中学受験算数｜展開図の出題傾向と対策

中学受験算数の展開図は出題傾向を知ると対策しやすい

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数における展開図の出題傾向と、家庭で優先したい具体的な対策を順に解説します。

基本問題から複合問題まで幅広く出題される

展開図とは、立体の表面を辺に沿って切り開き、重ならないよう平面に広げた図です。立方体なら6枚の正方形、直方体なら向かい合う面が同じ大きさになる6枚の長方形で構成されます。

中学受験算数では、立方体になる展開図を選ぶ基本問題だけでなく、数字や模様の位置、辺・頂点の対応、表面積などを組み合わせた問題も出題されます。

たとえば、展開図の各面に記号があり、「組み立てたときにAと向かい合う面を答えなさい」と問う問題があります。難度が上がると、「Aを正面、Bを上面に置いたとき、右側に来る記号」を考えなければなりません。

さらに、直方体の展開図へ一部の長さだけが示され、残りの辺の長さや表面積を求める問題もあります。

展開図の対策では、正しい形を見分けるだけでなく、面がどこへ動き、どの辺と接するかまで説明できる状態を目指す必要があります。

面だけでなく辺・頂点の対応も問われる

展開図の基本は面の位置ですが、入試では辺や頂点まで問われることがあります。

立方体の1つの頂点には、3枚の面と3本の辺が集まります。ところが展開図では、組み立て後に同じ場所へ集まる頂点が、平面上では離れて描かれています。

この対応を頭の中だけで追うのは簡単ではありません。そこで、面にはA・B・C、辺には「あ・い・う」、頂点には①・②・③のように記号を書き込みます。

面の位置を決めた後で、共有する辺や頂点へ同じ記号を書き写すと、立体になったときの対応を整理しやすくなります。

難しい展開図ほど、頭の中だけで解くことにこだわる必要はありません。必要な情報を紙へ出し、正確に処理する力も入試で求められる大切な力です。

志望校ごとに頻出の型と難度が異なる

展開図は多くの学校で扱われる可能性がある分野ですが、出題の型や難度は学校によって異なります。

標準的な問題では、立方体になる展開図の判定や、向かい合う面を答える問題が中心です。難度が上がると、重なる辺・頂点、複数の条件を満たす模様の配置、直方体や柱体の表面積などが加わります。

志望校対策では、「展開図が出たか」だけでなく、「何を問われたか」を確認することが大切です。

過去問を見たら、「形の判定」「面の位置」「辺・頂点」「長さ・表面積」のように分類して記録しましょう。数年分を並べると、その学校で優先すべき練習が見えやすくなります。

ただし、志望校の難問だけを繰り返すのはおすすめできません。基本の組み立て手順を標準問題で固めてから、学校特有の出題へ進みましょう。

展開図で押さえたい頻出の出題傾向

立方体になる展開図を判定する問題

複数の図から、立方体になる展開図を選ぶ問題は、展開図の代表的な出題です。

正方形が6枚つながっていても、すべてが立方体になるわけではありません。組み立てたときに2枚の面が同じ位置へ重なる配置や、最後まで立体を閉じられない配置は不正解です。

解くときは、中央付近にある面を1枚選び、底面として固定します。次に、底面と辺を共有する面を前・後ろ・右・左へ1枚ずつ立てます。最後の1枚で上面を閉じられるかを確認します。

大切なのは、「見たことのある形だから」と判断しないことです。正解した後も、「この2枚は重ならない」「最後の面が上面になる」と理由を説明させましょう。

不正解の選択肢を紙で実際に折ると、どこで面が重なるのかを理解しやすくなります。

向かい合う面や模様の位置を求める問題

立方体には、向かい合う面が3組あります。上と下、前と後ろ、右と左です。

展開図で基準面を底面にすると、最後に上から閉じる面が向かい合う面になります。周囲へ立つ4枚の側面も、反対方向に立つ2枚ずつが向かい合います。

数字や模様が描かれた問題では、最初に向かい合う面を3組に分けると、条件を整理しやすくなります。

たとえば、「Aを正面、Bを上面に置いたとき、右に来る面」を求める場合は、AとBを途中で動かしてはいけません。図の近くへ「前A・上B」と書き、残る側面の左右関係を確認します。

右と左を取り違えやすい子には、記号を書いた付箋を箱へ貼り、問題と同じ向きへ置く練習が効果的です。実物で確認した後は、同じ位置関係を展開図だけで説明させましょう。

重なる辺・頂点を見つける問題

組み立てたときに重なる辺や頂点を答える問題は、面の問題より難度が上がります。

まず、基準面の4つの頂点に①②③④と番号をつけます。隣の面には、共有している頂点の番号を書き写します。面を順に折ったとき、どの番号が同じ場所へ集まるかを追います。

辺も同じように記号をつけて考えます。組み立てたときに接する2本の辺は、同じ2頂点を結ぶ位置へ来ます。

最初は同じ色を使って対応を確認しても構いません。ただし、入試本番では短時間で処理する必要があるため、慣れてきたら数字や文字だけで判断する練習へ移ります。

このタイプでは、面の位置が分からないまま辺や頂点を追わないことが重要です。最初に面、次に辺、最後に頂点という順番を守りましょう。

直方体や柱体の表面積と組み合わせる問題

展開図は、直方体や三角柱などの表面積とも組み合わされます。

たて4cm、横5cm、高さ3cmの直方体なら、面の大きさは「4×5」「5×3」「4×3」の3種類で、それぞれ2枚ずつあります。したがって表面積は、（4×5＋5×3＋4×3）×2＝94平方cmです。

展開図で考えると、どの大きさの面が何枚あるかを確認できます。また、組み立てたときに接する辺は、同じ長さでなければなりません。

三角柱なら、合同な三角形が2枚と、側面になる長方形が3枚あります。側面の横の長さは、底面の三角形の各辺に対応します。

公式へ数字を当てはめるだけでなく、「どの面の面積を何枚足したか」を説明できるようにしましょう。

出題傾向から分かる展開図の失点原因

正しい形を丸暗記している

立方体の展開図には複数の形がありますが、正しい配置を丸暗記するだけでは、入試で安定しません。

図が回転したり裏返されたりすると、覚えた形と別のものに見えるからです。また、数字や模様、辺の記号が加わると、形を知っているだけでは解けません。

必要なのは、正しい形の記憶ではなく、組み立てられるかを確認する手順です。

家庭では、「見たことのある形？」ではなく、「どの面を底にすると考えやすい？」「面は重ならない？」と問いかけましょう。

6枚の面を一度に動かしている

展開図で混乱する子は、6枚すべてを頭の中で同時に動かそうとする傾向があります。

最初に1枚を基準面として固定し、その面は動かしません。周囲の面を1枚ずつ立て、最後に上面を閉じます。

面へA～Fの記号を書き、「Aを底面にする」「Bを前へ立てる」と声に出すと、考えた順番を保ちやすくなります。

一度に処理する情報を減らすことが、正確さと速さの両方につながります。

解説を見て分かっただけで終わっている

展開図は、完成後の立体や正しい面の位置を見ると、理解したように感じやすい単元です。

しかし、翌日に同じ問題を出すと、最初の基準面を決められないことがあります。これは、解説の内容を理解できなかったのではなく、自力で手順を再現していない状態です。

解説を読んだら本を閉じ、展開図へ基準面、向かい合う面、重なる辺を書き込み直しましょう。

「見れば分かる」から「何も見ずに作り直せる」へ変えることが、入試で得点するために必要です。

家庭でできる展開図の出題傾向別対策

基準面から1枚ずつ折る手順を固定する

家庭学習では、展開図を見るたびに同じ手順を使わせましょう。

最初に基準面を1枚決めます。次に、基準面と接する面を側面として立てます。最後に、残った面で立体を閉じられるかを確認します。

毎回この順番を使えば、初めて見る配置でも最初の一手に迷いにくくなります。

紙を切って確認するのは最初の数回で構いません。その後は、指の動きや記号を使い、短時間で判断する練習へ移りましょう。

問題を面・辺・頂点に分類して練習する

展開図の問題を無計画に混ぜるより、考える対象別に分類すると効率よく練習できます。

最初は、立方体になる展開図や向かい合う面などの「面」の問題です。次に、組み立て後に接する「辺」の問題へ進みます。最後に、同じ場所へ集まる「頂点」を扱います。

同じ型を2～3問続けると、共通する手順に気づきやすくなります。

目安は、標準問題10問中7～8問を、解説なしで理由まで説明して解けることです。偶然正解した問題は、数日後にもう一度確認しましょう。

過去問で出題型と所要時間を記録する

過去問では、正解不正解だけでなく、展開図がどの型で出たかを記録します。

「形の判定」「面の位置」「辺・頂点」「表面積」のように分類し、年度ごとに並べると、志望校の対策方針を決めやすくなります。

同時に、何分使ったかも記録してください。基本的な面の問題に時間をかけすぎているなら、手順の反復が必要です。複雑な頂点問題で長く止まるなら、後回しにする判断も練習します。

展開図の大問を完答できなくても、前半の基本小問を短時間で取れれば、合格点につながります。

まとめ

中学受験算数の展開図は、立方体になる図の判定だけでなく、向かい合う面、数字や模様の位置、重なる辺・頂点、直方体や柱体の表面積などとして出題されます。

出題傾向を知ることで、家庭学習の優先順位を決めやすくなります。まず面の位置を整理し、その後に辺、頂点の対応へ進みましょう。

問題を解くときは、6枚の面を一度に動かしてはいけません。基準面を1枚決め、周囲の面を1枚ずつ立て、最後まで重ならずに閉じるかを確認します。

家庭では、問題を面・辺・頂点に分類して同じ型を反復し、解説を閉じた後に手順を再現してください。過去問では、出題型と所要時間を記録し、取る問題と後回しにする問題を決めます。

保護者は答えを先に教えるのではなく、「最初にどの面を固定する？」「この面の反対側はどれ？」「この辺はどこへ移る？」と問いかけてください。出題傾向に合った手順を身につければ、展開図は勘で解く単元から、根拠を持って得点できる単元へ変えられます。