中学受験算数 図形の求積応用の解き方

中学受験算数で図形の求積応用が難しい理由

この記事では、中学受験算数の図形の求積応用でつまずく理由と、家庭でできる具体的な解き方・復習法を順番に解説します。

公式を覚えても応用問題では形が見えにくい

中学受験算数の図形の求積応用で多い悩みは、「公式は覚えているのに解けない」というものです。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、台形の面積は「上底と下底の和×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」と言えても、応用問題になると手が止まる子は少なくありません。

その理由は、応用問題では公式をそのまま使える形で図形が出てこないからです。三角形と四角形が重なっていたり、円の一部だけを求めたり、色のついた複雑な部分の面積を聞かれたりします。見た目が複雑になるほど、子どもは「どの公式を使えばいいのか」と迷いやすくなります。

しかし、応用問題でも土台は基本図形です。複雑に見える図形も、三角形、長方形、台形、円、扇形などの組み合わせでできていることが多いです。大切なのは、公式を増やすことではなく、図形を公式が使える形に整理することです。

家庭では、すぐに「どの公式を使うの？」と聞くより、「この形は何に分けられそう？」と声をかけてみましょう。応用の入口は、公式暗記ではなく図の見方にあります。

分ける・引く・比を使う判断が必要になる

図形の求積応用では、「分ける」「引く」「比を使う」の判断が必要になります。基本問題では、与えられた図形に公式を当てはめるだけで解けることもありますが、応用問題では最初に解き方の方針を選ばなければなりません。

「分ける」は、複雑な図形を基本図形に分けて、それぞれの面積を足す方法です。L字型の図形を長方形2つに分ける、五角形を三角形と四角形に分ける、といった考え方です。

「引く」は、大きな図形全体から不要な部分を引く方法です。正方形の中に円があり、円の外側を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。求めたい部分が複雑なほど、全体から引く発想が役立ちます。

「比を使う」は、同じ高さや同じ底辺を利用して面積比を考える方法です。すべての長さが分からなくても、比から一部分の面積を求められることがあります。

応用問題では、この3つを単独で使うだけでなく、組み合わせることもあります。だからこそ、問題を解いた後に「これは分けたのか、引いたのか、比を使ったのか」を確認することが大切です。

補助線や条件整理で差がつきやすい

図形の求積応用で差がつくのは、補助線や条件整理です。応用問題では、最初から必要な図形が見えているとは限りません。線を1本引くことで三角形や台形に分けられたり、円の中心から半径を引くことで等しい長さが見えたりします。

ただし、補助線は思いつきで引くものではありません。目的があります。基本図形に分けるため、全体から引く形にするため、同じ高さを作るため、円の半径を見えるようにするため、相似や合同を見つけるためなどです。

また、応用問題では問題文の条件も多くなります。長さ、直角、平行、等しい辺、中点、半径、直径などを図に書き込まずに考えると、使える情報を見落としやすくなります。

家庭では、子どもが補助線を引いたら「何を見つけるために引いたの？」と聞いてみましょう。目的を説明できるようになると、補助線は暗記ではなく、応用問題を解くための道具になります。

図形の求積応用で最初に確認したい基本

求める面積が全体か一部かを見極める

図形の求積応用では、最初に「求める面積が全体なのか、一部なのか」を確認することが大切です。ここを見落とすと、正しい公式を使っていても、違う部分の面積を出してしまいます。

全体の面積を求める問題なら、図形をいくつかの基本図形に分けて足す方法が使いやすいことがあります。一方で、色のついた部分、重なった部分、外側の部分などを求める問題では、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の面積を求めるなら、正方形の面積から円の面積を引きます。扇形の中に三角形がある問題では、扇形から三角形を引くことで求められることがあります。

家庭では、問題を読んだ直後に「求めるのは全部？それとも一部？」と聞いてみましょう。この確認だけで、足すのか、引くのか、分けるのかを考えやすくなります。応用問題ほど、最初に求める範囲をはっきりさせることが重要です。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

図形の求積応用では、底辺・高さ・半径を図に書き込む習慣が欠かせません。公式を知っていても、そこに入れる数を間違えると正解にはなりません。

三角形では、底辺と高さが直角に交わることを確認します。底辺に対して垂直な長さが高さです。台形では、上底・下底・高さを区別します。円では、中心から円周までが半径であり、直径が分かっている場合は半分にしてから使います。

応用問題では、必要な長さが図にそのまま書かれていないこともあります。その場合でも、等しい長さ、中点、平行、直角、半径などの条件を書き込むことで、求められる長さが見えてくることがあります。

家庭では、式を書く前に「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」「直径をそのまま使っていない？」と確認しましょう。応用問題での失点は、難しい考え方ではなく、基本情報の見落としから起こることも多いです。

同じ高さ・同じ底辺から面積比を考える

中学受験算数の図形の求積応用では、面積比を使う問題もよく出ます。特に、複数の三角形が出てくる問題では、「同じ高さ」と「同じ底辺」を見つけることが重要です。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で、底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方を使うと、すべての長さが分からなくても、一部分の面積を求められることがあります。平行線がある図形では、同じ高さの三角形が隠れていることが多くあります。台形、平行四辺形、三角形の中に線が引かれた図形では特によく使われます。

家庭では、「この2つの三角形は高さが同じかな？」「底辺の比は分かるかな？」と確認してみてください。面積比が使えるようになると、応用問題でも計算に頼りすぎず、すっきり解ける場面が増えます。

中学受験算数 図形の求積応用で使う解き方

複雑な図形を基本図形に分ける

図形の求積応用でまず使いたいのが、複雑な図形を基本図形に分ける解き方です。見た目が難しくても、長方形、三角形、台形、円、扇形などに分ければ、公式を使える形になります。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けて、それぞれの面積を足すことができます。五角形のような図形も、三角形と四角形に分ければ求めやすくなることがあります。円を含む問題でも、半円や扇形として見れば計算しやすくなる場合があります。

分けるときのポイントは、すでに分かっている長さを使えるように分けることです。むやみに細かく分けると、必要な長さが分からなくなったり、計算が増えたりします。

家庭では、「この図形は何と何に分けられる？」と聞いてみましょう。子どもが「長方形と三角形」「台形と三角形」など、基本図形の名前で説明できれば、応用問題の入口が見えています。

全体から不要な部分を引く

求めたい部分が複雑な形をしているときは、直接求めるよりも、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。これは図形の求積応用で非常によく使う考え方です。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けている図形なら、大きな長方形の面積から欠けた部分を引けば求められます。

扇形と三角形が組み合わさった問題でも、扇形から三角形を引く、または大きな図形から不要な部分を引く発想がよく使われます。直接求めたい部分が変わった形をしているほど、「大きく見て引く」考え方が役立ちます。

家庭では、「直接出しにくいなら、大きな形から引けないかな？」と声をかけてみましょう。求めたい部分と引く部分に印をつけると、式の意味が分かりやすくなります。

長さが足りないときは比で処理する

図形の求積応用では、必要な長さがすべて書かれていないことがあります。そのときに役立つのが、比を使って処理する方法です。

同じ高さの三角形では、面積の比は底辺の比になります。同じ底辺の三角形では、面積の比は高さの比になります。この考え方を使うと、長さをすべて求めなくても、面積の関係から答えに近づけることがあります。

たとえば、全体の面積が分かっていて、内部の三角形どうしの面積比が1：2だと分かれば、全体を3つ分として考えられます。応用問題では、このように面積を「何平方センチメートル」として直接出す前に、比で整理することがあります。

家庭では、「全部の長さが分からなくても、比で考えられないかな？」と聞いてみてください。比を使う力は、小5以降の求積応用で特に重要になります。計算だけではなく、関係を見つける目を育てましょう。

家庭でできる図形の求積応用の対策法

1問ごとに解き方を説明させる

図形の求積応用を家庭で対策するなら、1問ごとに解き方を説明させることが大切です。答えが合っているかだけを見ると、たまたま手順を覚えているだけでも正解してしまうことがあります。

分けて求めた問題なら、「なぜその形に分けたのか」を説明します。全体から引いた問題なら、「何を全体として見て、何を引いたのか」を説明します。比を使った問題なら、「どこが同じ高さだったのか」「底辺の比はどう見たのか」を言葉にします。

親が長く解説する必要はありません。「どうして足したの？」「なぜ引いたの？」「どこが同じ高さ？」と短く聞くだけで十分です。子どもが自分の言葉で説明することで、考え方が整理されます。

応用問題では、解説を読んで終わるだけでは次に使えません。家庭学習では、正解数よりも「次に似た問題で再現できるか」を重視しましょう。

間違いを原因別に分けて復習する

図形の求積応用で点数を伸ばすには、間違えた問題を原因別に分けることが大切です。すべてを「応用が苦手」でまとめてしまうと、何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、求める部分を取り違えた、底辺と高さを間違えた、半径と直径を取り違えた、全体から引く発想が出なかった、分け方が細かすぎた、同じ高さを見落とした、面積比を使えなかった、補助線の目的が分からなかった、などです。

原因が分かれば、戻るべき学習がはっきりします。半径と直径を間違えたなら、円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら、面積比を練習します。全体から引く発想が出なかったなら、差し引きの求積問題を集めて解き直します。

復習ノートには、「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」「補助線の目的が分からなかった」など、一言で原因を書きましょう。間違いは、次に伸びるための材料です。

同じ型を3問ずつ解き直す

図形の求積応用では、間違えた1問だけを直して終わらせないことが大切です。同じ型を3問ほど解き直すと、考え方が定着しやすくなります。

たとえば、全体から引く問題で間違えたなら、同じように「大きな図形から小さな図形を引く」問題を3問解きます。面積比で間違えたなら、同じ高さを使う三角形の問題を3問解きます。円や扇形の応用で間違えたなら、半径・直径・中心角を確認する問題に戻ります。

同じ型を続けて解くと、「この問題では何に注目するのか」が見えやすくなります。1問だけ解き直すより、似た問題で確認した方が、次のテストで使える力になります。

家庭では、量を増やしすぎる必要はありません。「今日は全体から引く型」「今日は面積比の型」とテーマを決めると、短い時間でも効果的です。応用問題は、型を見抜けるようになるほど安定して解けるようになります。

まとめ

中学受験算数の図形の求積応用は、公式を覚えるだけでは対応しにくい単元です。複雑な図形を基本図形に分ける、全体から不要な部分を引く、同じ高さや同じ底辺から面積比を考える力が必要になります。

まず、求める面積が全体なのか一部なのかを確認しましょう。次に、底辺・高さ・半径を図に書き込みます。応用問題では、補助線や条件整理を通して、公式が使える形を見つけることが大切です。

よく使う解き方は、基本図形に分ける、全体から引く、比で処理するの3つです。どの方法を使った場合でも、「なぜその解き方を選んだのか」を子ども自身が説明できるようにしましょう。

家庭では、間違いを原因別に分け、同じ型を3問ずつ解き直す復習がおすすめです。図形の求積応用は、ひらめきだけで解く単元ではありません。型と図の見方を積み重ねれば、苦手意識を減らし、入試につながる得点力を育てることができます。