中学受験算数 展開図の対策と克服法

中学受験算数で展開図対策が必要な理由

この記事では、中学受験算数の展開図でつまずく理由を整理し、家庭でできる基本対策から入試問題への進め方まで順を追って解説します。

頭の中だけで折ろうとすると混乱しやすい

展開図とは、立体の表面を切り開いて平面に広げた図です。中学受験算数では、立方体や直方体を組み立てたときの面・辺・頂点の位置関係がよく問われます。

展開図が苦手な子は、六つの面を頭の中で一度に折り上げようとしがちです。しかし、空間をイメージすることに慣れていない段階では、途中で上下や左右が分からなくなるのも無理はありません。

たとえば、立方体の展開図を見て、すべての面を同時に動かそうとすると、「この面は上だったか横だったか」と混乱します。その結果、向かい合う面を感覚で選んでしまいます。

展開図対策で大切なのは、完成した立体を一気に思い浮かべることではありません。一つの面を動かさない基準にして、周りの面を一枚ずつ起こすことです。

手順を決めれば、空間認識に自信がない子でも、情報を整理しながら答えを見つけられます。

面・辺・頂点を同時に追う必要がある

展開図では、面だけを考えればよいわけではありません。組み立てたときに、どの辺同士が重なり、どの点が一つの頂点に集まるかも問われます。

立方体には6つの面、12本の辺、8つの頂点があります。展開図では離れている二つの辺が、折るとぴったり重なることがあります。また、平面上では離れている三つの点が、完成後には同じ頂点へ集まります。

子どもが面の位置だけを目で追うと、「向かい合う面は正解したのに、重なる辺を間違えた」ということが起こります。

こうしたミスは注意力不足ではありません。面・辺・頂点の対応をすべて頭の中に置こうとして、処理しきれなくなっているのです。

家庭では、重なる辺に同じ文字、同じ頂点になる点に同じ番号を書かせましょう。考えたことを図の上に残せば、頭の負担を減らせます。

形の暗記だけでは入試問題に対応できない

立方体の展開図には決まった種類があります。そのため、形を丸ごと暗記しようとする子もいます。

しかし、展開図を回転させたり、面に文字や模様を加えたりすると、暗記だけでは対応できません。直方体、三角柱、円柱など、立方体以外の展開図が出ることもあります。

入試で必要なのは、「見たことのある形か」ではなく、「折ったときに面が重ならず、立体が完成するか」を判断する力です。

たとえば、正方形が四枚一直線に並ぶ部分は、立方体の側面として一周することがあります。残りの二面が上下をふさげる位置にあれば、立方体になります。一方、二面が同じ場所へ折り重なる配置では完成しません。

形の暗記を補助として使うのは構いませんが、最終的には一面ずつ折る手順で確かめられるようにしましょう。

展開図対策で最初に固めたい基本

基準となる面を一つ決める

展開図対策の第一歩は、動かさない基準面を一つ決めることです。問題を解いている途中で基準面を変えると、上下左右の関係が分からなくなります。

文字や模様のある面が指定されている場合は、その面を底面や正面と考えると整理しやすくなります。指定がなければ、周囲に多くの面がつながっている中央付近の面を選びます。

基準面には丸をつけましょう。そのうえで、基準面の右につながる面は右側面、上につながる面は奥側面というように、一枚ずつ完成後の位置を確認します。

家庭では、子どもが止まったときに「どの面を動かさずに考えている？」と聞いてみてください。答えられない場合は、基準面が定まっていない可能性があります。

基準を固定するだけで、一度に考える情報が減り、展開図が見やすくなります。

向かい合う面は一枚ずつ折って探す

向かい合う面を求める問題は、中学受験算数で頻出です。立方体では、ある面に対して、辺を共有しない反対側の面が一つあります。

探し方は、まず基準面の周りにある面を側面として一枚ずつ起こすことです。側面が立ち上がったあと、最後にふたをするように折れる面が、基準面と向かい合います。

このとき、「展開図で離れているから向かい合う」と決めつけてはいけません。平面上の距離と、立体にした後の位置は異なるからです。

四面が一直線に並ぶ形では、その四面が立方体の側面を一周する場合があります。その場合、一つ飛ばしにある面同士が向かい合います。ただし、形だけで覚えず、基準面から順番に確認することが大切です。

家庭学習では、面に上・下・右・左などを書き込みながら折らせると、位置関係が整理しやすくなります。

重なる辺と頂点に同じ記号をつける

重なる辺を求める問題では、辺全体だけでなく、その両端にある頂点の向きまで確認します。

たとえば、ある辺に「ア」と書いたら、組み立てたときに重なる辺にも「ア」と書きます。両端の点には1・2などの番号をつけ、どの点とどの点が一致するかを追います。

辺同士が重なっていても、上端と下端の対応が反対になることがあります。ここを確認しないと、頂点を答える問題で失点します。

立方体の一つの頂点には、三つの面が集まります。したがって、「どの三面がこの角に集まるか」を考えると、同じ頂点になる点を見つけやすくなります。

練習中は色鉛筆を使っても構いません。慣れてきたら、試験本番と同じように鉛筆で記号をつける方法へ移しましょう。

家庭でできる展開図の具体的な対策

紙で作り予想してから組み立てる

展開図が苦手な子には、紙を使った対策が効果的です。ただし、完成形を確認するだけではなく、組み立てる前に答えを予想させます。

方眼紙に立方体の展開図を書き、各面にA・B・Cなどの文字をつけます。そして、Aと向かい合う面、重なる辺、同じ頂点になる点を予想します。

予想を書いた後で切り取り、実際に組み立てて確認します。間違っていた場合は、「どの面を逆へ折ったか」「辺の端を反対に考えたか」を調べます。

この予想と確認の往復が大切です。何も考えずに工作をするだけでは、問題を解く力にはつながりにくいからです。

基本的な展開図を2〜3種類作り、面・辺・頂点を丁寧に確認すれば十分です。大量に作るより、一つの展開図を深く使いましょう。

矢印と書き込みで面の動きを見える化する

実物を折ることに慣れたら、次は展開図の上に矢印を書いて、面の動きを表します。

基準面に丸をつけ、その右側の面には右へ起きる矢印、上側の面には奥へ起きる矢印などを書きます。完成後に来る位置を、面の中へ「右」「上」「奥」と書いてもよいでしょう。

重なる辺には同じ記号、同じ頂点へ集まる点には同じ番号をつけます。この書き込みが、実物と頭の中だけで考える段階をつなぐ橋になります。

展開図が苦手な子に「想像して」と言うだけでは、何をすればよいか分かりません。矢印や記号を使えば、面をどちらへ動かしたかが目に見えます。

家庭では、書き込みを消さずに残し、答え合わせのときに折り方のどこが違ったかを確認しましょう。

実物なしで解ける段階へ少しずつ移る

紙を組み立てられるようになったら、徐々に実物なしで解く段階へ移ります。

最初は紙を切らず、矢印や文字を多めに書いて考えます。次に、基準面と必要な辺だけに印をつけます。最後は、問われている面・辺・頂点だけを最低限の書き込みで追います。

いつまでも実物を使い続けるだけでは、試験中に解けるようになりません。一方、急に実物を禁止すると、理解が追いつかず苦手意識が強くなります。

目安は、紙で確認した問題を、その翌日に図だけでもう一度解けるかどうかです。折る順番や対応を自分の言葉で説明できれば、次の段階へ進めます。

できなくなったら、矢印や実物を使う段階へ戻って構いません。戻ることは失敗ではなく、理解を補うための対策です。

入試で得点するための展開図対策

頻出問題をパターン別に整理する

展開図の入試問題は、いくつかの代表的な型に分けられます。

主なものは、立方体になる展開図の判定、向かい合う面、重なる辺・頂点、サイコロの位置関係、立体表面上の最短距離です。

問題集を初めから順番に解くだけでは、どの型が苦手なのか分かりにくくなります。復習ノートに「向かい合う面」「辺の対応」「最短距離」などの分類を書きましょう。

たとえば、面の問題は解けるのに、辺の両端を逆にする子もいます。最短距離では、一つの展開方法しか調べず、別の経路を見落とすことがあります。

型ごとに2〜3問確認した後、異なる型を混ぜて、自分で問題の種類を判断できるか試しましょう。

間違えた問題は時間を空けて解き直す

展開図は、答えを見た直後なら正解しやすいため、時間を空けた復習が欠かせません。

その日のうちに紙や書き込みを使って間違いの原因を確認します。翌日は、実物を使わず同じ問題を解きます。3日後から1週間後には、似た形の類題へ取り組みます。

復習ノートには、「基準面を途中で変えた」「辺の両端を逆にした」「二つの面を同じ位置へ折った」など、原因を一言で書きます。

その横に、「最初に基準面へ丸をつける」「辺の端にも番号を書く」と、次に行う対策を残してください。

同じ形の答えを覚えるのではなく、形が変わっても同じ手順を使えるかを確認することが重要です。

最短距離やサイコロ問題へ段階的に進む

基本的な面・辺・頂点の対応が安定したら、サイコロや最短距離の問題へ進みます。

サイコロ問題では、向かい合う面を先に整理し、ある面を上にしたときの正面や右側を考えます。すべての向きを一度に追うのではなく、指定された面を基準にします。

立体表面上の最短距離では、通る面を一続きに展開し、二点を直線で結びます。立体上では折れ曲がって見える道も、展開すると一直線になるからです。

展開方法が複数ある場合は、それぞれの直線の長さを比べます。一通りだけ調べて終えると、より短い経路を見落とすことがあります。

応用へ進む条件は、基本的な展開図を実物なしで説明できることです。土台が不安定なまま難問へ進まないようにしましょう。

まとめ

中学受験算数の展開図対策では、頭の中で六面を一気に組み立てようとしないことが大切です。基準となる面を一つ決め、周囲の面を一枚ずつ起こして位置を整理しましょう。

向かい合う面を探すときは、最後にふたをする面を確認します。重なる辺や頂点には同じ記号をつけ、辺の両端の向きまで追うことで、取り違えを防げます。

家庭では、紙で作る、矢印や記号で面の動きを見える化する、図だけで解くという順番で進めてください。紙を組み立てる前に答えを予想し、確認後に間違えた理由まで振り返ることが重要です。

入試対策では、向かい合う面、重なる辺・頂点、サイコロ、最短距離などをパターン別に整理します。間違えた問題は翌日と数日後に解き直し、形が変わっても同じ手順で解けるかを確認しましょう。

展開図は、生まれつきの感覚だけで決まる単元ではありません。一枚ずつ折る順番と、図へ情報を残す方法を身につければ、苦手な子でも安定した得点源へ変えられます。