図形の求積の基本｜中学受験算数

中学受験算数の図形の求積は基本が得点を左右する

この記事では、中学受験算数の図形の求積で基本を固めたいご家庭に向けて、最初に押さえるべき公式・図の見方・家庭での練習法を順番に解説します。

求積は公式暗記だけでは不十分

中学受験算数の図形の求積では、面積公式を覚えることが出発点です。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、長方形は「たて×横」、円は「半径×半径×3.14」といった基本は、必ず使えるようにしておきたい内容です。

ただし、公式を言えるだけでは求積問題は安定しません。実際の中学受験算数では、図形が斜めに置かれていたり、複数の図形が組み合わさっていたり、影の部分だけを求めたりする問題が多く出ます。そのため、子ども自身が「どこに公式を使うのか」を判断する必要があります。

たとえば、三角形の公式を知っていても、底辺と高さを取り違えると答えは合いません。長方形の中から三角形を引く問題でも、全体と不要な部分を区別できなければ式が作れません。

図形の求積の基本は、公式暗記に加えて、図の中から公式を使える形を見つけることです。家庭では、いきなり式を教えるより、「この中に知っている形はあるかな」と声をかけることが大切です。

基本は「どの形として見るか」を決めること

図形の求積で大切なのは、目の前の図形をどの形として見るかを決めることです。複雑に見える図形でも、三角形、長方形、台形、円の一部など、知っている形に直せば求められることが多いからです。

たとえば、へこんだ図形をそのまま見ると難しく感じます。しかし、大きな長方形から欠けた部分を引くと考えれば、基本公式だけで解けることがあります。斜めの線が入った図形も、三角形に分ければ考えやすくなります。

子どもが「この形は習っていない」と感じて止まる場合、知らない形をそのまま求めようとしていることがあります。そのときは、「習った形に分けられないかな」「大きな形から引けないかな」と聞いてみましょう。

求積の基本は、特別なひらめきではありません。知らない形を、知っている形に直すことです。この見方が身につくと、初めて見る図形にも落ち着いて対応できるようになります。

図に書き込む習慣が理解を助ける

図形の求積では、図に書き込む習慣がとても重要です。問題文に書かれた長さ、直角、平行、同じ長さ、求める部分を図に入れることで、考える材料が見えやすくなります。

特に、求める部分に印をつけることは基本中の基本です。影の部分や斜線部分を求める問題では、どこがほしい面積なのかをはっきりさせないと、足すのか引くのかがあいまいになります。

また、三角形や台形では、底辺や高さに印をつけると公式が使いやすくなります。平行線や直角がある場合も、図に目印を入れるだけで、同じ高さや長方形の関係に気づきやすくなります。

図に何も書かずに頭の中だけで考えると、条件を見落としやすくなります。家庭学習では、答えを出す前に「まず図に分かっていることを書こう」と声をかけましょう。書き込みは、求積の基本を支える大切な動作です。

図形の求積で最初に押さえる基本公式

三角形・四角形の面積を正しく使う

図形の求積の基本として、まず三角形と四角形の面積を確実に押さえましょう。中学受験算数では、この基本公式を組み合わせて解く問題が多くあります。

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。長方形は「たて×横」、正方形は「一辺×一辺」、平行四辺形は「底辺×高さ」、台形は「上底と下底の和×高さ÷2」です。

ここで大切なのは、公式を覚えるだけでなく、図の中のどの長さを使うのかを確認することです。特に三角形や平行四辺形では、高さが底辺に対して垂直になっているかを必ず見ます。

家庭では、公式を言わせるだけでなく、「この問題ではどこが底辺？」「高さはどこ？」「なぜ2で割るの？」と確認しましょう。公式と図が結びついて初めて、求積の基本が使える状態になります。

円とおうぎ形は半径と割合を見る

円やおうぎ形の求積では、半径と割合を見ることが基本です。円の面積は「半径×半径×3.14」です。直径ではなく半径を使う点に注意しましょう。

おうぎ形は、円全体の一部です。そのため、円全体の面積を求めたうえで、中心角の割合をかけます。たとえば中心角が90度なら、360度の4分の1なので、円全体の面積の4分の1になります。

円の問題でよくあるミスは、直径をそのまま半径として使ってしまうことです。直径が10cmなら、半径は5cmです。また、円と四角形が組み合わさった問題では、円の一部を求めるのか、全体から円の一部を引くのかを確認する必要があります。

家庭では、「半径はどこ？」「これは円全体？それとも何分の何？」と聞いてみましょう。円やおうぎ形の求積は、半径と割合を確認するだけでミスを減らせます。

底辺と高さをセットで確認する

図形の求積で最もつまずきやすい基本が、底辺と高さの関係です。三角形、平行四辺形、台形では、高さを正しく見つけられないと、公式を覚えていても答えが合いません。

高さとは、底辺に対して垂直な長さです。底辺をどこにするかによって、高さも変わります。三角形が斜めに描かれていると、子どもは斜めの辺を高さだと思ってしまうことがあります。しかし、その線が底辺に対して直角でなければ高さではありません。

たとえば、底辺が横向きなら、高さは上から下へまっすぐ下ろした長さです。底辺が斜めの場合は、高さも見つけにくくなることがあります。その場合は、補助線を引いて高さを見えるようにすることもあります。

家庭では、「高さはどこ？」だけでなく、「この底辺に対して直角になっている高さはどれ？」と聞くのがおすすめです。底辺と高さをセットで見る習慣が、求積の基本を安定させます。

中学受験算数 図形の求積の基本的な考え方

分ける：知っている形に直す

図形の求積で最初に使いたい考え方は「分ける」です。複雑な形を、三角形、長方形、正方形、台形、円の一部など、知っている形に分けて考えます。

たとえば、五角形のような形でも、線を1本引くと三角形と四角形に分けられることがあります。斜めの線が入った図形でも、三角形に分ければ「底辺×高さ÷2」で求められます。

分けるときのポイントは、「どこに線を引くと知っている形になるか」を考えることです。補助線という言葉を難しく感じる子もいますが、求積では「面積を出しやすい形にするための線」と考えれば分かりやすくなります。

子どもが手を止めたときは、「この形を三角形や長方形に分けられないかな」と聞いてみましょう。分ける見方は、図形の求積の基本として何度も使います。

引く：全体から不要な部分を除く

2つ目の基本は「引く」です。求めたい部分を直接出しにくいときは、大きな図形全体から不要な部分を引くと考えます。

たとえば、へこんだ図形の面積を求める場合、大きな長方形として見て、そこから欠けた三角形や長方形を引くことがあります。影の部分を求める問題でも、全体の面積から白い部分を引けば簡単になる場合があります。

引く考え方を使うときは、最初に「全体は何の形として見られるか」を確認します。大きな長方形、正方形、円など、求めやすい形が見えたら、その中から不要な部分を取り除きます。

家庭では、「直接出すのが難しそうだね。大きい形からいらない部分を引けないかな」と声をかけるとよいでしょう。求積では、直接求めるより、全体から引く方が簡単な問題が多くあります。

移す：同じ面積を動かして考える

3つ目の基本は「移す」です。同じ形や同じ面積の部分を動かして、求めやすい形に直す考え方です。

たとえば、影の部分が2つに分かれている問題でも、一部を動かすと1つの長方形になることがあります。円やおうぎ形がからむ問題でも、同じ形を移すことで、見慣れた形になる場合があります。

移す考え方は、最初は少し難しく感じるかもしれません。しかし、基本は「同じ形は場所が変わっても面積は変わらない」ということです。紙を切って動かすようなイメージを持つと、子どもにも伝わりやすくなります。

家庭で説明するときは、「この部分をここに動かしたら、どんな形になりそう？」と聞いてみましょう。実際に簡単な図を手書きして、同じ形に印をつけるだけでも理解しやすくなります。

家庭で図形の求積の基本を定着させる勉強法

求める部分に印をつけてから始める

家庭で図形の求積を練習するときは、まず求める部分に印をつけてから始めましょう。影の部分、斜線部分、面積を求めたい図形を丸で囲むだけで、問題の目的がはっきりします。

求める部分があいまいなまま式を書き始めると、どこを足すのか、どこを引くのかを間違えやすくなります。特に、全体から一部を引く問題では、求める部分と不要な部分を区別することが大切です。

次に、分かっている長さ、直角、平行、底辺、高さを図に書き込みます。この準備をすることで、分ける・引く・移すのどれを使うかが見えやすくなります。

家庭では、「まず求めるところに印をつけよう」「次に使えそうな長さを書こう」と声をかけてください。求積は、式を書く前の準備で正解率が大きく変わります。

親は式より「どう見たか」を聞く

図形の求積を家庭で教えるとき、保護者は式が合っているかだけを見るのではなく、子どもが図をどう見たかを確認しましょう。

おすすめの声かけは、「どこで分けたの？」「全体から何を引いたの？」「同じ形を移せそう？」「どこを底辺にしたの？」「高さはどこ？」です。

答えが合っていても、どう見たかを説明できなければ、次の問題で再現できないことがあります。反対に、答えが間違っていても、「全体から引く」という方針が合っていれば、修正しやすくなります。

求積問題は、計算だけでは理解度が分かりにくい単元です。子どもに短く「分けた」「引いた」「移した」と説明させることで、考え方が整理されます。親がすぐに解説するより、子ども自身に図の見方を言葉にさせる時間を作りましょう。

基本問題をくり返して型を定着させる

図形の求積の基本を定着させるには、難問より基本問題の反復が効果的です。難しい問題も、基本の組み合わせでできていることが多いからです。

まずは、三角形、長方形、正方形、平行四辺形、台形、円の基本公式を図と結びつけます。そのうえで、分ける、引く、移すの3つの型をくり返し練習しましょう。

1日15分でも構いません。1問を丁寧に扱い、求める部分に印をつけ、どの形に直すかを考え、解説を読んだ後にもう一度図へ再現します。問題数を増やすより、1問から学ぶ量を増やすことが大切です。

基本問題をくり返すと、子どもは初見の図形を見たときにも「これは分ける問題かな」「全体から引けそう」と考えられるようになります。求積は、基本の型を安定させることで得点源に変わります。

まとめ

中学受験算数の図形の求積の基本は、公式を覚えることだけではありません。公式を使える形を図の中から見つけ、複雑な図形を「分ける」「引く」「移す」で整理することが大切です。

まずは、三角形・四角形・円の基本公式を確認し、底辺と高さをセットで見る習慣をつけましょう。円やおうぎ形では、半径と割合を確認することが重要です。

家庭では、求める部分に印をつけてから始め、親は式より「どう見たか」を聞いてあげてください。難問に急ぐより、基本問題をくり返して型を定着させることが大切です。図形の求積は、基本を丁寧に固めれば、苦手から得点源へ変えていける単元です。