中学受験算数 平面図形の解き方

中学受験算数で平面図形の解き方に迷う理由

この記事では、中学受験算数の平面図形の解き方について、つまずく原因から家庭でできる具体的な練習法まで順番に解説します。

図形は公式暗記だけでは解けない

中学受験算数の平面図形は、公式を覚えているだけでは得点に結びつきにくい単元です。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」と知っていても、入試問題ではそのまま数字を当てはめるだけで解けないことが多くあります。

たとえば、三角形の中に線が引かれていたり、複数の図形が重なっていたり、面積を直接求められない部分があったりします。このとき必要なのは、公式を思い出す力だけではありません。「どの図形に分けるか」「同じ高さはどこか」「どの長さが分かれば面積が出せるか」を考える力です。

平面図形でつまずく子は、公式を知らないのではなく、公式を使える形に図を整理するところで止まっていることが多いです。したがって、解き方を身につけるには、公式の暗記よりも、図の見方を整えることが大切です。

補助線や面積比の使いどころで止まりやすい

平面図形で特に差がつくのが、補助線と面積比です。解説を見ると「ここに線を引く」と書かれていますが、子どもにとっては「なぜそこに引くのか」が分からないことがあります。

補助線は、思いつきで引くものではありません。三角形を作る、平行線を利用する、同じ高さの図形を見つける、相似を作るなど、目的があります。目的がないまま線を増やすと、かえって図が複雑になり、何をすればよいのか分からなくなります。

また、面積比では「同じ高さなら面積の比は底辺の比」「同じ底辺なら面積の比は高さの比」という考え方がよく使われます。ここがあいまいだと、面積をすべて計算しようとして時間がかかります。

平面図形の解き方では、補助線を引く前に「何を見つけたいのか」を考えることが重要です。

問題文より図ばかり見て条件を落とす

平面図形が苦手な子に多いのが、図だけを見て考え始めてしまうことです。図形問題では図を見る力が大切ですが、問題文にある条件を読み落とすと正しく解けません。

たとえば、「ABとCDは平行」「点Eは辺BCの中点」「角Aと角Dは等しい」「半径はすべて同じ」といった条件は、図だけでは見落としやすいことがあります。特に入試問題では、図が正確な縮尺で描かれていない場合もあります。見た目で「この辺が長そう」「この角が直角に見える」と判断すると、誤答につながります。

家庭で復習するときは、まず問題文を読み、図に条件を書き込む習慣をつけましょう。平行なら矢印、中点なら同じ印、等しい角なら同じ記号を入れるだけでも、使える情報が見えやすくなります。

平面図形は、図を見る単元であると同時に、条件を正確に読む単元でもあります。

平面図形の解き方で最初に押さえる基本

角度・長さ・面積のどれを求める問題か確認する

平面図形の解き方で最初に行うべきことは、「何を求める問題か」を確認することです。角度なのか、長さなのか、面積なのかによって、注目するポイントが変わります。

角度を求める問題なら、三角形の内角の和、平行線の同位角・錯角、二等辺三角形、正多角形などを見ます。長さを求める問題なら、相似、合同、対称、円の半径などに注目します。面積を求める問題なら、底辺と高さ、同じ高さ、同じ底辺、分割や差し引きが大切になります。

たとえば、面積を求める問題なのに角度ばかり見ていると、解き方の入口を見失います。逆に、角度を求める問題で面積比を考えても遠回りになることがあります。

家庭では、問題を読んだら最初に「これは角度？長さ？面積？」と聞いてみましょう。この確認だけで、子どもが見るべき場所を絞りやすくなります。

同じ高さ・同じ底辺に注目する

平面図形、とくに面積問題で重要なのが「同じ高さ」「同じ底辺」です。中学受験算数では、実際の面積を計算するよりも、比で考える問題が多く出ます。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で、底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方を使えると、長さがすべて分からなくても面積比を求められます。特に、平行線がある図形では同じ高さが見つかりやすくなります。台形の中の三角形や、平行四辺形の中にできる三角形でもよく使います。

家庭で教えるときは、「この2つの三角形は高さが同じかな？」と聞いてみてください。子どもが同じ高さを見つけられるようになると、平面図形の面積問題はかなり解きやすくなります。

相似・合同・対称を見つける

平面図形の解き方では、相似・合同・対称を見つける力も大切です。これらは、長さや角度を求めるときの大きな手がかりになります。

相似な図形では、対応する角が等しく、対応する辺の比が同じになります。たとえば、三角形の中に平行線があると、小さい三角形と大きい三角形が相似になることがあります。このとき、辺の比を使って長さや面積比を求められます。

合同な図形では、形も大きさも同じなので、対応する辺や角が等しくなります。図形を折り返す問題や、対称な図形では合同が見つかりやすいです。

対称では、左右や上下で同じ長さ、同じ角度が現れることがあります。特に正方形、正三角形、円を含む問題では、対称性を見つけると一気に整理できることがあります。

平面図形では、「同じ形はないか」「似た形はないか」「左右で対応していないか」を探すことが、解き方の入口になります。

家庭でできる平面図形の解き方の練習法

図に分かっていることを書き込む

家庭で平面図形を練習するときは、まず図に分かっていることを書き込む習慣をつけましょう。問題文を読んだだけで頭の中に入れておくと、途中で条件を忘れやすくなります。

たとえば、等しい辺には同じ印をつけます。等しい角にも同じ印をつけます。平行な線には矢印、中点には同じ長さの印、直角には直角マークを書き込みます。円の問題なら、半径が等しいことを図に書き入れます。

書き込みをすると、使える条件が見える形になります。子どもが「何も思いつかない」と言うときでも、条件を書き込むだけで、同じ角や同じ長さ、相似な三角形が見えてくることがあります。

ただし、書き込みすぎて図が読みにくくなる場合は、別の図を描き直しても構いません。大切なのは、条件を見える形にしてから考えることです。

補助線は目的を決めて引く

平面図形で補助線を引くときは、目的を決めることが大切です。補助線は多く引けばよいわけではありません。むやみに線を増やすと、かえって図が複雑になってしまいます。

補助線の目的には、三角形を作る、同じ高さを作る、平行線を利用する、相似な図形を作る、円の半径を見つける、対称な形を作るなどがあります。

たとえば、面積比の問題では、同じ高さの三角形を見つけるために補助線を引くことがあります。相似を使う問題では、平行線を利用して対応する角を見つけるために線を引くことがあります。円の問題では、中心から円周上の点へ半径を引くことで、二等辺三角形が見えることがあります。

家庭では、「なぜその線を引いたの？」と聞いてみましょう。子どもが「同じ高さを見つけるため」「相似を作るため」と言えれば、補助線の使い方が身についてきています。

1問ごとに「なぜその線を引いたか」を説明する

平面図形の学習では、答えが合っているかだけでなく、考え方を説明できるかが重要です。特に補助線を使う問題では、「なぜその線を引いたのか」を言葉にできることが、次の問題への応用力につながります。

たとえば、子どもが三角形を2つに分けたなら、「何を比べるために分けたの？」と聞きます。平行線を引いたなら、「どの角を等しくしたかったの？」と確認します。円の中心から線を引いたなら、「半径が同じになることを使いたかったの？」と問いかけます。

親がすべて説明する必要はありません。短い質問をして、子ども自身が考えた理由を話せるようにすることが大切です。

平面図形は、解説を見れば分かった気になりやすい単元です。しかし、本当に力がつくのは、自分で図を見て、なぜその解き方を選ぶのかを説明できるようになったときです。

平面図形を入試得点につなげる復習法

間違いを原因別に分ける

平面図形で点数を伸ばすには、間違えた問題を原因別に分けることが大切です。すべてを「図形が苦手」でまとめてしまうと、何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、問題文の条件を図に書き込まなかった、同じ高さを見つけられなかった、補助線の目的が分からなかった、相似や合同を見落とした、角度の基本を忘れていた、面積を差し引く発想が出なかった、最後に求める部分を取り違えた、などです。

原因が分かれば、復習する内容も変わります。同じ高さを見落としたなら面積比の基本へ戻ります。相似を見落としたなら、平行線と対応する角の確認をします。条件を書き込んでいなかったなら、問題文を読んで図に印をつける練習をします。

間違いは、できない証拠ではありません。次に得点するためのヒントです。復習ノートには、問題番号だけでなく「同じ高さを見落とした」「補助線の目的が不明」など、原因を一言で残しましょう。

同じ型を3問ずつ解き直す

平面図形の復習では、間違えた1問だけを直して終わらせないことが大切です。同じ型の問題を3問ほど解き直すと、考え方が定着しやすくなります。

たとえば、同じ高さを使う面積比で間違えたなら、同じ高さの三角形を見つける問題を3問解きます。相似で間違えたなら、平行線を含む相似の問題を3問解きます。円の半径を使う問題で迷ったなら、中心から線を引く問題を3問解きます。

同じ型を続けて解くことで、「この問題では何に注目するのか」が見えやすくなります。1問だけ直すより、似た型で確認した方が、次のテストで使える力になります。

家庭では、量を増やしすぎる必要はありません。1日3問でも、「今日は同じ高さを探す問題だった」と言えるようになれば、十分に意味があります。

テスト前は基本図形の見直しを優先する

テスト前になると、難しい平面図形の問題をたくさん解きたくなるかもしれません。しかし、平面図形がまだ不安定な場合は、新しい難問よりも基本図形の見直しを優先しましょう。

確認したいのは、三角形の内角の和、二等辺三角形、正三角形、平行線の角、合同、相似、円の半径、同じ高さの面積比、差し引きの面積です。これらは、多くの入試問題の土台になります。

難問に見える問題でも、実際には基本図形の組み合わせで解けることが多くあります。逆に、基本図形があいまいなまま難問を解いても、解説を読んで終わるだけになりがちです。

テスト前は、「条件を書き込む」「何を求める問題か確認する」「同じ高さ・同じ形を探す」という確認ルールを決めておくとよいでしょう。平面図形は、正しい見方を身につければ、安定して得点しやすい単元になります。

まとめ

中学受験算数の平面図形の解き方で大切なのは、公式を覚えることだけではありません。まず、角度・長さ・面積のどれを求める問題かを確認し、問題文の条件を図に書き込むことが出発点です。

面積問題では、同じ高さ・同じ底辺に注目します。長さや角度の問題では、相似・合同・対称を探します。補助線は思いつきで引くのではなく、同じ高さを作る、相似を作る、半径を見つけるなど、目的を決めて引くことが大切です。

家庭では、答えだけでなく「なぜその線を引いたのか」「どの条件を使ったのか」を子どもに説明してもらいましょう。親は長く解説するより、短い質問で考え方を引き出す役になると効果的です。

間違えた問題は原因別に分け、同じ型を3問ずつ解き直します。テスト前は新しい難問より、基本図形の見直しを優先しましょう。平面図形は、図の見方と復習の順番を整えれば、苦手単元から得点源へ変えられます。