図形の求積は入試で差がつく中学受験算数

中学受験算数の図形の求積は入試で得点差がつく

この記事では、中学受験算数の図形の求積が入試でどのように出題されるのか、そして家庭で何を優先して対策すればよいのかを順番に解説します。

入試では公式そのものより図の見方が問われる

中学受験算数の図形の求積は、入試で得点差がつきやすい単元です。三角形、四角形、円、おうぎ形などの面積公式は基本ですが、入試では公式を覚えているだけでは十分ではありません。

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、長方形は「たて×横」、円は「半径×半径×3.14」と言える子は多いです。しかし、入試問題では、底辺や高さがすぐに見えない図、影の部分だけを求める図、複数の図形が重なった図が出ることがあります。

このとき必要なのは、「どの形として見るか」を判断する力です。求めたい部分を三角形に分けるのか、大きな図形から不要な部分を引くのか、同じ面積の部分を移して考えるのか。入試では、この図の見方が問われます。

つまり、図形の求積は単なる計算問題ではありません。公式を使える形に図を整える問題です。家庭学習でも、式の暗記だけでなく、図に条件を書き込み、どこに注目するかを練習することが大切です。

標準問題でも「分ける・引く・移す」が必要

入試の図形の求積では、標準問題でも「分ける」「引く」「移す」の考え方がよく使われます。難問だけに必要な考え方ではありません。

「分ける」は、複雑な図形を三角形や四角形、円の一部などに分けて考える方法です。たとえば、五角形のような図形でも、補助線を1本引けば三角形と四角形に分けられることがあります。

「引く」は、大きな図形全体から不要な部分を取り除く方法です。へこんだ図形や影の面積を求める問題では、全体を求めてからいらない部分を引く方が簡単なことがあります。

「移す」は、同じ形や同じ面積の部分を動かして、求めやすい形に直す考え方です。影の部分が離れていても、移すと1つの長方形や三角形にまとまる場合があります。

入試では、見た目が複雑でも、この3つの考え方で整理できる問題が多くあります。まずは標準問題で、どの方法を使うのかを判断する練習をしておきましょう。

難関校では比や補助線との組み合わせが出る

難関校や上位校の入試では、図形の求積が比や補助線と組み合わさって出題されることがあります。単純に面積を計算するだけでなく、同じ高さの三角形、相似、面積比を使って考える問題です。

同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じになります。高さを実際に求めなくても面積を比べられるため、入試でよく使われます。

相似が出る場合は、対応する辺の比を見つけます。ただし、相似比が2：3なら、面積比は2：3ではなく4：9です。ここを混同すると、大きな失点につながります。

また、補助線も重要です。補助線はひらめきで引くものではありません。三角形に分けるため、同じ高さを見つけるため、相似を見つけるため、全体から引きやすくするために引きます。

入試対策では、比や補助線を丸暗記するのではなく、「なぜその線を引くのか」「今見ているのは辺の比か面積比か」を説明できるようにしておくことが大切です。

入試で出やすい図形の求積の基本パターン

三角形・四角形の面積を組み合わせる問題

入試でまず出やすいのが、三角形や四角形の面積を組み合わせる問題です。三角形、長方形、正方形、平行四辺形、台形の面積公式を使い、複雑な図形を求めます。

たとえば、複雑な多角形を三角形と長方形に分ける問題、大きな長方形から三角形を引く問題、台形を三角形と長方形に分ける問題などがあります。

ここで大切なのは、公式を知っていることだけではありません。どこで分けると計算しやすいか、どこを全体として見るかを判断することです。

家庭では、「この図形は何に分けられる？」「全体を長方形として見られない？」「三角形はどこにある？」と声をかけるとよいでしょう。入試の求積問題では、複雑な図形を基本図形に戻す力が得点につながります。

円・おうぎ形を使った求積問題

円やおうぎ形を使った求積問題も、入試でよく出ます。円の面積は「半径×半径×3.14」、おうぎ形は円全体の面積に中心角の割合をかけて求めます。

たとえば、中心角が90度のおうぎ形なら、円全体の4分の1です。中心角が120度なら、円全体の3分の1です。このように、中心角が360度のうちどれだけにあたるかを見ることが大切です。

円の問題で多いミスは、直径と半径を混同することです。直径が10cmなら、半径は5cmです。直径をそのまま使ってしまうと、面積が大きくずれます。

また、円と正方形や長方形が組み合わさる問題では、全体からおうぎ形を引く、円の一部を移して考えるなどの処理が必要になることがあります。

家庭では、「半径はどこ？」「これは円全体の何分の何？」「全体から引く問題かな？」と確認しましょう。円やおうぎ形は、半径と割合を丁寧に見ることが基本です。

同じ高さ・相似・面積比を使う問題

入試で差がつきやすいのが、同じ高さ、相似、面積比を使う求積問題です。標準校でも同じ高さの三角形はよく出ますし、難関校では相似や面積比を組み合わせる問題も見られます。

同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じです。たとえば、同じ高さで底辺の比が2：3なら、面積比も2：3です。高さを求めなくても面積を比べられるため、効率よく解けます。

相似な図形では、対応する辺の比がそろいます。ただし、面積比は辺の比を2回かけます。相似比が2：3なら、面積比は4：9です。

ここで失点しやすいのは、同じ高さの三角形と相似な図形を混同することです。どちらも比を使いますが、考え方が違います。

家庭では、「これは同じ高さ？それとも相似？」「今見ているのは辺の比？面積比？」と確認しましょう。比の意味を図とセットで理解できると、入試の求積問題に強くなります。

中学受験算数 図形の求積で入試本番に失点する原因

求める部分に印をつけずに解き始める

入試本番でよくある失点原因は、求める部分に印をつけずに解き始めることです。時間を気にしてすぐ式を書こうとすると、どこの面積を求めるのかがあいまいになりやすくなります。

影の部分、斜線部分、残りの面積などを求める問題では、最初に求める部分へ印をつけることが重要です。ここを省略すると、足すべき部分を引いてしまったり、不要な部分を含めて計算したりすることがあります。

入試では緊張もあり、普段ならしない見落としが起こります。そのため、求める部分に丸や斜線を入れる作業は、単なるメモではなく失点防止のための手順です。

家庭学習でも、答えを出す前に「まず求める部分に印をつける」ことを徹底しましょう。この一手間が、入試本番の正答率を支えます。

底辺と高さを取り違える

図形の求積で入試本番に起こりやすいミスが、底辺と高さの取り違えです。三角形、平行四辺形、台形では、高さが底辺に対して垂直でなければなりません。

ところが、斜めに描かれた三角形では、子どもが斜めの辺を高さだと思ってしまうことがあります。また、台形でも上底・下底・高さの関係を整理しないまま公式に入れてしまうと、誤答になります。

高さは、底辺を決めてから見る必要があります。底辺をどこにするかによって、高さも変わるからです。

家庭では、「この底辺に対して直角になっている高さはどれ？」と聞く習慣をつけましょう。単に公式を覚えるだけでなく、図の中で底辺と高さをセットで確認することが大切です。

入試では、公式そのものより、公式に入れる長さを正しく選べるかが問われます。

辺の比と面積比を混同する

入試の求積問題で特に注意したいのが、辺の比と面積比の混同です。比が出てくると、子どもは数字だけを見て処理してしまうことがあります。

同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じです。底辺の比が2：3で高さが同じなら、面積比も2：3になります。

一方、相似な図形では、相似比が2：3なら、辺の比は2：3ですが、面積比は4：9です。辺の比を2回かける必要があります。ここを2：3のまま扱うと、答えが大きくずれます。

入試では、この違いを理解しているかを問う問題がよく出ます。家庭では、「これは辺の比？面積比？」「同じ高さの三角形？相似な図形？」と毎回確認しましょう。

比を正しく使えるようになると、求積問題の応用力が大きく伸びます。

家庭でできる入試向け図形の求積対策

標準問題で頻出型を固める

入試に向けた図形の求積対策では、まず標準問題で頻出型を固めることが大切です。難問ばかりを解いても、基本の見方が不安定だと得点にはつながりません。

頻出型は、分ける、引く、移す、同じ高さ、相似、面積比です。問題を解いた後に、「これはどの型だったか」を確認しましょう。「全体から引く問題」「三角形に分ける問題」「同じ高さを使う問題」と分類できるようになると、初見問題でも方針が立てやすくなります。

家庭では、問題数を増やすより、1問ごとに型を確認することを重視しましょう。入試では、見たことのない図形が出ても、基本型の組み合わせで解ける問題が多いからです。

標準問題を確実に再現できるようにすることが、入試の求積対策の土台になります。

過去問は点数より方針を分析する

小6の入試対策では、過去問演習も重要です。ただし、図形の求積の過去問は、点数だけを見て終わらせないようにしましょう。

大切なのは、どの方針を使う問題だったのかを分析することです。分ける問題だったのか、全体から引く問題だったのか、同じ高さの三角形を使う問題だったのか、相似と面積比を使う問題だったのかを確認します。

間違えた問題は、解説を読んだ後に「最初にどこを見るべきだったか」を短くメモします。たとえば、「求める部分に印をつけなかった」「同じ高さに気づかなかった」「相似比を面積比に直し忘れた」と書きます。

過去問は、慣れるためだけの教材ではありません。志望校がどのような求積問題を出しやすいか、自分がどの型で失点しやすいかを知るための教材です。

親は「どう形を整えたか」を聞く

家庭で入試向けの求積対策をするとき、保護者は答えが合っているかだけでなく、「どう形を整えたか」を聞いてあげてください。

おすすめの声かけは、「どこで分けたの？」「全体から何を引いたの？」「同じ形を移せそうだった？」「同じ高さの三角形はどこ？」「これは相似を使ったの？」です。

答えが正しくても、どう形を見たか説明できなければ、入試本番の初見問題で再現できない可能性があります。反対に、答えが間違っていても、方針が合っていれば修正しやすくなります。

図形の求積は、計算結果だけでは理解度が分かりにくい単元です。家庭学習では、子ども自身が「分けた」「引いた」「同じ高さを見た」と短く説明できる状態を目指しましょう。

まとめ

中学受験算数の図形の求積は、入試で得点差がつきやすい単元です。公式を覚えるだけではなく、図形を「分ける」「引く」「移す」で整理し、必要に応じて同じ高さ、相似、面積比を使う力が求められます。

入試で出やすいのは、三角形・四角形の組み合わせ、円・おうぎ形、同じ高さや相似を使う求積問題です。失点しやすい原因は、求める部分に印をつけないこと、底辺と高さを取り違えること、辺の比と面積比を混同することです。

家庭では、標準問題で頻出型を固め、過去問は点数より方針を分析しましょう。親は「どう形を整えたか」を聞いてあげると、子ども自身の図の見方が育ちます。図形の求積は、正しい対策をすれば入試本番で得点源に変えられる単元です。