中学受験算数 平面図形をやさしく解説

中学受験算数の平面図形が難しく感じる理由

この記事では、中学受験算数の平面図形でつまずくお子さんを持つ保護者の方に向けて、基本の見方と家庭でできる解説・復習法を順番に紹介します。

公式を覚えても図の見方が分からない

中学受験算数の平面図形は、公式を覚えただけでは得点につながりにくい単元です。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」と覚えていても、実際の問題では、どこを底辺にするのか、どの長さが高さなのか、どの部分を求めるのかを自分で判断しなければなりません。

平面図形が苦手な子は、公式を知らないのではなく、図の中から使える情報を見つける段階で止まっていることが多いです。たとえば、三角形の高さが直接書かれていない問題では、平行線や直角を利用して高さを読み取る必要があります。角度問題でも、図に書かれていない角を、三角形の内角和や平行線の性質から見つけます。

つまり、平面図形は「公式を当てはめる単元」ではなく、「図の中に隠れた条件を探す単元」です。家庭で解説するときも、いきなり式を教えるより、「どこに同じ長さがあるかな」「平行な線はあるかな」と、見る場所を示すことが大切です。

補助線や比の使いどころで止まりやすい

平面図形で多くの子がつまずくのが、補助線や比の使い方です。解説を見ると「ここに線を引けばよい」と分かるのに、自分では思いつかないという悩みはよくあります。

補助線は、思いつきで引くものではありません。目的があります。たとえば、三角形を作るため、平行線を見つけるため、同じ面積の図形に分けるため、相似を見つけるために引きます。この目的を知らないまま問題を解くと、どこに線を引けばよいか分からなくなります。

また、比が絡む平面図形では、辺の比、面積比、相似比を区別する必要があります。辺の比が2：3だからといって、面積比も必ず2：3になるわけではありません。相似な図形であれば、面積比は辺の比を2回かけた比になります。一方、同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じです。

補助線も比も、丸暗記ではなく「何を見つけるために使うのか」を理解することが重要です。

平面図形は「見える化」の単元

平面図形を解く力は、頭の中だけで考えるより、図に書き込むことで伸びやすくなります。分かっている角度、同じ長さ、平行線、直角、面積が等しい部分などを図に書き込むと、考える材料が見えるようになります。

たとえば、角度問題では、分かった角をその都度図に書きます。面積問題では、同じ高さの三角形に印をつけたり、分けた図形に番号をふったりします。相似問題では、対応する角や辺をそろえて確認します。

図形が苦手な子ほど、問題文を読んだあとに何も書き込まず、図をじっと見つめてしまいます。しかし、見ているだけでは条件は増えません。書き込むことで、次に使える情報が見つかります。

平面図形は、センスだけで解く単元ではありません。条件を見える形にする習慣をつけることで、少しずつ解ける問題が増えていきます。

中学受験算数 平面図形の基本を解説

角度は平行線・三角形・円を確認する

平面図形の角度問題では、まず平行線、三角形、円の3つを確認しましょう。中学受験算数では、角度の問題が複雑に見えても、基本はこの3つから考えることが多いです。

平行線がある場合は、錯角や同位角が使えます。Zの形、Fの形を見つけると、同じ角度が見えることがあります。三角形では、内角の和が180度になることを使います。二等辺三角形であれば、底角が等しいことも大切です。

円がある場合は、中心角や円周角、半径が等しいことを確認します。中学受験では、円の中に二等辺三角形が隠れていることもよくあります。半径は同じ長さなので、そこから同じ角を見つけることができます。

家庭で角度問題を解説するときは、「どの公式を使う？」ではなく、「平行線はある？」「三角形は作れる？」「半径はどこ？」と聞くと、子どもが見るべき場所を意識しやすくなります。

面積は公式より分け方・移し方が大切

面積問題では、公式を覚えることも必要ですが、それ以上に図形をどう分けるか、どう移すかが大切です。複雑な図形も、三角形、長方形、台形、円の一部などに分ければ、基本公式で処理できます。

たとえば、へこんだ形の面積は、大きな長方形から不要な部分を引くと求めやすい場合があります。複数の三角形がある問題では、同じ高さの三角形を見つけると、底辺の比で面積を比べられます。円と正方形が重なった問題では、全体から余分な部分を引く、同じ形を移動して考えるなどの方法が使えます。

面積が苦手な子は、見た目の複雑さに引っ張られてしまいます。しかし、面積問題の多くは、「足す」「引く」「分ける」「移す」のどれかで整理できます。

家庭では、「この形を知っている形に分けられる？」「大きい形から引ける？」と声をかけると、式の前に方針を立てやすくなります。

相似や面積比は同じ形を探す

平面図形の応用では、相似や面積比がよく出てきます。ここで大切なのは、いきなり比の計算をするのではなく、まず同じ形を探すことです。

相似な三角形では、対応する角が等しく、辺の比がそろいます。たとえば、2つの三角形で角が2つずつ等しければ、同じ形と見なせます。このとき、対応する辺の比を使って長さを求められます。

面積比では、状況によって考え方が変わります。同じ高さの三角形なら、面積比は底辺の比と同じです。相似な図形なら、面積比は辺の比を2回かけた比になります。たとえば、相似比が2：3なら、面積比は4：9です。

子どもが混乱しやすいのは、辺の比と面積比を同じものとして扱ってしまうことです。家庭では、「同じ高さの三角形なのか」「相似な図形なのか」を先に確認しましょう。

平面図形の問題で失点しやすいポイント

図をながめるだけで手が止まる

平面図形で最も多い失点は、図をながめるだけで手が止まることです。問題文を読んでも、どこから考えればよいか分からず、時間だけが過ぎてしまいます。

この状態を防ぐには、最初の行動を決めておくことが大切です。まず、分かっている長さや角度を書き込む。次に、同じ長さ、平行、直角、同じ面積になりそうな部分に印をつける。最後に、三角形や四角形など、知っている形に分けられないかを見る。この流れを習慣にすると、手が止まりにくくなります。

図形問題は、最初から解法が見えるとは限りません。書き込みながら考える単元です。家庭学習では、答えが間違っていても、図に条件を書き込めているかを見てあげましょう。書き込みができる子は、次の一手を見つけやすくなります。

補助線を引く目的が分からない

補助線が苦手な子は、線を引く場所を「ひらめき」だと思っていることがあります。しかし、補助線には目的があります。三角形を作るため、平行線を作るため、同じ高さを見つけるため、相似を作るため、面積を分けるために引くのです。

たとえば、面積比の問題では、同じ高さの三角形を作るために補助線を引くことがあります。角度問題では、平行線を利用するために線を延長することがあります。相似問題では、対応する三角形を見つけやすくするために線を引くことがあります。

家庭で解説するときは、「なぜその線を引いたのか」を必ず確認しましょう。「この線を引くと、何が分かる？」と聞くと、補助線の目的を考えられます。補助線は、思いつきではなく、情報を増やすための道具です。

面積比と辺の比を混同する

平面図形の応用で失点しやすいのが、面積比と辺の比の混同です。特に相似や同じ高さの三角形が出てくる問題では注意が必要です。

同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じになります。たとえば、高さが同じで底辺の比が2：3なら、面積比も2：3です。

一方、相似な図形では、面積比は辺の比を2回かけた比になります。相似比が2：3なら、面積比は4：9です。ここを2：3のまま扱ってしまうと、答えが大きくずれます。

子どもには、「同じ高さならそのまま」「相似なら2回かける」と整理すると伝わりやすいです。ただし、暗記だけではなく、図のどこが同じ高さなのか、どの図形が相似なのかを確認することが大切です。

家庭でできる平面図形の解説・復習法

まず分かっている条件を書き込む

家庭で平面図形を復習するときは、まず分かっている条件を図に書き込むことから始めましょう。長さ、角度、平行、直角、同じ長さ、等しい面積など、問題文に書かれている情報を図に移します。

この作業は簡単に見えますが、非常に重要です。条件を書き込むことで、図をただ眺める状態から、考える状態に変わります。たとえば、平行線に印をつけるだけで錯角が見えやすくなります。同じ長さに同じ印をつけると、二等辺三角形に気づけることがあります。

保護者が見るべきなのは、いきなり正解できるかではありません。まず、条件を正しく図に入れられているかです。書き込みができれば、次の一手は見つけやすくなります。

1問を3段階で説明させる

平面図形の理解を深めるには、1問を3段階で説明させる方法が効果的です。1つ目は「何が分かっているか」。2つ目は「何を求めるか」。3つ目は「なぜその方法を使うか」です。

たとえば、面積問題なら、「この三角形の底辺と高さが分かっている」「求めるのは色のついた部分」「大きい長方形から小さい三角形を引く」と説明できれば、方針が見えています。

角度問題なら、「平行線がある」「求める角はこの三角形の中にある」「内角の和180度を使う」と説明できれば、ただの暗記ではなく理解している状態です。

子どもが説明できないときは、すぐに解き方を教えるのではなく、「分かっていることは何？」から戻りましょう。平面図形は、説明できるようになると理解が安定します。

難問より基本パターンを反復する

平面図形を伸ばすには、いきなり難問ばかりに取り組む必要はありません。むしろ、基本パターンを反復する方が効果的です。

まずは、角度なら平行線、三角形、円。面積なら分ける、引く、移す。同じ高さの三角形なら底辺の比。相似なら対応する角と辺の比。このような基本を何度も確認しましょう。

難問は、基本パターンが組み合わさってできています。基本が不安定なまま難問に進むと、解説を読んだときだけ分かった気になりやすくなります。

家庭では、1日15分でも構いません。1問を丁寧に扱い、図への書き込み、方針の説明、解き直しまで行いましょう。問題数よりも、同じ見方を安定して使えることが大切です。

まとめ

中学受験算数の平面図形は、公式を覚えるだけでは得点につながりにくい単元です。角度では平行線・三角形・円、面積では分け方・移し方、比では同じ高さや相似を見つけることが大切です。

平面図形でつまずく子は、図をながめるだけで手が止まったり、補助線の目的が分からなかったり、面積比と辺の比を混同したりしやすいです。これらは、図に条件を書き込み、何を求めるのかを言葉にすることで改善できます。

家庭では、まず分かっている条件を図に書き込ませ、1問を「何が分かっているか」「何を求めるか」「なぜその方法を使うか」の3段階で説明させましょう。難問に急ぐより、基本パターンを丁寧に反復することが、平面図形を得点源にする近道です。