中学受験算数 展開図の過去問対策

中学受験算数の展開図は過去問で差がつく

この記事では、中学受験算数の展開図を過去問でどう対策するか、頻出形式の見分け方から家庭での解き直し、時間配分まで順を追って解説します。

問題集と過去問では求められる力が違う

展開図は、問題集では解けていても、志望校の過去問になると急に正答率が下がりやすい分野です。

問題集では、「向かい合う面を答えなさい」「重なる辺を選びなさい」のように、使う考え方が分かりやすく整理されています。同じ形式の問題が続くため、子どもも何を調べればよいか判断しやすいでしょう。

一方、過去問では、展開図を組み立てた後の辺や頂点を答えさせたり、サイコロを転がしたり、立体表面上の最短距離を求めたりします。問題を見た時点で、面・辺・頂点・距離のどれを追うのかを自分で判断しなければなりません。

たとえば、直方体の表面上にある二点間の最短距離では、展開図を完成させること自体が目的ではありません。二点を結ぶ経路が通る面だけを開き、平面上の直線として考えます。

過去問で必要なのは、展開図を知っていることではなく、問いに合わせて必要な情報だけを取り出す力です。

展開図は複数単元と組み合わされる

入試の展開図は、空間図形だけで完結するとは限りません。場合の数、規則性、速さ、長さの計算などと組み合わされることがあります。

サイコロを碁盤目状の道に沿って転がす問題では、面の移動だけでなく、何回後に同じ向きへ戻るかという周期性を使う場合があります。最短距離では、展開後にできた長方形の対角線や、複数の経路の比較が必要です。

また、立方体になる展開図を何通り作れるか、条件を満たす面の配置は何通りあるかと問われれば、場合分けの力も求められます。

子どもが「習ったことのない展開図だ」と感じても、実際には既に学んだ基本の組み合わせであることが少なくありません。

過去問を復習するときは、単に「展開図」と記録するのではなく、「展開図＋サイコロ」「展開図＋最短距離」「展開図＋場合分け」のように、組み合わされた内容まで残しましょう。

点数だけでなく途中の書き込みを確認する

過去問演習では得点が気になりますが、展開図では途中の書き込みに理解度が表れます。

確認したいのは、基準となる面に印をつけているか、折る方向を矢印で示しているか、重なる辺や頂点に記号を書いているかという点です。

答えが合っていても、図に何も書かず「何となく」で選んでいる場合は、配置が変わると再現できない可能性があります。反対に、最後の答えを間違えていても、面の位置まで正しく決められているなら、辺の向きや計算だけを直せばよいこともあります。

過去問は、合格最低点との差を知るだけの教材ではありません。入試本番で使える手順が身についているかを確認する教材です。

家庭では、丸付けの後に答案を消さず、「どこまで正しく考えられていたか」を途中過程から見つけてください。

展開図の過去問で押さえたい頻出形式

向かい合う面・重なる辺・頂点

展開図の過去問で基本となるのが、向かい合う面、重なる辺、同じ頂点になる点を特定する問題です。

向かい合う面を探すときは、問われている面を底面などの基準にします。その周囲の面を一枚ずつ起こし、最後にふたをする面を確認します。その面が基準面と向かい合います。

重なる辺では、辺全体だけでなく、両端の頂点まで追うことが重要です。一方の辺を「ア」、両端を①・②としたら、重なる辺のどちらの端が①になるかまで確認します。

立方体の一つの頂点には三つの面が集まります。したがって、同じ頂点になる点は、完成後に集まる三面の組み合わせから絞ることができます。

この形式は大問の前半に置かれることも多く、難問へ進むための条件になる場合があります。感覚ではなく、短時間で正確に処理できる状態を目指しましょう。

サイコロの回転と面の位置

サイコロの問題では、まず向かい合う面を3組整理します。向かい合う二面は、どの向きへ回しても隣り合わないため、位置を判断する基準になります。

次に、一つの面を上面として固定し、その周りにある前後左右の面を確認します。サイコロを転がす問題では、一度に最終状態を考えず、1回転がすごとに上面と底面を書き換えましょう。

たとえば右へ転がすと、右側面が新しい底面になり、元の上面が右側面へ移ります。この変化を小さな表にすると、頭の中で覚える負担を減らせます。

同じ方向へ4回転がすと元の向きへ戻るなど、周期が使える問題もあります。ただし、規則だけを暗記するのではなく、最初の数回を正しく記録したうえで周期を見つけることが大切です。

家庭では実物のサイコロを使えますが、動かす前に答えを予想させてください。先に回してしまうと、確認にはなっても自力で考える練習にはなりません。

立体表面上の最短距離

立方体や直方体の表面上を進む最短距離も、展開図を利用する代表的な入試問題です。

立体上では折れ曲がって見える道も、通る面を平面へ開くと一直線になります。したがって、最初に始点と終点を結ぶ経路が、どの面を通るかを考えます。

隣り合う二面を通るなら、その二面を横につないだ長方形として考えます。三面を通る場合は、面を開く順番によって、できる長方形の縦と横が変わることがあります。

たとえば、たて3cm、横4cm、高さ5cmの直方体では、展開方法によって「3＋4と5」「3＋5と4」といった異なる長方形ができます。それぞれの対角線に当たる長さを比べ、最も短いものを選びます。

一つの展開図を描いて終わらず、ほかの経路がないかを確認することが重要です。ただし、対称な経路は同じ長さになるため、重複して調べる必要はありません。

展開図の過去問を解く基本手順

最初に問題の種類と求めるものを確認する

展開図の過去問を見たら、すぐに頭の中で組み立て始めないようにしましょう。

最初に、何を求める問題かを分類します。向かい合う面、重なる辺、頂点、サイコロの面、最短距離のどれなのかを確認し、問題文の最後へ線を引きます。

問われているものによって、追う情報は異なります。面の問題なら完成後の面の位置、辺の問題なら面を決めた後の辺の向き、最短距離なら通る面の組み合わせを調べます。

すべての面・辺・頂点を完全に整理しようとすると、時間がかかるうえにミスも増えます。問われている部分だけを追うことが、過去問を速く解くポイントです。

基準面を固定して必要な面だけ追う

次に、動かさない基準面を一つ決めます。問題で面Aや辺アが指定されているなら、それを含む面を基準にすると整理しやすくなります。

基準面には丸をつけ、問題を解き終えるまで変更しません。その周囲の面を一枚ずつ起こし、完成後にどこへ来るかを書き込みます。

複雑な過去問ほど、六面すべてを完成させようとしないことが大切です。辺アと重なる辺を求めるなら、辺アを含む面と、その周辺にある面を優先します。

途中で混乱した場合は、最初からやり直すのではなく、「基準面はどれか」「どの面まで位置が確定したか」へ戻りましょう。

辺の両端と頂点まで記号で整理する

重なる辺や頂点を問われたら、頭の中だけで対応を覚えず、図へ記号を残します。

辺アの両端を①・②とし、重なる候補の辺にもアと書きます。折ったときに、どちらの端が①と一致するかを確認します。

辺同士が正しく重なっていても、両端を逆にすると頂点問題で失点します。上端同士が一致するとは限らず、一方の上端と他方の下端が重なる場合もあるからです。

書き込みが多くなって見にくい場合は、問われている面の周辺だけをノートへ大きく描き直してください。正確な立体図を描く必要はありません。面・辺・頂点の関係が見えれば十分です。

家庭でできる展開図の過去問復習法

解説を見る前に止まった場所を特定する

過去問で間違えたら、すぐに模範解答を読まず、どこで止まったかを確認します。

基準面を決められなかったのか、面の位置は分かったが辺を逆にしたのか、サイコロの途中経過を飛ばしたのか、最短距離の経路を一つしか調べなかったのかを分けましょう。

たとえば最短距離の答えが違っていても、原因が長さの計算とは限りません。通る面を誤って展開しているなら、計算練習ではなく、面のつながりへ戻る必要があります。

復習ノートには、「展開図で間違えた」ではなく、「最短距離・経路不足」「辺の両端を逆」のように具体的に残します。

原因を特定してから解説を読むと、自分の考えと模範解答の違いを比較しやすくなります。

当日・翌日・1週間後に解き直す

過去問の解き直しは、一度で終わらせないことが大切です。

当日は、紙を折ったり、矢印や記号を書いたりして、解法の意味を確認します。この段階では時間を気にせず、なぜその答えになるかを理解します。

翌日は、解説や実物を見ず、同じ問題を最初から解きます。基準面を決めるところから再現できるかを確認しましょう。

1週間後には、同じ年度の問題を再び解くより、似た形式の類題や別年度の問題へ取り組みます。配置や記号が変わっても同じ手順を使えれば、考え方が定着しています。

すべての問題を繰り返す必要はありません。自力で始められなかった問題、感覚で正解した問題、志望校で繰り返し出ている形式を優先してください。

志望校に合わせて時間配分を決める

展開図の出題内容や難度は学校によって異なります。向かい合う面や辺の対応を中心に問う学校もあれば、最短距離やサイコロの規則性まで出す学校もあります。

過去問を数年分解いたら、「面」「辺・頂点」「サイコロ」「最短距離」に分類し、出題回数と難度を記録しましょう。頻出形式には学習時間を多めに配分します。

本番では、すべての展開図を完答する必要はありません。大問前半の面や辺の問題を短時間で確保し、後半の難問へ進むかを判断します。

1〜2分考えても基準面や経路の候補を決められない場合は、いったん後回しにする選択も必要です。

過去問の復習では、「解けたか」だけでなく、「本番なら何分使うべきだったか」「後回しにすべき問題だったか」まで確認してください。

まとめ

中学受験算数の展開図は、過去問を使うことで、基本知識を入試で使える力へ変えられます。ただし、点数を確認し、解説を読むだけでは十分ではありません。

過去問では、向かい合う面、重なる辺・頂点、サイコロの回転、立体表面上の最短距離がよく問われます。最初に問題の種類と求めるものを確認し、基準面を固定して、必要な面だけを追いましょう。

辺を扱う場合は両端の頂点まで番号で整理し、最短距離では考えられる展開方法を比較します。すべてを頭の中だけで処理せず、必要な情報を図へ残すことが大切です。

家庭での復習では、解説を見る前に止まった場所を特定します。当日、翌日、1週間後と時間を空けて解き直し、配置が変わっても同じ手順を使えるか確認してください。

さらに、志望校の過去問を形式別に整理し、頻出分野へ学習時間を配分します。難問の完答だけを目指さず、大問前半の取るべき問題を確実に得点することも重要です。

展開図の過去問は、難しい問題に慣れるだけの教材ではありません。見る順番、書き込み方、時間の使い方を整えることで、入試本番の安定した得点力を育てる教材になります。