大きく見て引けないかな？」と声をかけてみましょう。図形の求積では、難しく見える部分ほど、全体から引く発想が役立つことがあります。

比を使って求める解き方

中学受験算数の求積では、比を使って面積を求める解き方も大切です。すべての長さが分からなくても、面積の比が分かれば、全体の面積から一部分の面積を求められることがあります。

たとえば、同じ高さの三角形で底辺の比が1：2なら、面積の比も1：2です。全体が3つ分で、そのうち1つ分を求めるという考え方ができます。台形や平行四辺形の中の三角形でも、この考え方はよく使われます。

比を使う問題では、最初に「何と何を比べるか」を決めることが大切です。図の中に三角形が多くある場合、どの三角形どうしが同じ高さなのか、どの底辺が対応しているのかを見つけます。

家庭では、「全部の面積を出さなくても、比で分からないかな？」と聞いてみましょう。比を使えるようになると、求積問題を速く、すっきり解ける場面が増えていきます。

家庭でできる図形の求積の練習法

式の前に図へ条件を書き込む

家庭で図形の求積を練習するときは、式を書く前に図へ条件を書き込む習慣をつけましょう。求積が苦手な子は、すぐに計算を始めようとして、どの数を使えばよいのか分からなくなることがあります。

まず、分かっている長さを図に書き込みます。底辺、高さ、半径、直径、上底、下底など、面積公式に必要な数を整理します。等しい長さには同じ印、直角には直角マーク、平行線には矢印をつけます。

次に、求めたい部分に印をつけます。全体を求めるのか、一部を求めるのかを目で見えるようにしておくと、足すのか引くのかを判断しやすくなります。

家庭では、子どもが式を書き始める前に「図には全部書き込んだ？」と確認しましょう。求積のミスは、式そのものより、図の読み取り不足から起こることが多いです。

1問ごとに「なぜその解き方か」を説明する

図形の求積を伸ばすには、答えが合っているかだけでなく、「なぜその解き方を選んだのか」を説明できるかが重要です。求積問題は、解説を読むと分かった気になりやすい単元です。

たとえば、分けて求めたなら、「なぜその形に分けたのか」を確認します。全体から引いたなら、「何を全体として見て、何を引いたのか」を説明します。比を使ったなら、「同じ高さはどこだったのか」「底辺の比は何だったのか」を言葉にします。

親が長く解説する必要はありません。短く「どうして足したの？」「なぜ引いたの？」「どこが同じ高さ？」と聞くだけで十分です。

正解していても説明できない場合は、たまたま手順を覚えていただけかもしれません。逆に、答えが間違っていても、考え方を説明できるなら修正しやすくなります。家庭学習では、正解数よりも再現できる解き方を増やすことを意識しましょう。

間違いを原因別に復習する

図形の求積で点数を伸ばすには、間違えた問題を原因別に復習することが大切です。すべてを「求積が苦手」でまとめてしまうと、何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、底辺と高さを取り違えた、半径と直径を間違えた、全体から引く発想が出なかった、不要な部分まで足してしまった、同じ高さを見落とした、面積比を使えなかった、最後に求める部分を取り違えた、などです。

原因が分かれば、次に戻るべき学習がはっきりします。半径と直径を間違えたなら円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら面積比を練習します。全体から引く発想が出なかったなら、差し引きの求積問題を3問ほど解き直します。

復習ノートには、「半径と直径を間違えた」「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」など、一言で原因を書きましょう。間違いは、次に得点するためのヒントになります。

まとめ

中学受験算数の図形の求積は、公式を覚えるだけでは安定しにくい単元です。大切なのは、図形を公式が使える形に直し、足す・引く・分ける・比で考えるという解き方を選べるようにすることです。

まず、求める面積が全体なのか一部なのかを確認しましょう。次に、底辺・高さ・半径を図に書き込みます。面積比を使う問題では、同じ高さ・同じ底辺に注目します。

よく使う解き方は、分けて求める方法、全体から引く方法、比を使って求める方法です。どの方法を選ぶ場合でも、式を書く前に図へ条件を書き込み、「なぜその解き方を選んだのか」を説明できるようにすることが大切です。

家庭では、親が長く解説するより、「全部を求めるの？一部を求めるの？」「何を引くの？」「どこが同じ高さ？」と短く問いかけましょう。間違いは原因別に分けて復習すれば、求積問題は少しずつ得点源に変えられます。